ノイマン級数

ノイマン級数とは、演算子をk回繰り返し適用して合計した数学的な級数である。これは生成器の形式を持つ。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$

ここで は のk回繰り返し適用であり、 はに対する恒等演算子であり、である。これは、実数または複素数の等比級数を演算子の等比級数に一般化する特殊なケースである。級数の一般化された初期項は恒等演算子であり、級数の一般化された公比は演算子である。${\displaystyle T^{k}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{0}}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle T^{k}:={}T^{k-1}\circ {T}}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle T^{0}=I}$${\displaystyle T.}$

この級数は、1877 年にポテンシャル理論の文脈で使用した数学者カール ノイマンにちなんで名付けられました。ノイマン級数は関数解析で使用されます。有界演算子のスペクトルを研究するためのレゾルベント形式と密接に関連しており、関数に左から適用すると、フレドホルム積分方程式を正式に解くリウヴィル-ノイマン級数を形成します。

がノルムベクトル空間上の有界線型作用素であるとします。ノイマン級数が作用素ノルムで収束する場合、 は可逆であり、その逆級数は次の級数です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle IT}$

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$、

ここで はにおける恒等演算子です。その理由を理解するために、部分和を考えてみましょう。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}T^{k}}$。

そして、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(I-T)S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=0}^{n}T^{k+1}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(I-T^{n+1}\right)=I}$

演算子に関するこの結果は、における等比級数に類似しています。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

収束が保証される 1 つのケースは、がバナッハ空間であり、 が作用素ノルム内にある場合です。もう 1 つの互換性のあるケースは、 が収束することです。ただし、級数が収束するより弱い条件を与える結果もあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle |T|<1}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|T^{k}|}$

を次のように表すものとします。 ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {5}{7}}&0&{\frac {1}{7}}\\{\frac {3}{10}}&{\frac {3}{5}}&0\end{pmatrix}}.}$

ノイマン級数が無限大 に近づくにつれて収束するためには、の行列ノルムは1より小さくなければならない。このノルムは ${\textstyle \sum _{k=0}^{n}C^{k}}$${\displaystyle (I-C)^{-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}||C||_{\infty }&=\max _{i}\sum _{j}|c_{ij}|=\max \left\lbrace {\frac {3}{4}},{\frac {6}{7}},{\frac {9}{10}}\right\rbrace ={\frac {9}{10}}<1,\end{aligned}}}$

ノイマン級数が収束することを確認します。

切断されたノイマン級数は近似逆行列に使用できる。逆行列の逆行列を近似するには、次の式を考える。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&=(I-I+A)^{-1}\\&=(I-(I-A))^{-1}\\&=(I-T)^{-1}\end{aligned}}}$

次に、適切なノルム条件が満たされる場合のノイマン級数恒等式を使用すると、ノルムの条件が与えられるとこれらの項は増加するにつれて縮小するため、級数をある有限で切り捨てると、逆行列の実用的な近似値が得られる可能性があります。 ${\displaystyle T=(I-A).}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}=(1-T)^{-1}}$${\displaystyle T=(I-A)}$${\textstyle A^{-1}=(I-(I-A))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(I-A)^{k}.}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle A^{-1}\approx \sum _{k=0}^{n}(I-A)^{k}.}$

系として、2つのバナッハ空間と間の可逆演算子の集合は、演算子ノルムによって誘導される位相において開いている。確かに、を可逆演算子とし、を別の演算子とする。 の場合、も可逆である。 なので、ノイマン級数は収束する。したがって、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B'}$${\displaystyle S:B\to B'}$${\displaystyle T:B\to B'}$${\displaystyle |S-T|<|S^{-1}|^{-1}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |I-S^{-1}T|<1}$${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(I-S^{-1}T)^{k}}$

${\displaystyle T^{-1}S=(I-(I-S^{-1}T))^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(I-S^{-1}T)^{k}}$

規範をとると、

${\displaystyle |T^{-1}S|\leq {\frac {1}{1-|I-(S^{-1}T)|}}}$

のノルムは次のように制限される。 ${\displaystyle T^{-1}}$

${\displaystyle |T^{-1}|\leq {\tfrac {1}{1-q}}|S^{-1}|\quad {\text{where}}\quad q=|S-T|\,|S^{-1}|.}$

ノイマン級数は、大規模マルチユーザーMIMO（多入力多出力）無線システムにおける線形データ検出に使用されています。切り捨てられたノイマン級数を使用すると、明示的な逆行列の計算が回避され、線形データ検出の複雑さが3次から2次へと軽減されます。^[1]

もう 1 つの応用は、ノイマン級数を利用して伝達関数の閉じた形式の表現を導出する 伝播グラフの理論です。

• ヴェルナー、ディルク (2005)。機能分析(ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-43586-7。