ゴールドストーンボソン

• 流体においては、フォノンは縦方向であり、自発的に破れたガリレオ対称性のゴールドストーンボソンである。固体においては、状況はより複雑である。ゴールドストーンボソンは縦方向および横方向のフォノンであり、自発的に破れたガリレオ対称性、並進対称性、および回転対称性のゴールドストーンボソンであるが、ゴールドストーンモードと破れた対称性の間に単純な1対1の対応関係はない。
• 磁性体では、外部磁場がない場合に存在する本来の回転対称性が自発的に破れ、磁化が特定の方向を向くようになる。ゴールドストーンボソンはマグノン、すなわち局所的な磁化方向が振動するスピン波である。
• パイオンは、強い相互作用によるクォーク凝縮によってQCDのカイラルフレーバー対称性が自発的に破れることで生じる擬似ゴールドストーンボソンである。これらの対称性はクォークの質量によってさらに明確に破られるため、パイオンは質量ゼロではないが、その質量は典型的なハドロンの質量よりもかなり小さい。
• W ボソンと Z ボソンの縦方向偏極成分は、自発的に破れた電弱対称性 SU(2) ⊗ U(1) の部分のゴールドストーン ボソンに対応しますが、これは観測できません。^{[ nb 1 ]} この対称性はゲージ化されているため、3 つのゴールドストーン ボソンは、破れた 3 つのジェネレータに対応する 3 つのゲージ ボソンに吸収されます。これにより、これらの 3 つのゲージ ボソンに質量と、それに伴う必要な 3 番目の偏極自由度が与えられます。これは、標準模型ではヒッグス機構によって説明されます。同様の現象は、南部のインスピレーションの源となった超伝導でも発生し、すなわち、光子が動的質量を発達させます (超伝導体からの磁束排除として表現されます)。ギンツブルグ-ランダウ理論を参照してください。
• インフレーション中の原始的なゆらぎは、ド・ジッター宇宙の時間並進対称性の自発的対称性の破れによって生じるゴールドストーンボソンと見なすことができる。インフラトンスカラー場のこれらのゆらぎは、その後宇宙構造の形成の種となる。^{[ 8 ]}
• リッチャルディと梅澤は1967年に、南部-ゴールドストーンボソンの観点から、記憶の保存と検索の脳のメカニズムの可能性についての一般理論（量子脳）を提案した。^{[ 9 ]}この理論はその後、1995年にジュゼッペ・ヴィティエッロによって、脳が「開放」システムであること（脳の散逸量子モデル）を考慮して拡張された。^{[ 10 ]}自発的対称性の破れとゴールドストーンの定理の生物システムへの応用は、一般的に、E.デル・ジュディチェ、S.ドグリア、M.ミラニ、G.ヴィティエッロ^{[ 11 ] [ 12 ] 、およびE.デル・ジュディチェ、G.プレパラタ、G.ヴィティエッロ[ 13 ]}によって発表されている。マリ・ジブと安江邦夫^{[ 14 ]}、ジュゼッペ・ヴィティエッロ^{[ 15 ]}は、これらの発見に基づいて、意識への影響について議論した。

複素スカラー場ϕを考え、以下の制約条件を満たすものとする。${\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}$定数。このような制約を課す方法の1つは、ラグランジアン密度に潜在的な相互作用項を含めることである。

${\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}$

そしてλ →∞の極限をとる 。これは「アーベル非線形σモデル」と呼ばれる。^{[ nb 2 ]}

以下の制約と作用は、U (1)位相変換 δϕ =i εϕの下で不変である。場は、制約なしで実スカラー場（すなわちスピンゼロ粒子）θを与えるように再定義できる。

$\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}$

ここでθ は南部-ゴールドストーンボソン（実際には${\displaystyle v\theta }$であり、U (1) 対称変換はθにシフトをもたらします 。

${\displaystyle \delta \theta =\epsilon ~,}$

しかし、基底状態|0〉は保存されません(つまり、上記の微小変換はそれを消滅させません。これは不変性の特徴です)。これは、以下の電流の電荷からも明らかです。

したがって、真空は縮退しており、自発的に破れた対称性の作用に対して不変ではない。

対応するラグランジュ密度は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}$

そしてこうして

${\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}$

定数項に注意してください${\displaystyle m^{2}v^{2}}$ ラグランジアン密度には物理的な意味はなく、その中のもう一方の項は単に質量のないスカラーの運動項である。

対称性によって誘発される保存されたU (1) 電流は

${\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}$

この電流によって生じる電荷Qは、 θと基底状態を新しい縮退した基底状態にシフトさせます。したがって、〈θ〉 = 0の真空は、 〈θ〉 = εの別の真空にシフトします。この電流は、元の真空を南部-ゴールドストーンボソン状態〈0| J ₀ (0)| θ〉≠ 0に接続します。

一般に、複数のスカラー場ϕ _jを持つ理論では、南部-ゴールドストーンモードϕ _gは質量ゼロであり、可能な（縮退した）真空状態の曲線をパラメータ化します。対称性の破れ変換の下でのその特徴は、ポテンシャルの最小値 〈∂ V /∂ ϕ i 〉 = 0 で選択されたある基底状態 |0〉 において、ゼロにならない真空期待値 〈 δϕ g 〉、つまり秩序パラメータです。原理的には、_真空は量子効果を 考慮した_有効ポテンシャルの最小値であるべきですが、第一近似では古典ポテンシャルと等しくなります。対称性により、すべての対称方向における場に関するポテンシャルのすべての変分はゼロになります。前述のように、任意の方向における一次変分の真空値はゼロになりますが、二次変分の真空値も次のようにゼロにならなければなりません。場の対称性変換増分の真空値がゼロになるということは、新たな情報を提供しない。

しかしながら、それとは対照的に、変換増分の非零真空期待値〈δϕg _〉は、質量行列の関連する（ゴールドストーン）零固有ベクトルを指定する。

したがって、対応するゼロ質量固有値も得られる。

ゴールドストーンの定理の変形版は、非相対論的理論にも適用されます。^{[ 19 ] [ 20 ]}これは基本的に、自発的に破れた対称性ごとに、通常はボソンであり、エネルギーギャップを持たない準粒子が存在することを述べています。凝縮系物質では、これらのゴールドストーンボソンはギャップレスモード（つまり、エネルギー分散関係が次のようになる状態）とも呼ばれます。${\displaystyle E\propto p^{n}}$そして、ゼロです。${\displaystyle p=0}$）、質量のない粒子の非相対論的バージョン（すなわち、分散関係が である光子）${\displaystyle E=pc}$そしてゼロは${\displaystyle p=0}$) 非相対論的凝縮物質の場合のエネルギーは、相対論的の場合のHではなく、H − μN − α → ⋅ P →であることに注意してください。ただし、2 つの異なる自発的に破れたジェネレーターが同じ南部-ゴールドストーンボソンを生み出す可能性があります。

最初の例として、反強磁性体には 2 つのゴールドストーン ボソンがあり、強磁性体には 1 つのゴールドストーン ボソンがあり、どちらの場合も SO(3) から SO(2) への対称性の破れがあり、反強磁性体の分散は${\displaystyle E\propto p}$基底状態の期待値はゼロであり、強磁性体の場合、分散は${\displaystyle E\propto p^{2}}$そして基底状態の期待値はゼロではなく、つまり基底状態には自発的に破れた対称性がある^{[ 21 ] [ 22 ]。}

2番目の例として、超流動体では、 U(1)粒子数対称性とガリレオ対称性の両方が自発的に破れています。しかし、フォノンはどちらの場合もゴールドストーンボソンです。^{[ 23 ] [ 24 ]}

対称性の破れに関して言えば、凝縮物質のギャップレスモードとヒッグス粒子の間にも密接な類似性があり、例えば常磁性体から強磁性体への相転移などが挙げられる^{[ 25 ] [ 26 ]。}

内部対称性の破れとは対照的に、ローレンツ対称性、共形対称性、回転対称性、並進対称性などの時空対称性が破れる場合、秩序パラメーターはスカラー場である必要はなく、テンソル場であってもよく、独立した質量ゼロモードの数は自発的に破れた生成子の数よりも少なくなる可能性がある。秩序パラメーターを持つ理論の場合${\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }$時空の対称性を自発的に破る、破れたジェネレータの数${\displaystyle T^{a}}$非自明な独立解の数を差し引いたもの${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$に

${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}$

は、発生するゴールドストーンモードの数です。^{[ 27 ]}内部対称性の場合、上記の式には非自明な解がないため、通常のゴールドストーン定理が成り立ちます。解が存在する場合、それはゴールドストーンモードが互いに線形依存しているためであり、結果として得られるモードは別のモードの勾配として表現できます。解の時空依存性は${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$は、壊れていないジェネレータの方向であり、すべての変換ジェネレータが壊れている場合、非自明な解は存在せず、ゴールドストーンモードの数は再び壊れたジェネレータの数と完全に一致します。

一般に、フォノンは自発的に破れた並進対称性^{[ 28 ]}に対する南部-ゴールドストーンボソンに相当します。