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『幾何学』（フランス語の発音: [ la ʒeɔmetʁi ]）は、ルネ・デカルトが著した『方法序説』（ Discours de la méthode ）の付録として1637年に出版されました。『方法序説』の中で、デカルトはあらゆる主題について明晰さを得るための方法を提示しています。 『幾何学』と、同じくデカルトによる他の2つの付録、 『光学』（ La Dioptrique）と『気象学』（ Les Météores）は、『方法序説』とともに出版され、デカルトが自身の方法に従って達成した成功例を示すためでした[ 1 ]（また、当時のヨーロッパの知的競争の社会風潮を考慮すると、より広い読者層に少し自慢するためでもあったかもしれません）。
この研究は、代数と幾何学を単一の分野に統合するという考え方を初めて提唱し[ 2 ]、幾何学を算術と代数の形式に還元し、幾何学的形状を代数方程式に変換する解析幾何学と呼ばれる代数幾何学を発明した。当時としては画期的なことであった。また、ライプニッツやニュートンの数学的思想にも貢献し、微積分学の発展において重要な役割を果たした。
この付録は３つの「冊子」に分かれている。[ 3 ]
第1巻は「円と直線のみで構成できる問題」と題されています。この巻で彼は、今日でも使用されている代数記法を導入しています。アルファベットの末尾の文字、すなわちx、y、zなどは未知変数を表し、アルファベットの先頭の文字、a、b、cなどは定数を表します。彼は、べき乗を表す現代的な指数記法を導入しています（ただし、平方数については、 aaのように文字を繰り返して書くという古い慣習を維持しています）。また、彼は、べき乗を幾何学的対象と関連付けるギリシャの慣習、すなわちa 2を面積、a 3を体積などと関連付ける慣習を破り、それらをすべて可能な線分の長さとして扱います。これらの記法によって、定規とコンパスで作図できる線分の長さと数値との関連付けを記述することが可能になります。本書の残りの部分の大部分は、デカルトによる「パップスの軌跡問題」の解決に費やされている。[ 4 ]パップスによれば、平面上に 3 または 4 つの直線が与えられたとき、問題は、固定された 2 つの直線からの距離の積 (指定された方向に沿って) が、3 番目の直線までの距離の 2 乗に比例する (3 本の直線の場合)、または他の 2 つの直線までの距離の積に比例する (4 つの直線の場合) ように移動する点の軌跡を見つけることである。これらの問題とその一般化を解決する際に、デカルトは 2 つの線分を未知数としてxとyに指定する。既知の線分はa、b、cなどと指定される。デカルト座標系の原始的なアイデアは、この研究に遡ることができる。
デカルトは、2 冊目の著書『曲線の性質について』の中で、幾何学的曲線と機械的曲線という 2 種類の曲線について説明しました。幾何学的曲線は、現在では 2 変数の代数方程式で記述されるものですが、デカルトはそれらを運動学的に記述し、その本質的な特徴は、すべての点が低次の曲線から作図によって得られることでした。これは、定規とコンパスによる作図で許容される範囲を超えた拡張でした。[ 5 ]四分曲線や螺旋など、一部の点しか作図できない他の曲線は機械的と呼ばれ、数学的研究には適さないと考えられていました。デカルトはまた、方程式が既知の曲線の任意の点における法線を求める代数的方法を考案しました。曲線への接線の作図は容易に導き出され、デカルトはこの代数的手順をいくつかの曲線の接線を求めるために適用しました。
3 冊目の本「固体および超固体問題の構成について」は、幾何学的というよりはむしろ代数的であり、方程式の性質と、それらをどのように解くことができるかについて扱っています。彼は、方程式のすべての項を片側に置いて 0 に等しいとおくことで、解くことを容易にすることを推奨しています。彼は多項式の因数定理を指摘し、 n 次多項式にはn個の根があることを直感的に証明しています。彼は方程式の負の根と虚数根[ 6 ]を体系的に議論し、現在ではデカルトの符号法則として知られるものを明示的に使用しました。
デカルトは、当時の学術出版物のほとんどで使用されていたラテン語ではなく、フランス語で『幾何学』を執筆した。彼の説明スタイルは決して明快ではなく、内容は体系的に整理されておらず、証明の概略を示すにとどまり、多くの詳細は読者に委ねていた。 [ 7 ]彼の執筆に対する姿勢は、「私はすべてを述べるつもりはなかった」とか「これについてこれほど多く書くのはすでに疲れる」といった発言によく表れている。デカルトは、省略や不明瞭さについて、「他の人がそれを自ら発見する喜びを与えるために、多くのことを意図的に省略した」と述べて正当化している。
デカルトは著書の中で関連する概念を述べていたため、座標平面を発明したとよく言われるが、[ 8 ]『幾何学』には現代の直交座標系はどこにも登場しない。これやその他の改良は、デカルトの著作を明確化し説明しようとした数学者たちによって加えられたものである。
デカルトの著作のこの発展は、主にライデン大学の数学教授フランツ・ファン・スホーテンとその弟子たちによって行われた。ファン・スホーテンは1649年に『幾何学』のラテン語版を出版し、その後1659-1661年、1683年、1693年にさらに3つの版が出版された。1659-1661年版は2巻からなる著作で、元の2倍以上の長さがあり、ファン・スホーテンとその弟子たちによる解説と例が満載されていた。弟子の1人、ヨハネス・フッデは、デカルトの接線法では難しかった多項式の重根を求めるための便利な方法、フッデの法則を提供した。これらの版によって、17世紀に解析幾何学が確立された。[ 9 ]
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ウィキクォートのLa Géométrieに関連する引用