適応プロセス

確率過程の研究では、確率過程は、特定の時点での過程の値に関する情報がその時点で利用可能な場合、適応型（非予測型または非予測型とも呼ばれる）である。非公式の解釈[1]は、すべての実現とすべてのnに対して、n時点でX nがわかっている場合にのみ、Xは^適応型である、というもの_である。適応型過程の概念は、たとえば、積分対象が適応型過程である 場合にのみ意味をなす伊藤積分の定義において不可欠である。

させて

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$確率空間である。
• ${\displaystyle I}$全順序を持つインデックス セットであること（多くの場合、、、または）。${\displaystyle \leq}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle [0,+\infty )}$
• ${\displaystyle \mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$シグマ代数のフィルタリングである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle (S,\Sigma )}$測定可能な空間、状態空間である。
• ${\displaystyle X_{i}:I\times \Omega \to S}$確率過程である。

確率過程は、ランダム変数が各に対して測定可能な関数である場合に、濾過に適応していると言われる。^[2]${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to S}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )}$${\displaystyle i\in I}$

確率過程X  :[0, T ]×Ω→ Rを考え、実数直線 Rに開集合によって生成される通常のボレルシグマ代数を装備します。

• 自然濾過 F _• ^X（ここでF _t ^XはRのボレル部分集合Bの原像X _s ⁻¹ ( B )と 0 ≤ s ≤ t の時間によって生成されるσ代数）を取ると、Xは自動的にF _• ^X適応されます。直感的には、自然濾過F _• ^Xには、時刻tまでの Xの挙動に関する「全情報」が含まれています。
• これは、非適応プロセスX  : [0, 2] × Ω → Rの簡単な例を示しています。F _{t を}、 0 ≤ t < 1のときは 自明なσ代数 {∅, Ω}に設定し 、1 ≤ t ≤ 2のときはF _t = F _t ^Xとします。関数が自明なσ代数に関して測定可能である唯一の方法は定数であることであるため、[0, 1] で定数でないプロセスXはF _•適応できません。このようなプロセスの非定数の性質は、より洗練された「将来の」σ代数F _t、1 ≤ t ≤ 2からの「情報を使用」します。

• 予測可能なプロセス
• 段階的に測定可能なプロセス