子午線弧

測地学および航海学において、子午線弧とは、地球表面付近の同じ経度を持つ2点間の曲線のことである。この用語は、子午線の一部分、あるいはその長さを指す場合がある。子午線弧の実際的な測定（野外調査で測定機器を用いる方法）と理論的な計算（幾何学と抽象数学に基づく方法）は、長年にわたり研究されてきた。

子午線弧を測定する目的は、地球の形状を決定することです。1つまたは複数の子午線弧の測定値を用いることで、測定領域におけるジオイドを最もよく近似する基準楕円体の形状を推定できます。世界中の多くの子午線に沿った複数の緯度における子午線弧の測定値を組み合わせることで、地球全体にフィットすることを目的とした地心楕円体を近似することができます。

球状の地球の大きさを最初に決定するには、単一の弧が必要でした。19世紀に始まった正確な測量作業では、測量を行う地域で複数の弧の測定が必要となり、その結果、世界中で基準楕円体が多数作成されました。最新の決定では、基準楕円体を決定するために天体測地学的測定と衛星測地学的手法が用いられており、特にWGS 84などのグローバル座標系で現在使用されている地心楕円体（数値表現を参照）が用いられています。

1789年のフランス革命から計測基準の改革の試みが始まり、最終的にはメートルを定義するためにパリを通る子午線を測定するという途方もない試みにつながった。^{[ 7 ]： 52}計測改革の問題はフランス科学アカデミー に委ねられ、同アカデミーはジャン＝シャルル・ド・ボルダを委員長とする委員会を任命した。秒振り子法の代わりに、ボルダ、ラグランジュ、ラプラス、モンジュ、コンドルセを含むフランス科学アカデミーの委員会は、新しい尺度は北極から赤道までの距離（地球の円周の四分円）の1000万分の1に等しく、パリを通る子午線に沿ってパリのパンテオンの経度で測定されるべきであると決定し、そこがパリの中央測地局となった。^{[ 8 ] [ 9 ]}ジャン・バティスト・ジョゼフ・ドランブルは、パンテオンのドームからパリ周辺のすべての測地点を三角測量することで、パンテオンの基本座標を取得しました。 ^{[ 9 ]}

フランス人測量士の安全なアクセスという明白な考慮事項とは別に、パリ子午線は科学的な理由からも適切な選択でした。ダンケルクからバルセロナまでの象限の一部（約1000  km、全体の10分の1）は、海面を始点と終点として測量することができ、^{[ 10 ]}その部分は象限のほぼ中央に位置しており、地球の扁平率の影響を考慮する必要がないと予想されていました。^{[ 11 ]}

この探検は英仏測量の後に行われるため、イギリスを北に横断するフランス子午線弧は、南はバルセロナまで、後にバレアレス諸島まで伸びることになる。ジャン＝バティスト・ビオとフランソワ・アラゴは、1821年に、ドランブルとメシャンの観測結果を補完する観測結果を発表した。それは、パリ子午線に沿った子午線弧の振幅1度の部分の長さの変化と、シェトランド諸島とバレアレス諸島の間の同じ子午線に沿った秒振り子の長さの変化に関する記述であった。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

子午線弧の測量作業はピエール・メシャンとジャン＝バティスト・ドランブルに委ねられ、6年以上（1792～1798年）を要した。革命後の激動期に測量士たちが直面した問題は技術的な困難だけではなかった。メシャンとドランブル、そして後にフランソワ・アラゴは、測量中に何度も投獄され、メシャンは1804年に黄熱病で亡くなった。彼は北スペインで当初の測量結果を改善しようとしていた際に黄熱病に感染した。^{[ 18 ]}

このプロジェクトは2つの部分に分けられ、ダンケルクのサン・エロワ教会の 鐘楼からロデーズ大聖堂までの742.7 kmの北部区間はデランブルが測量し、ロデーズからバルセロナのモンジュイック要塞までの333.0 kmの南部区間はメシャンが測量した。メシャンの担当区間はデランブルの半分の長さであったが、ピレネー山脈とこれまで測量されていなかったスペインの一部が含まれていた。^{[ 19 ]} 

ドランブルは、ムランとリューサンを結ぶ直線道路に沿って、長さ約 10  km (6,075.90トワーズ)の基線を測定した。6 週間かかる作業で、基線はそれぞれ長さ 2トワーズ(1トワーズは約 1.949 m) の 4 本のプラチナ棒を使用して正確に測定された。^{[ 19 ]}その後、彼は可能な限り、ニコラ・ルイ・ド・ラカイユが1739 ～ 1740 年にダンケルクからコリウールまでのフランス子午線弧を測量した際に使用した三角測量点を使用した。^{[ 20 ]}メシャンの基線も同様の長さ (6,006.25トワーズ) で、ヴェルネ (ペルピニャン地域) とサルセス (現在のサルセス・ル・シャトー)を結ぶ直線道路上に設定された。^{[ 21 ]} 

1793年8月1日に国民公会が採択した、新しい十進メートル法の単位を普及させるという決定を実行に移すため、^{[ 24 ]}測定中の子午線の一部に基づいてメートルの長さを定めることが決定された。この決定は、1740年にニコラ・ルイ・ド・ラカイユとセザール＝フランソワ・カッシーニ・ド・テュリーによって行われたダンケルクからコリウールまでのフランス子午線の測定によって決定される暫定メートル（フランス語：mètre provisoire）の長さを定めるというものである。メートルの長さは、当時使用されていたルネ＝アントワーヌ・ フェルショー・ド・レオミュールの温度目盛の13度で測定された、ペルーのトワーズとも呼ばれるアカデミーのトワーズとの関係で、3フィート11.44ラインに定められた。この値は1795年4月7日の法律で定められました。^{[ 24 ]}そのため、1795年から1796年にかけてフランスで配布されたのは443.44リーニュの金属棒でした。^{[ 18 ]}これは、元老院の入り口のほぼ向かい側にあるヴォージラール通りのアーケードの下に設置されたメートルでした。^{[ 20 ]} 

1798年11月末、ドランブルとメシャンはデータを持ってパリに戻り、バタヴィア共和国：ヘンリカス・アエネエとジャン・アンリ・ファン・スウィンデン、チサルピナ共和国： ロレンツォ・マスケローニ、デンマーク王国：トーマス・ブッゲ、 スペイン王国：ガブリエル・シスカールとアグスティン・デ・ペドラエスの代表で構成される外国委員会に会うための調査を完了し、データを持ってパリに戻った。ヘルヴェティア共和国：ヨハン・ゲオルク・トラッレス、リグーリア共和国：アンブロージョ・ムルテード、サルデーニャ王国：プロスペロ・バルボ、アントニオ・ヴァッサリ・エアンディ、ローマ共和国：ピエトロ・フランキーニ、トスカーナ共和国：タレーランに招待されたジョヴァンニ・ファッブローニ。フランス委員会は、ジャン＝シャルル・ド・ボルダ、バルナベ・ブリッソン、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロン、ジャン・ダルセ、ルネ・ジュスト・オーイ、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、 ピエール＝シモン・ラプラス、ルイ・ルフェーブル＝ジノー、ピエール・メシャン、ガスパール・ド・プロニーで構成されていました。^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}

1799年、ヨハン・ゲオルク・トラレス、ジャン・アンリ・ファン・スウィンデン、アドリアン＝マリー・ルジャンドル、ピエール＝シモン・ラプラス、ガブリエル・シスカール、ピエール・メシャン、ジャン＝バティスト・ドランブルを含む委員会は、ダンケルクとバルセロナ間の三角測量のデータを用いて、ダンケルクからバルセロナまでの距離を計算し、それが北極から赤道までの距離の何分の1に相当するかを決定した。ピエール・メシャンとジャン＝バティスト・ドランブルの測定値は、フランス赤道測地調査団の結果と組み合わされ、地球の扁平率として1/334という値が得られ た。^{[ 26 ] [ 10 ]}ピエール＝シモン・ラプラスは当初、ダンケルクからバルセロナまでの弧の測定のみから地球の楕円体問題を解明しようとしましたが、この子午線弧の部分では、許容できないと考えられる 1 / 150 という扁平率が得られました。[ 23 ] [ 26 ^{] [ 28 ]この値は、あまりに}も限られたデータに基づく推測の結果でした。地球の別の扁平率は、ラップランドへのフランス測地調査団の結果も除外したデランブルによって計算され、デランブルとメシャンの弧の測定結果とスペイン・フランス測地調査団の結果を天文弧の補正を考慮して組み合わせると、1 / 300に近い値が得られました。^{[ 29 ] [ 26 ] [ 13 ] [ 30 ]}北極から赤道までの距離は、ダンケルクとバルセロナ間のパリ子午線弧の測定値から外挿され、次のように決定された。5,130,740トワーズ 。メートルはこの距離の1,000万分の1に等しくなければならなかったため、 1735年にフランス測地調査団のためにペルーに建設されたペルーのトワーズの0.513074トワーズ、つまり3フィート11.296ラインと 定義 された。^{[ 25 ] [ 10 ]}最終結果が判明すると、メートルの南北定義に最も近い長さの棒が選択され、結果の永久記録として1799年6月22日（共和暦の4メシドール、アンVII）に国立公文書館に保管された。^{[ 20 ]} 

球面上では、子午線弧の長さは円弧の長さと等しくなります。回転楕円体上では、短い子午線弧の場合、地球の子午線曲率半径と円弧の公式を用いてその長さを近似することができます。

より長い弧の場合、長さは2つの子午線距離、つまり赤道から緯度φの地点までの距離の引き算によって求められます。

これは地図投影法、特に横メルカトル図法の理論において重要な問題である。

楕円体の主なパラメータはa、b、fですが、理論的な研究では、特に離心率eと第 3 の扁平率nといった追加のパラメータを定義することが有用です。これらのパラメータのうち独立なのは 2 つだけで、それらの間には多くの関係があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {ab}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,,\qquad n={\frac {ab}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad a+b=a(2-f)={\frac {2a}{1+n}}.\end{aligned}}}$

赤道から極までの距離、つまり四分経線（四分円に相当）は、地球の四分円としても知られています。

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

それはメートルと海里の歴史的な定義の一部であり、ヘブドメートルの定義にも使用されていた。

四分の一子午線は、第２種の完全楕円積分を用いて表すことができる。

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

どこ${\displaystyle e,e'}$これらは第1および第2の偏心率です。

四分の一子午線は、次の一般化された級数によっても表されます。

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

( c ₀の式については、上記の「一般化級数」のセクションを参照してください。) この結果は、ジェームズ・アイボリーによって最初に得られました。^{[ 49 ]}

WGS84楕円体上の四分の一子午線の数値表現は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

いくつかの問題では、逆問題を解く必要があります。弧の長さmが与えられたとき、緯度φを求めます。これは、ニュートン法で反復して解くことができます。

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

収束するまで。適切な初期推定値はφ ₀ = μで与えられます。

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

は補正緯度です。 の場合、子午線曲率半径M ( φ )の式を使用できるため、 m ( φ )の級数を微分する必要はありません。

あるいは、ヘルマートの子午線距離の級数を逆算すると、^{[ 50 ] [ 51 ]が得られる。}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

同様に、 βに関するmのベッセル級数は逆算して^{[ 52 ]}を与えることができる。

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

アドリアン＝マリー・ルジャンドルは、回転楕円体上の測地線に沿った距離は楕円の周長に沿った距離と同じであることを示した。^{[ 53 ]}このため、上記で示したβとその逆数によるmの式は、 m を測地線に沿った距離sに、 β を補助球上の弧長σに置き換えた測地線問題の解法において重要な役割を果たす。^{[ 46 ] [ 54 ]}必要な級数は、6 次まで拡張され、チャールズ・カーニーによって与えられている。^{[ 55 ]}式 (17) および (21) で、ε はnの役割を果たし、τ はμの役割を果たす。

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