地理的距離

地理的距離または測地距離は、地球の表面に沿って測定された距離、または最短の弧の長さ です。

この記事の公式は、緯度と経度の観点から地理座標で定義された点間の距離を計算します。この距離は、2 番目の (逆) 測地問題を解く要素です。

地理座標間の距離の計算は、ある程度の抽象化に基づいています。正確な距離は得られませんが、地球の表面のあらゆる凹凸を考慮しようとすると、正確な距離は得られません。^[1] 2つの地理的な地点間の表面の一般的な抽象化は次のとおりです。

• 平らな表面。
• 球面;
• 楕円体の表面。

上記のすべての抽象化では、標高の変化は無視されます。理想化された表面に対する標高の変化を考慮した距離の計算については、この記事では説明しません。

• トンネル距離に基づく近似: 平面、ガウス中緯度;${\displaystyle |\Delta D_{\text{error}}|\propto D^{3}}$
• 0次近似：球面${\displaystyle |\Delta D_{\text{error}}|\propto D}$
• 楕円体に基づく高次近似: : Andoyer(1932); Andoyer-Lambert(1942), : Andoyer-Lambert-Thomas(1970), : Vincenty(1975), : Kaney(2011);半球面上${\displaystyle f^{1}}$${\displaystyle f^{2}}$${\displaystyle f^{3}}$${\displaystyle f^{6}}$${\displaystyle \Delta |D_{\text{error}}|\propto D}$

上記に理論的な誤差推定値が追加され、地球が 平坦化します。${\displaystyle f}$

弧距離は、球面/楕円体の表面に沿った 2 点と間の最短距離です。一方、トンネル距離、つまり弦の長さ は、直交直線に沿って測定されます。2 点の地理座標 (緯度、経度) は、それぞれとです。2 点のどちらが と指定されるかは、距離の計算には重要ではありません。 ${\displaystyle D,\,\!}$${\displaystyle P_{1}\,\!}$${\displaystyle P_{2}\,\!}$${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})\,\!}$${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!}$${\displaystyle P_{1}\,\!}$

地図上の緯度と経度の座標は、通常、度で表されます。以下の式の形式では、正しい結果を得るために、1 つ以上の値を指定された単位で表す必要があります。地理座標が三角関数の引数として使用される場合、値は、三角関数の値を決定するために使用される方法と互換性のある任意の角度単位で表すことができます。多くの電子計算機では、度またはラジアンのいずれかで三角関数を計算できます。計算機モードは、幾何学的座標に使用される単位と互換性がある必要があります。 ${\displaystyle \phi \,\!}$${\displaystyle \lambda \,\!}$

緯度と経度の差は次のようにラベル付けされ、計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!}$

以下の式で使用する場合、結果が正であるか負であるかは重要ではありません。

「平均緯度」は次のように分類され、計算されます。

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!}$

特に指定がない限り、以下の計算における地球の 半径は次のとおりです。

${\displaystyle R\,\!}$= 6,371.009 キロメートル = 3,958.761 法定マイル = 3,440.069海里。

${\displaystyle D_{\,}\!}$= 地球の表面に沿って測定された 2 点間の距離。特に指定がない限り、半径の値と同じ単位が使用されます。

以下のいくつかの平面公式に現れるの正弦関数の近似は、特異点や不連続性を誘発する可能性があります。また、高緯度の場合、精度が低下する可能性もあります。 ${\displaystyle \Delta \lambda }$

経度は、極（経度は未定義）で特異点を持ち、 ± 180°子午線で不連続になります。また、一定緯度の円の平面投影は、極の近くで大きく湾曲します。したがって、デルタ緯度/経度（、）と平均緯度（）に関する上記の式は、極または±180°子午線の近くの位置に対しては期待される答えを与えない可能性があります。たとえば、およびが±180°子午線のどちらかの側にある場合の（「東の変位」）の値、または2つの位置（ =89°、=45°）と（=89°、 =−135°）に対する（「平均緯度」）の値を検討してください。 ${\displaystyle \Delta \phi \!}$${\displaystyle \Delta \lambda \!}$${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$${\displaystyle \Delta \lambda \!}$${\displaystyle \lambda _{1}\!}$${\displaystyle \lambda _{2}\!}$${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\!}$${\displaystyle \phi _{1}\!}$${\displaystyle \lambda _{1}\!}$${\displaystyle \phi _{2}\!}$${\displaystyle \lambda _{2}\!}$

緯度/経度に基づく計算が地球上のすべての位置に対して有効である場合、不連続性と極が正しく処理されていることを確認する必要があります。別の解決策は、緯度/経度の代わりにnベクトルを使用することです。この表現には不連続性や特異点がないためです。

地球の表面の平面近似は、非常に短い距離では役に立つ場合があります。これは、円弧の長さ をトンネルの距離 に近似するか、以下に示す円弧と弦の長さの間の変換を省略します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

平面上の 2 点間の最短距離はデカルト直線です。ピタゴラスの定理は、平面上の点間の距離を計算するために使用されます。

たとえ短い距離であっても、地球が平面であると仮定した地理的距離の計算の精度は、緯度と経度の座標を平面上に投影する方法に依存します。緯度と経度の座標を平面上に投影することは、地図作成の領域です。

このセクションで紹介する数式は、さまざまな精度を提供します。

この式は、経線間の距離と緯度の変化を考慮に入れています。

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=R{\sqrt {\left(2\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\\&\approx R{\sqrt {\left(\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}\ .\end{aligned}}}$

上記は、高緯度を除いて正当化される の正弦関数を近似することによってさらに簡略化されます。 ${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \lambda )^{2}}}}$。

この近似は非常に高速で、短い距離に対してはかなり正確な結果を生成します^{[引用が必要]}。また、データベースクエリなどで距離で場所を並べ替える場合は、距離の二乗で並べ替える方が高速で、平方根を計算する必要がなくなります。

上記の式は楕円体地球に拡張されます。

${\displaystyle D={\sqrt {\left(M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\Delta \phi \,\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}+\left(2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)^{2}}}}$、

ここで、 および は、地球の子午線半径とその垂直方向、つまり「通常の」曲率半径です(公式については、 「地理座標変換」も参照してください)。${\displaystyle M\,\!}$${\displaystyle N\,\!}$

これは平方根 の近似によって導かれます。${\displaystyle \left(\cos \phi _{\textrm {m}}\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\Delta \phi \right)^{2}\approx 0}$

上記は、高緯度を除いて正当化される正弦関数を近似することによってさらに簡略化される：^{[2] [3]}${\displaystyle {\frac {\Delta \lambda }{2}}}$

${\displaystyle D={\sqrt {(M(\phi _{\mathrm {m} })\Delta \phi )^{2}+(N(\phi _{\mathrm {m} })\cos \phi _{\mathrm {m} }\Delta \lambda )^{2}}}.}$

FCCは475キロメートル（295マイル）を超えない距離については以下の式を規定している。^[4]

${\displaystyle D={\sqrt {(K_{1}\Delta \phi )^{2}+(K_{2}\Delta \lambda )^{2}}},}$

どこ

${\displaystyle D\,\!}$= キロメートル単位の距離;

${\displaystyle \Delta \phi \,\!}$およびは度数で表されます。${\displaystyle \Delta \lambda \,\!}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {m} }\,\!}$決定に使用した方法と互換性のある単位でなければならない${\displaystyle \cos \phi _{\mathrm {m} };\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{1}&=111.13209-0.56605\cos(2\phi _{\mathrm {m} })+0.00120\cos(4\phi _{\mathrm {m} });\\K_{2}&=111.41513\cos(\phi _{\mathrm {m} })-0.09455\cos(3\phi _{\mathrm {m} })+0.00012\cos(5\phi _{\mathrm {m} }).\end{aligned}}\,\!}$

ここで、 およびはキロメートル/弧度単位です。これらは次のように地球の曲率半径から求められます。 ${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$

${\displaystyle K_{1}=M(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= 緯度差の弧度あたりのキロメートル;

${\displaystyle K_{2}=\cos(\phi _{\mathrm {m} })N(\phi _{\mathrm {m} }){\frac {\pi }{180}}\,\!}$= 経度差の弧度あたりのキロメートル;

FCC 式の式は、 およびの二項級数展開形式を切り捨てて、 Clarke 1866参照楕円体に設定した値から導出されていることに注意してください。上記の式をより計算効率よく実装するには、コサインの複数回の適用を 1 回の適用に置き換え、チェビシェフ多項式の再帰関係を使用します。${\displaystyle M\,\!}$${\displaystyle N\,\!}$

${\displaystyle D=R{\sqrt {\theta _{1}^{2}\;{\boldsymbol {+}}\;\theta _{2}^{2}\;\mathbf {-} \;2\theta _{1}\theta _{2}\cos(\Delta \lambda )}},}$

ここで、余緯度の値はラジアン単位です。${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi .}$

度で測定された緯度の場合、ラジアンでの余緯度は次のように計算できます。${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{180}}(90^{\circ }-\phi ).\,\!}$

0.5% の誤差を許容できる場合は、地球の表面を最もよく近似する球面上で 球面三角法の公式を使用できます。

球面上の 2 点間の球面に沿った最短距離は、その 2 点を含む大円に沿った距離です。

大圏距離の記事では、地球とほぼ同じ大きさの球面上の最短のアーチの長さを計算する公式が示されています。その記事には計算例も含まれています。たとえば、トンネル距離から、 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{\textrm {t}}}$

${\displaystyle D=2R\arcsin {\frac {D_{\textrm {t}}}{2R}}.}$

短距離（）の場合、 ${\displaystyle D\ll R}$

${\displaystyle D=D_{\textrm {t}}\left(1+{\frac {1}{24}}\left({\frac {D_{\textrm {t}}}{R}}\right)^{2}+\cdots \right).}$

地球上の地点間のトンネルは、関心のある地点間の 3 次元空間を通る直交線によって定義されます。トンネルの距離は大円弦の長さであり、対応する単位球に対して次のように計算できます。 ${\displaystyle D_{\textrm {t}}=2R\sin {\frac {D}{2R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos(\phi _{2})\cos(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\cos(\lambda _{1});\\\Delta {Y}&=\cos(\phi _{2})\sin(\lambda _{2})-\cos(\phi _{1})\sin(\lambda _{1});\\\Delta {Z}&=\sin(\phi _{2})-\sin(\phi _{1});\\D_{\textrm {t}}&=R{\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\\&=2R{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}+\left(\cos ^{2}{\frac {\Delta \phi }{2}}-\sin ^{2}\phi _{\textrm {m}}\right)\sin ^{2}{\frac {\Delta \lambda }{2}}}}\\&=2R{\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

楕円体は、球体や平面よりもはるかに正確に地球の表面を近似します。楕円体の表面上の 2 点間の最短距離は、 測地線に沿います。測地線は、大円よりも複雑な経路をたどり、特に、地球を 1 周した後で元の位置に戻ることはありません。右の図にこれを示し、この効果を強調するためにfを 1/50 としています。地球上の 2 点間の測地線を見つけること、いわゆる逆測地問題 は、18 世紀から 19 世紀にかけて多くの数学者や測地学者の関心事であり 、クレロー^[5] 、ルジャンドル^[6] 、ベッセル^[7] 、ヘルメルトが大きな貢献をしました。Astron. Nachr. 4、241–254 (1825) の英訳。正誤表。^[8] ラップ^[9]は この研究の優れた要約を提供している。

測地距離を計算する方法は、 地理情報システム、ソフトウェアライブラリ、スタンドアロンユーティリティ、オンラインツールなどで広く利用できます。最も広く使用されているアルゴリズムは 、Vincenty ^[10]によるもので 、楕円体の平坦化において 3 次精度 (約 0.5 mm) の級数を使用します。ただし、このアルゴリズムは、ほぼ反対側にある点では収束しません。(詳細については、Vincenty の公式を参照してください。) この欠陥は、Karney ^[11]によるアルゴリズムで修正されています 。Karney は、平坦化において 6 次精度の級数を使用します。この結果、完全な倍精度の精度を持ち、地球上の任意の点のペアで収束するアルゴリズムが得られます。このアルゴリズムは、GeographicLib ^{[12]に実装されています。}

上記の正確な方法は、コンピュータで計算を実行する場合に実行可能です。これらの方法は、任意の長さの線に対してミリメートル単位の精度を実現することを目的としています。ミリメートル単位の精度が必要ない場合、またはミリメートル単位の精度が必要でも線が短い場合は、より単純な式を使用できます。

短線法は多くの研究者によって研究されてきました。Rapp ^[13]は第6章で、Puissant法、Gauss中緯度法、Bowring法について説明しています。^[14] Karl Hubeny ^[15]は、 Gauss中緯度法の拡張級数を平面法の補正として表しました。

歴史的には、長距離直線公式は平坦化 に関する展開級数の形で導出されてきた。^{[16] [17]}${\displaystyle f}$

ランバートの公式^[18]は 、一次補正と縮尺緯度を用いて精度を高めています。この公式は、数千キロメートルの距離で10メートルのオーダーの精度を実現します。 ${\displaystyle \beta =\arctan \left((1-f)\tan \phi \right)}$

まず、 2 点の緯度、を縮約緯度、 に変換します。次に、大圏距離法(半正弦公式)を使用して、球面上の2 点との間の中心角をラジアンで計算します。このとき、経度 と は球面上と回転楕円体上で同じです。 ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta _{1}}$${\displaystyle \scriptstyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\beta _{1},\;\lambda _{1})}$${\displaystyle (\beta _{2},\;\lambda _{2})}$${\displaystyle \lambda _{1}\;}$${\displaystyle \lambda _{2}\;}$

${\displaystyle P={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{2}}\qquad Q={\frac {\beta _{2}-\beta _{1}}{2}}}$

${\displaystyle X=(\sigma -\sin \sigma ){\frac {\sin ^{2}P\cos ^{2}Q}{\cos ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}\qquad \qquad Y=(\sigma +\sin \sigma ){\frac {\cos ^{2}P\sin ^{2}Q}{\sin ^{2}{\frac {\sigma }{2}}}}}$

${\textstyle D=a{\bigl (}\sigma -{\tfrac {f}{2}}(X+Y){\bigr )}}$、

ここで、選択された回転楕円体の赤道半径です。 ${\displaystyle a}$

GRS 80回転楕円体では、ランバートの式は

北0度西0度から北40度西120度まで、12.6メートル

0N 0Wから40N 60W、6.6メートル

40N 0W ～ 40N 60W、0.85 メートル

これはトンネル距離から変換された円弧長と同様の形をしています。詳細な公式はRapp ^[13] §6.4に示されています。これは明らかに上記の平面公式と一致しています。

${\displaystyle D=2N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)\arcsin {\sqrt {\left(\sin {\frac {\Delta \lambda }{2}}\cos \phi _{\textrm {m}}\right)^{2}+\left(\cos {\frac {\Delta \lambda }{2}}\sin \left({\frac {\Delta \phi }{2}}{\frac {M\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}{N\left(\phi _{\textrm {m}}\right)}}\right)\right)^{2}}}.}$

ボウリングは、緯度と経度を φ′ と λ′ で表し、 点を半径R′の球にマッピングします。定義

${\displaystyle A={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{4}\phi _{1}}},\quad B={\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi _{1}}},}$

ここで、2番目の離心率の2乗は

${\displaystyle e'^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {f(2-f)}{(1-f)^{2}}}.}$

球の半径は

${\displaystyle R'={\frac {\sqrt {1+e'^{2}}}{B^{2}}}a.}$

（楕円体の φ _{1における}ガウス曲率は1/ R′ ²である。）球面座標は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \phi _{1}'&={\frac {\tan \phi _{1}}{B}},\\\Delta \phi '&={\frac {\Delta \phi }{B}}{\biggl [}1+{\frac {3e'^{2}}{4B^{2}}}(\Delta \phi )\sin(2\phi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\Delta \phi ){\biggr ]},\\\Delta \lambda '&=A\Delta \lambda ,\end{aligned}}}$

ここで、、、、で ある。球面上の結果は、大圏航法の技術を用いて球面距離と方位の近似値を求めることで解くことができる。詳細な公式はRapp ^[13] §6.5、Bowring、^{[14] 、Karney [19]}によって与えられている。${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{2}-\phi _{1}}$${\displaystyle \Delta \phi '=\phi _{2}'-\phi _{1}'}$${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\displaystyle \Delta \lambda '=\lambda _{2}'-\lambda _{1}'}$

地形や地表レベルから球面や楕円体の表面までの高度の変化も、距離測定のスケールを変化させます。^[20] 2点間の 直線距離s（弦の長さ）は、楕円体表面S上の弧の長さに次のように短縮できます。 ^[21]

${\displaystyle S-s=-0.5(h_{1}+h_{2})s/R-0.5(h_{1}-h_{2})^{2}/s}$

ここで、Rは地球の方位曲率半径から評価され、hは各点の楕円体の高さです。方程式の右側の最初の項は平均標高を表し、2番目の項は傾斜を表します。地球の法線断面の長さをさらに楕円体の測地線の長さに短縮することは、多くの場合無視できます。^[21]

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