フィルタリング問題（確率過程）

確率過程の理論では、フィルタリングは、不完全で潜在的にノイズの多い観測セットからシステムの状態を決定する問題を表します。フィルタリングはもともと工学上の問題から着想を得ましたが、信号処理から金融まで多くの分野で応用されています。

最適な非線形フィルタリングの問題は（非定常の場合であっても）Ruslan L. Stratonovich（1959、^[1] 1960 ^[2]）によって解決されました。また、Harold J. Kushnerの研究^[3]とMoshe Zakaiの研究も参照してください。Moshe Zakaiは、 Zakai方程式として知られるフィルタの非正規化条件法則^[4]の簡略化されたダイナミクスを導入しました。ただし、一般的なケースでは、解は無限次元です。^[5]特定の近似と特殊なケースはよく理解されています。たとえば、線形フィルタはガウス確率変数に最適であり、ウィーナーフィルタとカルマン-ビューシーフィルタとして知られています。より一般的には、解が無限次元であるため、有限メモリのコンピュータで実装するには有限次元の近似が必要です。有限次元近似非線形フィルタは、拡張カルマンフィルタや仮定密度フィルタ^[6]などのヒューリスティックに基づいたものや、例えば投影フィルタ^[7]などのより方法論に基づいたものがあり、その一部のサブファミリーは仮定密度フィルタと一致することが示されています。^[8]粒子フィルタ^[9]は、無限次元フィルタリング問題に取り組むための別の選択肢であり、逐次モンテカルロ法に基づいています。

一般に、分離原理が適用される場合、フィルタリングも最適制御問題の解決の一部として発生します。たとえば、カルマン フィルタは、線形 2 次ガウス制御問題に対する最適制御ソリューションの推定部分です。

確率空間（Ω、Σ、  P）を考え、時刻tにおける対象のシステムのn次元ユークリッド空間R ⁿにおける（ランダムな）状態Y _tが、次の形式の 伊藤確率微分方程式の解によって与えられるランダム変数Y _t  : Ω →  R ⁿであるとする。

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

ここで、^{Bは標準的なp次元ブラウン運動、b:[0,+∞)×Rn→Rn}はドリフト場、σ : [  0  ^, +  ∞  ) × Rn  →  Rn  ×  p^は拡散場である。Rmにおける観測Ht ( mとnは一般には等しくないことに注意^{)は、各時刻}_tについて次のよう ^にとられるものと仮定する。

${\displaystyle H_{t}=c(t,Y_{t})+\gamma (t,Y_{t})\cdot {\mbox{noise}}.}$

確率微分方程式の伊藤の解釈を採用し、

${\displaystyle Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d} s,}$

これにより、観測値Z _tに対する次の確率積分表現が得られます。

${\displaystyle \mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} W_{t},}$

ここで、WはBと初期条件Y ₀に依存しない標準的なr次元ブラウン運動を表し、c  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  R ⁿ およびγ  : [0, +∞) ×  R ⁿ  →  R ^{n × rは}次式 を満たす 。

${\displaystyle {\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}}$

すべてのtとxおよびある定数Cに対して。

フィルタリングの問題は次のとおりです。0 ≤  s  ≤  tの観測値Z _sが与えられた場合、それらの観測値に基づくシステムの 真の状態Y _tの最良推定値Ŷ _{tは何でしょうか。}

「それらの観測に基づいて」とは、Ŷ _{t が}観測Z _s、 0 ≤  s  ≤  tによって生成されたσ代数G _tに関して測定可能であることを意味します。K  =  K ( Z、  t ) で、平方積分可能かつG _t測定可能なすべてのR ⁿ値ランダム変数Yの集合を表します。

${\displaystyle K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega ,G_{t},\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n}).}$

「最良の推定値」とは、 Ŷ _{t が}Y _tとK内のすべての候補間の平均二乗距離を最小化することを意味します。

${\displaystyle \mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-{\hat {Y}}_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf _{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}}$

候補空間K ( Z ,  t ) はヒルベルト空間であり、ヒルベルト空間の一般理論によれば、最小化問題 (M) の 解Ŷ _{t は次のように与えられる。}

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )},}$

ここでP _{K ( Z , t )}はL ² (Ω, Σ,  P ;  R ⁿ )の線形部分空間K ( Z ,  t ) =  L ² (Ω,  G _t ,  P ;  R ⁿ )への直交射影を表す。さらに、条件付き期待値に関する一般的な事実として、 F がΣ の任意の部分σ代数である場合、直交射影

${\displaystyle P_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})}$

はまさに条件付き期待値演算子E [·| F ]である。つまり、

${\displaystyle P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.}$

したがって、

${\displaystyle {\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y_{t}{\big |}G_{t}{\big ]}.}$

この基本的な結果は、フィルタリング理論の一般的な藤崎-カリアンプール-クニタ方程式の基礎となります。

時刻tにおけるフィルタの完全な知識は、時刻tまでの観測Zによって生成されたシグマ場G _{t を}条件とする信号Y _tの確率法則によって与えられる。この確率法則が密度を許容する場合、非公式には

${\displaystyle p_{t}(y)\ dy={\bf {P}}(Y_{t}\in dy|G_{t}),}$

すると、いくつかの正則性仮定の下で、密度はクシュナー・ストラトノビッチ方程式と呼ばれる非線形確率偏微分方程式（SPDE）を満たすか、^[10]または、密度の非正規化バージョンはザカイ方程式と呼ばれる線形SPDEを満たす。^[10] これらの方程式は上記のシステムに対して定式化できるが、説明を簡略化するために、観測されていない信号Yと部分的に観測されたノイズ信号Zが次の方程式を満たすと 仮定することができる。${\displaystyle p_{t}(y)}$${\displaystyle dZ_{t}}$${\displaystyle q_{t}(y)}$${\displaystyle p_{t}(y)}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}.}$

言い換えれば、観測ノイズWは状態に依存しないと仮定することでシステムが簡素化されます。

決定論的な時間依存を前面に残しておくこともできますが、これは再スケーリングによって削除されていると想定します。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle dW}$

この特定のシステムでは、密度のクシュナー・ストラトノビッチSPDEは次のようになります。 ${\displaystyle p_{t}}$

${\displaystyle \mathrm {d} p_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[c(t,\cdot )-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))]^{T}[dZ_{t}-E_{p_{t}}(c(t,\cdot ))dt]}$

ここで、Tは転置を表し、密度pに関する期待値を表し、 順方向拡散演算子は ${\displaystyle E_{p}}$${\displaystyle E_{p}[f]=\int f(y)p(y)dy,}$${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{t}^{*}f(t,y)=-\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}[b_{i}(t,y)f(t,y)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}[a_{ij}(t,y)f(t,y)]}$

ここで、正規化されていない密度を選択した場合、同じシステムのZakai SPDEは次のようになります。 ${\displaystyle a=\sigma \sigma ^{T}}$${\displaystyle q_{t}(y)}$

${\displaystyle \mathrm {d} q_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}q_{t}\ dt+q_{t}[c(t,\cdot )]^{T}dZ_{t}.}$

pとqのこれらのSPDEは伊藤計算形式で書かれています。ストラトノビッチ計算形式で書くことも可能で、これは射影フィルタのように微分幾何学に基づくフィルタリング近似を導くときに役立ちます。たとえば、ストラトノビッチ計算で書かれたクシュナー-ストラトノビッチ方程式は次のようになります。

${\displaystyle dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert c(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}}(\vert c(\cdot ,t)\vert ^{2})]\,dt+p_{t}\,[c(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(c(\cdot ,t))]^{T}\circ dZ_{t}\ .}$

密度pおよびqのいずれからも、時刻tまでに観測値Zによって生成されたシグマ場を条件として 信号Y _tのすべての統計を計算できるため、密度からフィルタに関する完全な情報が得られます。 Yに関する特定の線形定数仮定の下では、システム係数bおよびc はYの線形関数であり、およびはYに依存せず、信号Yの初期条件がガウスまたは決定論的である場合、密度はガウスであり、平均および分散共分散行列によって特徴付けられ、その発展は有限次元のカルマン-ビューシーフィルタによって記述されます。 ^[10]より一般的には、フィルタ密度の発展は無限次元関数空間で発生し、^[5]上で示唆したように、有限次元近似によって近似する必要があります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p_{t}(y)}$

• 平滑化問題はフィルタリング問題と密接に関連している
• フィルタ（信号処理）
• カルマンフィルタは、線形システムのためのよく知られたフィルタリングアルゴリズムであり、フィルタリング問題と平滑化問題の両方に関連している。
• 拡張カルマンフィルタ、カルマンフィルタを非線形システムに拡張したもの
• スムージング
• 投影フィルター
• 粒子フィルター

• ジャズウィンスキー、アンドリュー H. (1970)。確率過程とフィルタリング理論。ニューヨーク: アカデミック プレス。ISBN 0-12-381550-9。
• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門(第 6 版). ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。（セクション6.1を参照）