地球の姿

測地学では、地球の形は地球をモデル化するのに使用される大きさと形状です。形の種類は、モデルに必要な精度など、用途によって異なります。球形の地球は、地理学、天文学、その他多くの目的に十分な、歴史的によく知られた近似値です。座標系が航海、測量、地籍、土地利用、その他さまざまな問題の正確なニーズに対応できるように、より精度の高いモデル (楕円体を含む) がいくつか開発されています。

モチベーション

地球の地形面は、その多様な陸地形態と水域から明らかです。この地形面は、一般的に、地形学者、水路学者、地球物理学者の関心事です。地球の測定は地形面上で行われますが、その凹凸を考慮しながら数学的にモデル化することは極めて複雑です。

ピタゴラスの球体地球の概念は、数学的に扱いやすい単純な表面を提供します。多くの天文学および航海の計算では、近似値として球を使用して地球をモデル化します。ただし、純粋に局所的なスケールを超えたスケールで距離と面積を測定するには、より正確な数値が必要です。表面全体を扁平回転楕円体としてモデル化するか、球面調和関数を使用してジオイドを近似するか、最も適合する参照楕円体を使用して領域をモデル化することで、より正確な近似値を作成できます。

小さな地域の調査では、局所的な地形が曲率を圧倒するため、地球表面の平面モデルで十分です。平面テーブル調査は、地球全体の大きさや形状を考慮せずに、比較的小さな地域を対象に行われます。たとえば、都市の調査は、この方法で実施されることがあります。

1600 年代後半には、フランスの天文学者ジャン・ピカールがパリ子午線に沿った弧度を測定したことに始まり、地球を楕円体としてモデル化する真剣な努力が払われました。地図の改良と、国家の領土の距離と面積のより正確な測定が、これらの初期の試みの動機となりました。その後数世紀にわたって、測量機器と技術が改良されました。地球の形状のモデルもそれに応じて改良されました。

20世紀中盤から後半にかけて、地球科学全般にわたる研究が、地球の形状の精度の劇的な向上に貢献しました。この精度向上の主な用途は、弾道ミサイルの慣性誘導システムに地理データと重力データを提供することでした。この資金提供は地球科学分野の拡大も促し、多くの大学でさまざまな地球科学部門の創設と成長を促しました。^{[1]これらの進歩は、気象や通信}衛星の制御、GPSによる位置特定など、地球の形状の高精度モデルがなければ不可能であった多くの民間研究にも恩恵をもたらしました。

モデル

地球の形状を表すモデルは、使用方法、複雑さ、地球の大きさや形状を表す正確さの点で異なります。

球

地球全体の形状の最も単純なモデルは球体です。地球の半径は地球の中心から表面までの距離で、約 6,371 km (3,959 マイル) です。通常、「半径」は完全な球体の特性ですが、地球は球体からわずか 3 分の 1 パーセントしか外れていません。これは多くの状況で球体として扱うのに十分近く、「地球の半径」という用語が正当化されます。

地球が球体であるという概念は紀元前6世紀頃に遡りますが^{[2] 、}紀元前3世紀までは哲学的な思索の対象のままでした。地球の半径の最初の科学的推定は紀元前240年頃にエラトステネスによって行われ、エラトステネスの測定の精度は-1%から15%の範囲と推定されています。

地球はほぼ球形であるため、自然半径として使用できる単一の値はありません。表面上の点から中心までの距離は、6,353 km (3,948 マイル) から 6,384 km (3,967 マイル) の範囲です。地球を球体としてモデル化するいくつかの異なる方法では、平均半径はそれぞれ 6,371 km (3,959 マイル) になります。モデルに関係なく、半径は極の最小値約 6,357 km (3,950 マイル) と赤道の最大値約 6,378 km (3,963 マイル) の間に収まります。差 21 km (13 マイル) は、極半径が赤道半径より約 0.3% 短いことに相当します。

回転楕円体

アイザック・ニュートンとクリスティアーン・ホイヘンス^[3]⁴の理論によれば、地球は両極で平らで、赤道で膨らんでいます。したがって、測地学では地球の形を扁平回転楕円体として表します。扁平回転楕円体、または扁平楕円体は、楕円をその短軸を中心に回転させることによって得られる回転楕円体です。これは、地球の形に最も近い規則的な幾何学的形状です。地球または他の天体の形を表す回転楕円体は、基準楕円体と呼ばれます。地球の基準楕円体は、地球楕円体と呼ばれます。

回転楕円体は 2 つの量によって一意に定義されます。測地学では 2 つの量を表すためにいくつかの規則が使用されていますが、それらはすべて同等であり、相互に変換可能です。

赤道半径（長半径と呼ばれる）、および極半径（短半径と呼ばれる）。 $a$ $b$
$a$ および偏心 ; $e$
$a$ そして平坦化。 $f$

偏心率と扁平率は、楕円体がどの程度押しつぶされているかを表す異なる方法です。扁平率が測地学の定義量の 1 つとして現れる場合、通常はその逆数で表されます。たとえば、今日の GPS システムで使用されているWGS 84回転楕円体では、扁平率の逆数は正確に298.257 223 563に設定されています。 $1/f$

球体と地球の基準楕円体との差はわずか 300 分の 1 程度です。歴史的には、平坦化は勾配測定から計算されていました。今日では、測地網と衛星測地が使用されています。実際には、さまざまな調査から何世紀にもわたって多くの基準楕円体が開発されてきました。平坦化の値は、基準楕円体ごとにわずかに異なり、地域の状況や、基準楕円体が地球全体をモデル化するか、一部だけをモデル化するかを反映しています。

球面には単一の曲率半径があり、これは単に球面の半径です。より複雑な面では、曲率半径は面上で変化します。曲率半径は、その点における面を最もよく近似する球面の半径を表します。扁平楕円体は、面に格子線が描かれている場合、緯線に沿って東西に一定の曲率半径を持ちますが、他の方向では曲率が変化します。扁平楕円体の場合、極の曲率半径は赤道の曲率半径よりも大きくなります。 $r_{p}$

r_{p}={\frac {a^{2}}{b}},

極が平らになっているため、表面が平らであればあるほど、それを近似するためには球を大きくする必要があります。逆に、楕円体の赤道での南北の曲率半径は、極の曲率半径よりも小さくなります。 $r_{e}$

r_{e}={\frac {b^{2}}{a}}

ここで、は楕円体の中心から赤道までの距離（長半径）、は中心から極までの距離（短半径）です。 $a$ $b$

非球状偏差

三軸度（赤道離心率）

地球の赤道は円ではなく楕円として特徴づけられる可能性、したがって楕円体は三軸である可能性は、長年科学的な調査の対象となってきた。^[4]^{[5]現代の技術の発達により、データ収集のための新しい迅速な方法が提供され、}スプートニク1号の打ち上げ以来、軌道データは楕円理論の調査に使用されている。^[3]より最近の結果では、赤道上の2つの慣性長軸と短軸の間に70メートルの差があり、大きい方の半径は西経15度（180度離れている）を指していることが示されている。^[6]^[7]

卵形または洋ナシ形

ピカールの研究に続いて、イタリアの博学者ジョヴァンニ・ドメニコ・カッシーニは、パリの北では南よりも1度の長さが明らかに短いことを発見し、地球が卵形であることを示唆した。^[3]^{: 4} 1498年、クリストファー・コロンブスは、北極星の角度の異なる移動測定値に基づいて、地球は洋ナシ形であると疑わしい主張をしたが、コロンブスは北極星が日周運動によって変化すると誤って解釈した。^[8]

わずかに洋ナシ形の地球という理論は、1958年に米国の人工衛星ヴァンガード1号からデータを受け取ったときに生まれました。地球の長周期軌道は変化し、南半球の重力は北半球よりも大きいことがわかりました。これは、南極が平坦になり、北極が同じ程度膨らみ、後者の海面が約9メートル（30フィート）上昇したことを示しています。 ^[9]^[10]^[3]^{: 9}この理論は、北半球中緯度がわずかに平坦になり、南半球中緯度がそれに応じて膨らむことを示唆しています。^[3]^{: 9}この異常に関与する潜在的な要因には、潮汐と地殻下運動（プレートテクトニクスなど）が含まれます。^[9]^[10]

ジョン・A・オキーフと共著者らは、ヴァンガード1号衛星のデータを用いて、地球の重力場に重要な第3次帯状球面調和関数があることを発見したとされている。 ^{[11]さらなる}衛星測地データに基づき、デズモンド・キング＝ヒールは、北極の19メートル（62フィート）の「茎」の隆起と南極の26メートル（85フィート）の陥没により、北極と南極の半径の差が45メートル（148フィート）であると推定を精緻化した。^[12]^[13]極の非対称性は、地球の平坦化の約1000分の1であり、一部の地域ではジオイドの起伏よりもさらに小さい。^[14]

ジオイド

現代の測地学では、回転楕円体を基準楕円体として保持し、三軸度と洋ナシ形状をジオイド図の一部として扱う傾向があります。これらは、三軸度の場合は次数 2.2、洋ナシ形状の場合は次数 3.0 に対応する球面調和関数係数とで表されます。 $C_{22},S_{22}$ $C_{30}$

測定は地球の見かけの表面、つまり地形の表面で行われると先ほど述べましたが、計算は楕円体で行われると説明しました。測地測定には、もう 1 つの表面、ジオイドが関係します。測地測量では、ポイントの測地座標の計算は、通常、調査エリア内の地球のサイズと形状に近い基準楕円体で行われます。ただし、特定の機器を使用して地球の表面で行われた実際の測定は、ジオイドを参照します。楕円体は、特定の寸法を持つ数学的に定義された規則的な表面です。一方、ジオイドは、地球の質量引力 (重力) と地球の自転による遠心力の組み合わせ効果に自由に調整できるとすれば、地球全体の海洋が従う表面と一致します。地球の質量が不均一に分布しているため、ジオイド面は不規則であり、楕円体は規則的な表面であるため、ジオイドの起伏、ジオイドの高さ、またはジオイドの分離と呼ばれる 2 つの間の分離も不規則になります。

ジオイドとは、重力ポテンシャルがどこでも等しく、重力の方向が常にジオイドに垂直である面のことである。後者は、重力基準水準器を備えた光学機器が測地測定によく使用されるため、特に重要である。適切に調整すると、機器の垂直軸は重力の方向と一致し、したがってジオイドに垂直になる。ジオイドに垂直な鉛直線（「鉛直」と呼ばれることもある）と楕円体への垂線（「楕円体法線」と呼ばれることもある）の間の角度は、鉛直線の偏向として定義される。これは、東西成分と南北成分の 2 つの成分を持つ。^[3]

局所近似

より単純な局所近似が可能です。

ローカル接線平面

ローカル接線平面は、短い距離にわたる解析に適しています。

接触球

与えられた点の近傍における楕円体の最良の局所球面近似は、地球の接触球である。その半径は地球のガウス曲率半径に等しく、その半径方向は測地法線方向と一致する。接触球の中心は楕円体の中心からオフセットされているが、楕円体表面上の与えられた点の曲率中心にある。この概念は、地球および惑星の電波掩蔽屈折測定の解釈や、一部の航行および監視アプリケーションに役立つ。 ^[15]^[16]

地球の自転と地球内部

地球の正確な形状を決定することは、測地学の幾何学的課題であるだけでなく、地球物理学的考慮も必要である。ニュートン、レオンハルト・オイラーらによる理論的議論によれば、地球のように自転する均一な密度 5,515 kg/m ³の物体は、扁平率が 1:229 であるはずである。これは、地球内部の組成に関する情報がなくても結論付けられる。^[17]しかし、測定された扁平率は 1:298.25 であり、これは球形に近く、地球の核が非常にコンパクトであるという強力な議論である。したがって、密度は深さの関数でなければならず、表面での2,600 kg/m ^{3 (}花崗岩などの岩石密度) から内核内では 13,000 kg/m ³までの範囲である。^[18]

地球規模および地域規模の重力場

地球内部の物理的探査に関係するものに、重力場があります。重力場は、重力 (質量引力による) と遠心力 (回転による) の総合的な効果です。重力場は、地表でも、衛星によって遠隔でも非常に正確に測定できます。地形やあらゆる地質学的質量が重力場を乱すため、真の垂直は理論上の垂直 (最大 50 インチの偏差範囲)とは一致しません。したがって、地殻とマントルの大まかな構造は、地下の測地地球物理学的モデルによって決定できます。

参照

歴史

参考文献

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帰属

この記事には、パブリックドメインである次のソースからのテキストが組み込まれています:国防地図局 (1983)。一般人のための測地学 (レポート)。米国空軍。

さらに読む

ガイ・ボンフォード、測地学、オックスフォード、1952年および1980年。
ガイ・ボンフォード、「垂直偏向によるヨーロッパジオイドの決定」、通信報告書 14、IUGG第 10 世代協会、ローマ 1954 年。
Karl Lederstegerと Gottfried Gerstbach、水平等スタシス/ ジオイド 31. Ordnung。 Geowissenschaftliche Mittailungen Band 5、TU Wien 1975。
Helmut Moritzおよび Bernhard Hofmann、「Physical Geodesy」、Springer、ウィーンおよびニューヨーク、2005 年。
一般人のための測地学、国防地図局、セントルイス、1983年。

外部リンク

参照楕円体（PCI Geomatics）
参照楕円体 (ScanEx)
気候変動による地球の形状の変化 2009年1月22日アーカイブ、Wayback Machine
ジョス・レイス「地球の形」

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