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地球楕円体または地球回転楕円体は、地球の形状と大きさを近似する数学的な図形 であり、測地学、天文学、地球科学における座標や計算の基準系の一部として使用されます。近似値として、さまざまな異なる基準楕円体が使用されてきました。
地球は扁平回転楕円体（回転楕円体）であり、その短軸（極直径）は地理的な両極を結び、地球の自転軸とほぼ一致している。また、長軸（赤道軸）によっても定義され、両軸の差は21km強 、つまり0.335%である。
地球楕円体の軸を決定する方法は数多く存在し、子午線弧から現代の衛星測地学、大陸測地網の解析と相互接続まで多岐にわたる。各国の測量で使用される様々なデータセットの中でも、特に重要なものとして、 1841年のベッセル楕円体、1924年の国際ヘイフォード楕円体、そして（GPS測位用の）WGS84楕円体などが挙げられる。
楕円体には、平均楕円体と基準楕円体の2種類がある。
地球表面曲率のグローバル平均を表すデータセットは、平均地球楕円体と呼ばれます。これは、地理的緯度とジオイドの南北曲率との間の理論的な整合性を指します。後者は平均海面に近いため、理想的な地球楕円体はジオイドと同じ体積を持ちます。
地球平均楕円体は地球測地学の理想的な基礎ですが、地域ネットワークでは、いわゆる基準楕円体のほうが良い選択肢となる場合があります。[ 1 ]測地学的測定を数学的基準面上で計算する必要がある場合、この面は地域ジオイドと同様の曲率を持つ必要があります。そうでない場合、測定値の縮小に小さな歪みが生じます。
これが、ヘイフォード楕円体やベッセル楕円体といった旧来の基準楕円体が、主軸が現代の値から数百メートルもずれているにもかかわらず、「長寿命」である理由です。もう一つの理由は、法的側面です。数百万個もの境界石の座標は、長期間固定されたままでなければなりません。基準面が変われば、座標自体も変わってしまうからです。
しかし、国際ネットワーク、GPS測位、あるいは宇宙航行においては、こうした地域的な理由はあまり重要ではありません。地球の形状に関する知識がますます正確になるにつれて、国際地球科学連合（IUGG）は通常、地球楕円体の軸を入手可能な最良のデータに合わせて調整します。
測地学において、基準楕円体とは、地球やその他の惑星体のより真の、しかし不完全な形状であるジオイドを近似する、数学的に定義された表面のことです。これは、内部の組成や密度の変動による重力の起伏、および（自転する惑星体の場合）これらの巨大な物体の回転による遠心力によって生じる扁平化を考慮に入れた、完全で滑らかで変化のない球体とは異なります。基準楕円体は比較的単純であるため、測地網の計算や緯度、経度、標高などの点座標の定義を行う際に、好ましい表面として使用されます。
標準化および地理的応用の文脈において、測地基準楕円体は、空間参照システムまたは測地基準面の定義の基礎として使用される数学モデルである。
地球物理学、測地学、および関連分野では、「楕円体」という言葉は「回転楕円体」を意味すると理解されており、古い用語である「扁平回転楕円体」はほとんど使用されていません。[ 2 ] [ 3 ] 回転楕円体でうまく近似できない物体には、三軸（または不等辺）楕円体が使用されます。
回転楕円体の形状は、その楕円の形状パラメータによって決まります。楕円の長半径aは、回転楕円体の赤道半径となり、短半径bは、中心から両極までの距離となります。これらの2つの長さによって、回転楕円体の形状が完全に決定されます。
しかし、測地学の出版物では、半長軸（赤道半径）aと扁平率fを指定するのが一般的であり、これらは次のように定義される。
つまり、f は各極における扁平率であり、赤道における半径に対する比率です。これはしばしば 1/ mという分数で表され、m = 1/ fは「逆扁平率」となります。測地学では他にも多くの楕円パラメータが使用されますが、それらはすべてa、b 、 fの 1 つまたは2 つと関連付けることができます。
過去には、地球をモデル化するために非常に多くの楕円体が用いられてきました。それらの楕円体では、aとbの値がそれぞれ異なり、中心の位置や、地球本体に対する軸の向きも様々でした。20世紀後半以降、衛星の軌道や恒星の位置の測定精度が向上したことで、地球の重心と公転軸を極めて正確に決定できるようになり、これらのパラメータは現代のすべての基準楕円体にも採用されています。
地図作成や衛星航法に広く使われている楕円体WGS-84は、 fが1/300に近い値（定義上、より正確には1/298.257223563）で、長軸と短軸の差が約21km（13マイル）（より正確には21.3846857548205km）に相当します 。比較のために言うと、地球の月はさらに楕円形ではなく、扁平率は1/825未満です。木星は明らかに扁平で、約1/15の扁平率を示し、土星の三軸衛星の1つであるテレストは非常に扁平で、fは1/3から1/2の間（つまり、極直径が赤道直径の50%から67%の間）です。
弧測定は、楕円体を決定する歴史的な方法です。2つの子午線弧測定により、基準楕円体を指定するために必要な2つのパラメータを導出できます。たとえば、測定が赤道面とどちらかの地理上の極で正確に行われたと仮定すると、得られた曲率半径は、それぞれ赤道半径と極半径aとbに関連付けられます（地球の極曲率半径と赤道曲率半径を参照）。すると、扁平率はその定義から容易に導き出されます。
任意の平均緯度における2つの弧の測定、解は、赤道半径の初期近似値から始まる。そして平坦化のために理論上の地球の南北方向の曲率半径各弧の測定地点の緯度において、以下のように計算できます。
どこ[ 4 ] すると、曲率半径の経験値と理論値の間には次のような差異が生じる可能性がある。最後に、初期赤道半径の補正そして平坦化線形化によって定式化された線形方程式系によって解くことができる。: [ 5 ]
ここで偏微分は次のようになります。[ 5 ]
複数の中間緯度での測定を含むより長い弧を用いることで、調査領域に最も適合する楕円体を完全に決定することができる。実際には、複数の弧の測定を用いて最小二乗法による調整により楕円体のパラメータを決定する。決定されるパラメータは通常、長半径、、また短半径のいずれか、扁平化、または偏心。
曲率半径の測定で観測される地域規模の系統的効果は、天体測地測量で調査されているように、ジオイドの起伏と鉛直の偏向を反映している。
重力測定は、クレローの定理に従って地球の扁平度を測定するもう一つの手法である。
現代の測地学では、もはや単純な子午線弧や地上三角測量網は使用せず、衛星測地学、特に衛星重力測定法が用いられる。
1687年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア』を出版し、その中で、平衡状態にある回転する自己重力流体は、その短径を中心に回転する楕円によって生成される扁平な（「扁平」な）回転楕円体の形をとるという証明を含めた。彼はこの形状を扁平回転楕円体と呼んだ。[ 8 ] [ 9 ]
1669年、ジャン・ピカールは地球の半径を6,365.6キロメートルと初めて正確かつ信頼できる値として発見した。[ 10 ] [ 11 ] ピカールの測地学的観測は地球を球体とみなしてその大きさを決定することに限られていたが、ジャン・リシェの発見により、数学者の注目は地球が球形からずれていることに向けられた。[ 12 ] [ 13 ]クリスティアーン・ホイヘンスは、緯度に応じて重力加速度が変化することを説明する遠心力を発見した。[ 14 ]
1743年、アレクシス・クレローは、重力加速度の変化を研究することで地球の形状を決定できるという定理を提唱した。その重要なパラメータは地球楕円体の扁平率であった。 [ 14 ] [ 11 ] 18世紀末頃、測地学者は、子午線弧の測定から得られた扁平率の値と、重力測定から得られたクレローの定理によって与えられた扁平率の値を調和させようとした。[ 11 ] [ 15 ] 1799年、度量衡委員会は、ペルーの弧とドランブルとメシャンの子午線弧のデータを組み合わせたピエール＝シモン・ラプラスの分析に基づいて、扁平率を1/334とした。[ 16 ] : 3 [ 16 ] [ 17 ]
以下に挙げる基準楕円体モデルは、測地学において有用であり、多くは現在も使用されています。古い楕円体は、それを考案した人物にちなんで名付けられ、開発年が示されています。1887年、イギリスの測量士アレクサンダー・ロス・クラーク大佐（CB、FRS、RE）は、地球の形状を決定した功績により、王立協会の金メダルを授与されました。国際楕円体は、 1910年にジョン・フィルモア・ヘイフォードによって開発され、1924年に国際測地学・地球物理学連合（IUGG）によって採用され、国際的な使用が推奨されました。
1967年にスイスのルツェルンで開催された国際測地基準連合（IUGG）の会議において、リストに掲載されていたGRS-67（測地基準系1967）と呼ばれる楕円体が採用されることが推奨されました。この新しい楕円体は、国際楕円体（1924年）に取って代わるものとして推奨されたのではなく、より高い精度が求められる用途での使用が提唱されたものです。これは、1971年にモスクワで開催されたIUGGの会議で承認・採用されたGRS-67の一部となりました。オーストラリアでは、オーストラリア測地基準系および南米測地基準系1969で使用されています。
1979年にオーストラリアのキャンベラで開催された国際測地学連合（IUGG）の会議で承認・採択されたGRS-80（測地基準系1980）は、赤道半径（地球楕円体の長半径）に基づいている。総質量、動的なフォームファクター回転の角速度逆平坦化派生量。GRS-80とWGS-84の間に見られる差異は、後者の定義定数の意図しない切り捨てに起因する。WGS-84はGRS-80に厳密に準拠するように設計されたが、偶然にもWGS-84から導出された扁平率はGRS-80の扁平率とわずかに異なっていた。これは、GRS-80の値から導出された正規化された2次帯状調和重力係数が、正規化処理において、有効数字8桁に切り捨てられた。[ 18 ]
楕円体モデルは、楕円体の形状とそれに付随する通常の重力場の式のみを記述します。一般的に、楕円体モデルはより包括的な測地基準系の一部です。例えば、古いED-50（欧州測地基準1950 ）は、ヘイフォード楕円体または国際楕円体に基づいています。WGS-84は、完全な測地基準系とその構成要素である楕円体モデルの両方に同じ名前が使用されている点で特殊です。しかしながら、楕円体モデルと測地基準系という2つの概念は依然として区別されています。
同じ楕円体でも、異なる名称で呼ばれる場合があることに注意してください。明確な識別のためには、定義定数を明記するのが最善です。
