半径

古典幾何学では、円や球の半径（複数形：radiiまたはradiuses）^[a]は、円や球の中心から外周までの線分のいずれかであり、より現代的な用法では、その長さでもある。この名前は、ラテン語のradiusに由来し、光線を意味するが、戦車の車輪のスポークも意味する。^[2]半径の一般的な略語および数学的変数記号はRまたはrである。これを拡張すると、直径Dは半径の2倍として定義される：^[3]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

物体に中心がない場合、この用語は外接円または外接球の半径である外接半径を指すことがあります。いずれの場合も、半径は直径の半分以上になることがあります。直径は通常、図形の任意の 2 点間の最大距離として定義されます。幾何学図形の内接半径は通常、図形に含まれる最大の円または球の半径です。リング、チューブ、その他の中空物体の内半径は、その空洞の半径です。

正多角形の場合、半径はその外接半径と同じです。^[4] 正多角形の内接半径は、近似曲線とも呼ばれます。グラフ理論では、グラフの半径は、uからグラフの他の任意の頂点までの最大距離のすべての頂点uにおける最小値です。^[5]

周囲の長さがCの円の半径は

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}.}$

多くの幾何学的図形では、半径は図形の他の測定値と明確に定義された関係を持ちます。

面積 Aの円の半径は

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}$

3つの非共線点P ₁、P ₂、P ₃を通る円の半径は次のように表される。

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},}$

ここで、θ は角度∠ P ₁ P ₂ P ₃です。この式は正弦定理を使用しています。3つの点が座標( x ₁ , y ₁ )、( x ₂ , y ₂ )、( x ₃ , y ₃ )で与えられている場合、半径は次のように表すことができます 。

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {{\bigl (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}{\bigr )}}}{2{\bigl |}x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}{\bigr |}}}.}$

長さsのn辺を持つ正多角形の半径r は、 r = R _n sで与えられます。ここで、nが小さい場合のR _n の値は表に示されています。s = 1の場合、これらの値は対応する正多角形の半径でもあります 。 ${\displaystyle R_{n}=1\left/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right)\right..}$

辺がsのd次元超立方体の半径は

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}{\sqrt {d}}.}$

極座標系は、平面上の各点が固定点からの距離と固定方向からの 角度によって決定される2次元座標系です。

固定点（直交座標系の原点に類似）は極と呼ばれ、極から固定方向に伸びる光線は極軸と呼ばれます。極からの距離は放射座標または半径と呼ばれ、角度は角座標、極角、または方位角と呼ばれます。^[6]

円筒座標系では、選択された基準軸と、その軸に垂直な選択された基準面があります。システムの原点は、3 つの座標すべてを 0 にできる点です。これは、基準面と軸の交点です。

この軸は、基準面にあり、原点から始まり基準方向を指す 光線である極軸と区別するために、円筒軸や縦軸などさまざまな名前で呼ばれます。

軸からの距離は半径距離または半径と呼ばれることがあり、角度座標は角度位置または方位角と呼ばれることもあります。半径と方位角は、基準面と平行な点を通る平面内の2次元極座標系に対応するため、極座標と呼ばれます。3番目の座標は、高さまたは高度（基準面が水平と見なされる場合）、 経度位置、^[7] 、または軸方向位置と呼ばれることがあります。^[8]

球面座標系では、半径は固定された原点からの点の距離を表します。その位置は、半径方向と固定された天頂方向の間で測定された極角と、原点を通り天頂に直交する基準平面上の半径方向の直交投影と、その平面内の固定された基準方向との間の角度である方位角によってさらに定義されます。