確率微分方程式

確率微分方程式（SDE ）は、1つ以上の項が確率過程である微分方程式であり、^[1]結果として得られる解も確率過程です。SDEは純粋数学全体で多くの用途があり、株価、^[2]ランダム成長モデル^[3]や熱変動の影響を受ける物理システムなどの確率モデルのさまざまな動作をモデル化するために使用されます。

SDE にはランダム微分があり、最も基本的なケースではブラウン運動の分布微分として計算されるランダムホワイトノイズ、またはより一般的にはセミマルチンゲールです。ただし、レヴィ過程^[4]のようなジャンプ過程やジャンプを含むセミマルチンゲールなど、他の種類のランダム動作も可能です。

確率微分方程式は一般に微分方程式でもランダム微分方程式でもない。ランダム微分方程式は確率微分方程式と共役である。確率微分方程式は微分多様体にも拡張できる。^{[5] [6] [7] [8]}

確率微分方程式は、 1905年の アルバート・アインシュタインと マリアン・スモルホフスキーの研究における ブラウン運動の理論に由来するが、ルイ・バシュリエは1900年にブラウン運動をモデル化した最初の人物とされ、現在バシュリエ・モデルとして知られる確率微分方程式の非常に初期の例を示した。これらの初期の例のいくつかは、フランスの物理学者ランジュバンにちなんでランジュバン方程式とも呼ばれる線型確率微分方程式であり、ランダムな力を受ける調和振動子の運動を記述する。確率微分方程式の数学的理論は、確率積分の概念を導入し、非線形確率微分方程式の研究を開始した日本の数学者伊藤清の画期的な研究を通じて1940年代に発展した。後にロシアの物理学者ストラトノビッチによって別のアプローチが提案され、通常の微積分に似た微積分につながった。

文献で最も一般的な SDE の形式は、右辺がホワイト ノイズ変数に依存する項によって摂動を受けた常微分方程式です。ほとんどの場合、SDE は対応する確率差分方程式の連続時間制限として理解されています。この SDE の理解は曖昧であり、対応する積分の適切な数学的定義によって補完される必要があります。^{[1] [3]}このような数学的定義は、1940 年代に伊藤清によって最初に提案され、今日伊藤計算として知られるものにつながりました。別の構成は後にロシアの物理学者ストラトノビッチによって提案され、ストラトノビッチ積分として知られるものにつながりました。伊藤積分とストラトノビッチ積分は関連してはいますが異なるオブジェクトであり、どちらを選択するかは検討するアプリケーションによって異なります。伊藤計算は、変数が時間であるアプリケーションでは自然な、非予測性または因果関係の概念に基づいています。一方、ストラトノビッチ計算は、通常の計算に似た規則を持ち、多様体上のランダム運動などの幾何学的問題を扱う際により自然になる固有の幾何学的性質を持っている。ただし、多様体上のランダム運動を伊藤SDE ^[6]を通じてモデル化することも可能であり、場合によってはその方が望ましい。たとえば、部分多様体上のSDEを最適に近似しようとする場合などである。^[9]

SDE に関する別の見方は、微分同相写像の確率フローです。この理解は明確で、確率差分方程式の連続時間制限の Stratonovich バージョンに対応します。SDE に関連付けられているのは、確率分布関数の時間発展を記述する方程式であるスモルホフスキー方程式またはフォッカー・プランク方程式です。フォッカー・プランク発展を微分形式の時間発展に一般化することは、確率発展演算子の概念によって提供されます。

物理科学では、 「ランジュバン SDE」という用語の使用には曖昧さがあります。ランジュバン SDE はより一般的な形式になることもありますが、この用語は通常、勾配フロー ベクトル フィールドを持つ狭いクラスの SDE を指します。このクラスの SDE は、パリシ-スールラス確率量子化手順^[10]の出発点であるため、特に人気があり、超対称量子力学に密接に関連する N = 2 超対称モデルにつながります。ただし、物理的な観点からは、このクラスの SDE はあまり興味深いものではありません。なぜなら、位相的超対称性の自発的な破れが決して示されないためです。つまり、（過剰減衰）ランジュバン SDE は決してカオス的ではありません。

ブラウン運動あるいはウィーナー過程は、数学的に非常に複雑であることが発見されました。ウィーナー過程は、ほぼ確実にどこでも微分不可能です。^{[1] [3]}そのため、独自の計算規則が必要です。確率微分には、伊藤確率微分法とストラトノビッチ確率微分法という2つの主要なバージョンがあります。それぞれに利点と欠点があり、初心者は特定の状況でどちらが適切であるかについてしばしば混乱します。ガイドラインが存在し (例: Øksendal, 2003) ^[3]、便利なことに、伊藤 SDE を同等のストラトノビッチ SDE に簡単に変換したり、その逆を行ったりすることができます。^{[1] [3]}それでも、SDE を最初に記述するときには、どちらの計算を使用するか注意する必要があります。

確率微分方程式を解く数値解析法^[11]には、オイラー・丸山法、ミルシュタイン法、ルンゲ・クッタ法（SDE）、ローゼンブロック法^[12]、および反復確率積分のさまざまな表現に基づく方法などがある。^{[13] [14]}

物理学では、SDE は分子動力学から神経力学、天体物理学的物体の力学まで、幅広い応用範囲を持っています。より具体的には、SDE は量子効果が重要でないか、摂動として考慮できるすべての動的システムを記述します。SDE は、動的システム理論をノイズのあるモデルに一般化したものと考えることができます。これは重要な一般化です。なぜなら、実際のシステムは環境から完全に分離することができず、このため常に外部の確率的影響を受けるからです。

新しい未知数を導入することで、高次方程式を複数の結合された 1 次方程式に変換する標準的な手法があります。したがって、SDE の最も一般的なクラスは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

ここで、はシステムの位相（または状態）空間における位置、は微分可能多様体であると仮定され、 は決定論的な進化の法則を表すフロー ベクトル場、 はシステムとガウス白色ノイズ との結合を定義するベクトル場の集合です。が線形空間で が定数である場合、システムは加法性ノイズの影響を受けると言われ、それ以外の場合は乗法性ノイズの影響を受けると言われます。 この用語は、 という限定されたケースを意味しているように見えますが、一般的なケースを意味するようになったため、やや誤解を招きます。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F\in TX}$${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(x)\propto x}$

ノイズの固定構成に対して、SDE は初期条件に関して微分可能な一意の解を持ちます。^[15]確率的ケースの非自明性は、ノイズ構成にわたってさまざまな対象オブジェクトを平均化しようとすると現れます。この意味で、ノイズが乗法である場合、および SDE が確率差分方程式の連続時間制限として理解されている場合、SDE は一意に定義されたエンティティではありません。この場合、SDE は、伊藤または SDE の Stratonovich 解釈などの「SDE の解釈」と呼ばれるもので補完される必要があります。それでも、SDE を微分同相写像の連続時間確率フローと見なすと、それは確率差分方程式の連続時間制限への Stratonovich アプローチに対応する 一意に定義された数学的オブジェクトです。

物理学では、等価なフォッカー・プランク方程式(FPE)を使用して、確率分布関数を時間の関数として求めるのが主な解決法です。フォッカー・プランク方程式は決定論的偏微分方程式です。シュレーディンガー方程式が量子波動関数の時間発展を与えたり、拡散方程式が化学濃度の時間発展を与えたりするのと同様に、確率分布関数が時間とともにどのように発展するかを示します 。あるいは、モンテカルロシミュレーションによって数値解を得ることもできます。その他の手法には、統計物理学と量子力学の類似性を利用する経路積分(たとえば、フォッカー・プランク方程式は、いくつかの変数を再スケーリングすることでシュレーディンガー方程式に変換できます) や、確率分布関数の統計モーメントの常微分方程式を書き出すことなどがあります。^{[出典が必要]}

確率論（およびフィルタリング問題を伴う信号処理や数理ファイナンスなど、確率論の多くの応用）で使用される表記法は若干異なります。これは、確率微分方程式を解く数値法に関する出版物で使用される表記法でもあります。この表記法は、物理学の定式化における時間のランダム関数のエキゾチックな性質をより明確にします。厳密な数学的用語では、 は 通常の関数として選択することはできず、一般化関数としてのみ選択できます。数学的定式化では、この複雑さを物理学の定式化よりも曖昧さが少なく扱います。 ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$

典型的な方程式は次の形式である。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

ここでウィーナー過程（標準ブラウン運動）を表す。この式は、対応する積分方程式を非公式に表現したものとして解釈される。${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

上記の式は、連続時間 確率過程 X _tの挙動を、通常のルベーグ積分と伊藤積分の和として特徴付けています。確率微分方程式の発見的（しかし非常に役立つ）解釈は、長さδの小さな時間間隔で、確率過程X _tの値が、期待値μ ( X _t ,  t )  δと分散σ ( X _t ,  t ) ² δで正規分布する量だけ変化し、過程の過去の挙動とは無関係であるというものです。これは、ウィーナー過程の増分が独立しており、正規分布しているためです。関数μ はドリフト係数と呼ばれ、σは拡散係数と呼ばれます。確率過程X _{t は}拡散過程と呼ばれ、マルコフ特性を満たします。^[1]  

SDE の正式な解釈は、SDE の解を構成するものに基づいて行われます。SDE の解には、強い解と弱い解という 2 つの主な定義があります^[1]どちらも、 SDE の積分方程式バージョンを解くプロセスX _tの存在を必要とします。この 2 つの違いは、基礎となる確率空間( ) にあります。弱い解は確率空間と積分方程式を満たすプロセスで構成されますが、強い解は方程式を満たし、特定の確率空間上で定義されるプロセスです。山田–渡辺の定理は、この 2 つを結び付けています。 ${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

重要な例としては、幾何ブラウン運動の方程式が挙げられる。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

これは金融数学のブラック・ショールズオプション価格モデル^[2]における株価のダイナミクスを表す方程式である。

幾何ブラウン運動を一般化すると、強い解を許容し、分布が異なる幾何ブラウン運動またはブラック・ショールズ・モデルから得られる密度の凸結合であるSDEを定義することも可能であり、解が異なるブラック・ショールズ・モデルの対数正規分布の混合ダイナミクスとして分布する単一のSDEが得られる。^{[2] [16] [17] [18]これにより、金融数学における}ボラティリティ・スマイルを処理できるモデルが生まれる。

より単純なSDEは算術ブラウン運動と呼ばれる^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

1900年にルイ・バシュリエによって株価の最初のモデルとして使用され、今日ではバシュリエモデルとして知られています。

より一般的な確率微分方程式もあり、係数μとσ はプロセスX _tの現在の値だけでなく、プロセスの以前の値、場合によっては他のプロセスの現在または以前の値にも依存します。その場合、解のプロセスXはマルコフ過程ではなく、拡散過程ではなく伊藤過程と呼ばれます。係数がXの現在および過去の値のみに依存する場合、定義方程式は確率遅延微分方程式と呼ばれます。

フィスク・ストラトノビッチ積分を伴う確率微分方程式をジャンプ付き半マルチンゲールに一般化したもの、それがマーカス型SDEである。マーカス積分はマクシェーンの確率微分法の拡張である。^[19]

確率的金融における革新的な応用は、オルンシュタイン・ウーレンベック過程の方程式の使用から生まれる。

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

これは、株価のリターンが対数正規分布を示すという仮説の下での株価のリターンのダイナミクスを表す方程式である。この仮説の下で、マルチェロ・ミネナによって開発された方法論は、市場の濫用現象を隠す可能性のある異常なリターンを特定できる予測区間を決定する。^{[20] [21]}

より一般的には、確率微分法の理論を微分多様体上に拡張することができ、この目的のためにフィスク・ストラトノビッチ積分が使用される。多様体、有限次元ベクトル空間、通常の条件を満たすフィルタリングされた確率空間を考え、1点コンパクト化を、可測であるとする。書かれた 確率微分方程式は、${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

はペアであり、 ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$は連続値セミマルチンゲールであり、${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$は上のベクトル束の準同型です。${\displaystyle M}$

それぞれについて、マップは線形であり、それぞれについてです。 ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle e\in E}$

初期条件を持つのSDEの解は、寿命 まで連続した適応型 値プロセスであり、各テスト関数に対してプロセスは実数値のセミマルチンゲールであり、各停止時間に対して方程式 ${\displaystyle M}$${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

ほぼ確実に、における微分が成り立ちます。寿命が最大であれば、つまり、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$-ほぼ確実です。各テスト関数がセミマルチンゲールであるという事実から、 は上のセミマルチンゲールであることがわかります。最大解が与えられれば、 の時間をまで延長することができ、を まで延長すると、 ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

区別できないプロセスまで。^[22] ストラトノビッチSDEは、連鎖律を満たし、ドリフト係数と拡散係数が座標変更時にベクトル場として振舞うことを考えると、多様体上のSDEとしては自然な選択ですが、多様体上の伊藤計算の方が望ましい場合もあります。多様体上の伊藤計算の理論は、シュワルツ写像の概念を通じてローラン・シュワルツによって最初に開発されました。 ^[6]ジェットバンドルに基づく多様体上の伊藤SDEの関連する2ジェット解釈も参照してください。^[8]この解釈は、大きな空間で与えられたSDEの解を、その空間のサブ多様体で与えられたSDEの解で最適に近似しようとするときに役立ちます。 ^[9]ストラトノビッチベースの射影は最適にならないという点で。これはフィルタリング問題に適用され、最適な射影フィルタにつながっています。^[9]

通常、SDEの解は確率的な設定を必要とする。なぜなら、解に暗黙的に含まれる積分は確率積分だからである。微分方程式をパスごとに扱うことができれば、確率積分を定義する必要はなく、確率理論とは独立に理論を展開できる。これは、SDEを考慮することを示している。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

は任意の に対して単一の決定論的微分方程式として定義されます。ここで は与えられた確率空間 ( ) 内のサンプル空間です。しかし、ブラウン運動の経路は無制限に変化し、どこでも確率 1 で微分可能ではないため、SDE の直接的な経路ごとの解釈は不可能であり、 のような項に意味を与える単純な方法はなく、確率積分を任意の単一の に対する積分として単純に経路ごとに定義することも不可能になります。しかし、Wong-Zakai の結果^[23]に倣い、正規ノイズを含む SDE の解の極限についてラフパス理論を使用し、ブラウン運動の反復積分の選択定義を追加することで、任意の に対して、たとえば反復ブラウン積分の特定の選択に対して確率 1 で伊藤積分と一致する決定論的な大まかな積分を定義することができます。 ^[23]反復積分の他の定義は、ストラトノビッチ積分のようなさまざまな確率積分の決定論的経路ごとの同等物につながります。これは例えば金融数学において、確率なしでオプションの価格を決めるために使われてきました。^[24]${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

決定論的常微分方程式や偏微分方程式と同様に、与えられた SDE に解があるかどうか、またそれが一意であるかどうかを知ることは重要です。以下は、n次元ユークリッド空間R ⁿに値を持ち、 m次元ブラウン運動Bによって駆動される伊藤 SDE の典型 的な存在定理と一意性定理です。証明は Øksendal (2003、§5.2) にあります。^[3]

T  > 0とし 、

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

定数CとDが存在する測定可能な関数であり、

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

すべてのt  ∈ [0,  T ] およびすべてのxおよびy  ∈  R ⁿに対して、ここで

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

Z を、 B _s、s ≥ 0によって生成されるσ代数から独立し 、有限の2次モーメントを持つランダム変数とします。

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

すると、確率微分方程式/初期値問題

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

は、P-ほぼ確実に唯一のt連続解 ( t ,  ω ) ↦  X _t ( ω ) を持ち、X はZとB _s、s  ≤  tによって生成されるフィルタリングF _t ^Zに適合し、

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

上記の確率微分方程式は、より一般的な形式の特殊なケースに過ぎない。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

どこ

• ${\displaystyle X}$は連続半マルチンゲールであり、は 連続半マルチンゲールである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$は、ある空でない開集合 からの写像であり、 はからへのすべての線型写像の空間です。${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

より一般的には、多様体上の確率微分方程式を見ることもできます。

この方程式の解が爆発するかどうかは の選択に依存する。 が何らかの局所リプシッツ条件、すなわちおよび何らかのコンパクト集合と何らかの定数 を満たすと仮定すると、条件 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle K\subset U}$${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

ここで はユークリッドノルムです。この条件は、いわゆる最大解の存在と一意性を保証します。 ${\displaystyle |\cdot |}$

が連続で、上記の局所リプシッツ条件を満たすと仮定し、 を何らかの初期条件、つまり初期σ代数に関して測定可能な関数とします。 をほぼ確実に予測可能な停止時間とします。値セミマルチンゲールは の 最大解と呼ばれます。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F:\Omega \to U}$${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$${\displaystyle \zeta >0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

生涯 にわたって​ ${\displaystyle \zeta }$

• 停止したプロセスを宣言することは、停止した確率微分方程式の解である。${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• 集合上では、ほぼ確実に となる。^[25]${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$いわゆる爆発時間でもあります。

明示的に解けるSDEには以下のものがある: ^[11]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

どこ

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

与えられた微分可能関数に対しては、ストラトノビッチSDEと同等である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

一般解がある

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

どこ

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

与えられた微分可能関数に対しては、ストラトノビッチSDEと同等である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

これは次のように要約できる。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

ここで、は前と同じように定義されます。その一般解は ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

SDE の超対称理論では、確率動力学はモデルの位相空間上の微分形式に作用する確率的発展演算子を介して定義されます。確率動力学のこの正確な定式化では、すべての SDE が位相空間の連続性が連続時間フローによって保存されることを表す位相的超対称性を持ちます。この超対称性の自発的な崩壊は、カオス、乱流、自己組織化臨界性などとして分野を超えて知られている普遍的な動的現象の数学的本質であり、ゴールドストーン定理は関連する長距離動的挙動、つまりバタフライ効果、1/fおよびパチパチ音、および地震、神経雪崩、太陽フレアなどのスケールフリー統計を説明します。

• 逆確率微分方程式
• ランジュバン力学
• ローカルボラティリティ
• 確率過程
• 確率的ボラティリティ
• 確率偏微分方程式
• 拡散プロセス
• 確率差分方程式

• エヴァンス、ローレンス C (2013)。確率微分方程式入門、アメリカ数学会。
• アドミアン、ジョージ (1983)。確率システム。科学と工学における数学 (169)。フロリダ州オーランド: Academic Press Inc.
• アドミアン、ジョージ (1986)。非線形確率作用素方程式。フロリダ州オーランド：Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-044375-8。
• アドミアン、ジョージ (1989)。非線形確率システム理論と物理学への応用。数学とその応用 (46)。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group。
• Calin, Ovidiu (2015)。確率微積分学の非公式入門とその応用。シンガポール：World Scientific Publishing。p. 315。ISBN 978-981-4678-93-3。
• Teugels, J.; Sund, B. 編 (2004).保険数理科学百科事典. チチェスター: Wiley. pp. 523–527.
• CW Gardiner (2004)。確率論的手法ハンドブック：物理学、化学、自然科学向け。Springer。p. 415。
• Thomas Mikosch (1998)。『初等確率微積分学：金融の観点から』シンガポール：World Scientific Publishing。p. 212。ISBN 981-02-3543-7。
• Seifedine Kadry (2007)。「線形確率微分方程式の解」。Wseas Transactions on Mathematics。米国：WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS、2007 年 4 月：618。ISSN 1109-2769  。
• Higham., Desmond J. (2001 年 1 月). 「確率微分方程式の数値シミュレーションへのアルゴリズム入門」. SIAM Review . 43 (3): 525–546. Bibcode :2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi :10.1137/S0036144500378302.
• Desmond HighamとPeter Kloeden：「確率微分方程式の数値シミュレーション入門」、SIAM、ISBN 978-1-611976-42-7（2021）。