ストラトノビッチ積分

確率過程において、ストラトノビッチ積分またはフィスク・ストラトノビッチ積分（ルスラン・ストラトノビッチとドナルド・フィスクによって同時に開発された）は確率積分であり、伊藤積分の最も一般的な代替手段である。応用数学では伊藤積分が一般的に用いられるが、物理学ではストラトノビッチ積分が頻繁に使用される。

場合によっては、ストラトノビッチの定義による積分の方が扱いやすい。伊藤積分とは異なり、ストラトノビッチ積分は通常の微積分における連鎖律が成り立つように定義されている。

これらが最もよく見られるのは、ストラトノビッチ確率微分方程式（SDE）の解として現れる場合でしょう。これらは伊藤SDEと等価であり、どちらかの定義が都合の良い場合は、両者の間で変換することが可能です。

ストラトノビッチ積分は、リーマン積分と同様の方法で、つまりリーマン和の極限として定義できます。${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ウィーナープロセスであり、${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$これは、ウィーナー過程の自然濾過に適合したセミマルチンゲール である。次に、ストラトノビッチ積分

$\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}}$

確率変数${\displaystyle$ :\Omega \to \mathbb {R} } は ^{[ 1 ]}の平均二乗の極限として定義される。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{\frac {X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}}}{2}}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)}$

パーティションのメッシュとして${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$の${\displaystyle [0,T]}$（リーマン・スティルチェス積分のように）0に収束する。円${\displaystyle \circ }$これは表記上の工夫であり、この積分を伊藤積分と区別するために用いられる。

ストラトノビッチ積分には、通常の微積分における多くの積分法が使用できます。例えば、${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は滑らかな関数である。

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})}$

さらに一般的に言えば、${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$滑らかな関数である場合、

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).}$

この後者の規則は、通常の微積分における連鎖律に似ている。

もし${\displaystyle X_{t},Y_{t}}$、 そして${\displaystyle Z_{t}}$確率過程であり、

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t}$

すべての人々のために${\displaystyle T>0}$また、私たちは次のように書いています。

${\displaystyle \mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.}$

この表記法は、確率微分方程式（SDE）を定式化する際によく用いられます。SDEは実際には確率積分に関する方程式です。これは、例えば通常の微積分学の表記法と互換性があります。

${\displaystyle \mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

プロセスの伊藤積分${\displaystyle X}$ウィーナープロセスに関して${\displaystyle W}$は、$${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$$（円なし）。その定義には、上記のストラトノビッチ積分の定義と同じ手順が用いられるが、過程の値の選択だけが異なる。${\displaystyle X}$各サブインターバルの左端点、つまり、

${\displaystyle X_{t_{i}}}$の代わりに${\displaystyle {\frac {X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}}}{2}}}$

この積分は、ストラトノビッチ積分のように通常の連鎖律には従わず、代わりに少し複雑な伊藤の補題を使用する必要がある。

伊藤積分とストラトノビッチ積分間の変換は、次の式を用いて行うことができる。

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\partial f}{\partial W}}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

どこ${\displaystyle f}$は、2つの変数の連続微分可能な関数です。${\displaystyle W}$そして${\displaystyle t}$最後の積分は Itô 積分です( Kloeden & Platen 1992 、p. 101)。 

ランジュバン方程式は、与えられた問題において解釈（ストラトノビッチまたは伊藤）を指定することの重要性を例示している。${\displaystyle X_{t}}$これは、連続的に微分可能な拡散係数を持つ時間的に均質な伊藤拡散である。${\displaystyle \sigma }$つまり、 SDEを満たす${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$対応するストラトノヴィッチ版を取得するには、次の用語を使用します。${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$（伊藤解釈では）は次のように翻訳されるべきである${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$（ストラトノヴィッチの解釈では）

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.}$

明らかに、もし${\displaystyle \sigma }$独立している${\displaystyle X_{t}}$2 つの解釈は、ランジュバン方程式の同じ形式につながります。この場合、ノイズ項は「加法的」と呼ばれます (ノイズ項は${\displaystyle dW_{t}}$固定係数のみを乗じる)。そうでない場合、${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$伊藤形式のランジュバン方程式は一般にストラトノビッチ形式のものとは異なる場合があり、その場合ノイズ項は乗法項（すなわちノイズ）と呼ばれます。${\displaystyle dW_{t}}$関数を掛け合わせる${\displaystyle X_{t}}$それは${\displaystyle \sigma (X_{t})}$)

より一般的には、任意の2つのセミマルチンゲールに対して${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},}$

どこ${\displaystyle [X,Y]_{T}^{c}}$は共変動の連続部分です。

ストラトノビッチ積分は、伊藤積分が持つ重要な性質、すなわち「未来を予測しない」という性質を欠いている。株価のモデリングなど、多くの現実世界の応用例では、過去の出来事に関する情報しか得られないため、伊藤積分の解釈の方がより自然である。金融数学では、通常、伊藤積分の解釈が用いられる。

しかし、物理学では、確率積分はランジュバン方程式の解として現れます。ランジュバン方程式は、より微視的なモデルを粗視化したものです（Risken 1996 ）。検討している問題に応じて、ストラトノビッチ解釈、伊藤解釈、あるいは等温解釈のようなさらに特殊な解釈が適切です。ストラトノビッチ解釈は、物理科学において最も頻繁に使用される解釈です。

ウォン・ザカイの定理は、有限のノイズ相関時間によって特徴付けられる非白色ノイズスペクトルを持つ物理システムについて述べている。${\displaystyle \tau }$は、ストラトノビッチ解釈における白色ノイズを含むランジュバン方程式によって近似できる。${\displaystyle \tau }$ゼロに近づく。

ストラトノビッチ計算は通常の連鎖律を満たすため、ストラトノビッチの意味での確率微分方程式 (SDE) は、微分可能な多様体上だけでなく、より簡単に定義できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$伊藤の微積分における複雑な連鎖律は、多様体に対してはより扱いにくい選択肢となる。

確率微分方程式の超対称理論では、確率微分方程式によって決定される確率的流れによって位相空間の外部代数に引き戻される作用素を平均化することによって得られる発展演算子を考察する。このような文脈では、確率微分方程式のストラトノビッチ解釈を用いるのが自然である。

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