クーランのミニマックス原理

数学において、クーランのミニマックス原理は、実対称行列の固有値を求める原理である。この原理はリチャード・クーランにちなんで名付けられた。

クーランのミニマックス原理は、実対称行列の固有値を求めるための条件を与える。クーランのミニマックス原理は以下のとおりである。

任意の実対称行列Aに対して、

${\displaystyle \lambda _{k}=\min \limits _{C}\max \limits _{{\|x\|=1},{Cx=0}}\langle Ax,x\rangle ,}$

どこ${\displaystyle C}$何か${\displaystyle (k-1)\times n}$マトリックス。

ベクトルxは対応する固有値λの固有ベクトルであることに注意してください。 

クーランのミニマックス原理は最大値定理の結果であり、${\displaystyle q(x)=\langle Ax,x\rangle }$Aは実対称行列であるため、最大固有値は次式で与えられる。${\displaystyle \lambda _{1}=\max _{\|x\|=1}q(x)=q(x_{1})}$、 どこ${\displaystyle x_{1}}$は対応する固有ベクトルです。また（最大値定理では）後続の固有値$\displaystyle \lambda _{k}}$および固有ベクトル${\displaystyle x_{k}}$帰納法により互いに直交することがわかったので、${\displaystyle \lambda _{k}=\max q(x_{k})}$と${\displaystyle \langle x_{j},x_{k}\rangle =0,\ j<k}$。

クーランのミニマックス原理と最大原理は、|| x || =  1 が超球面である場合、行列Aがその超球面を楕円体に変形すると想像することで視覚化できます。交差する超平面上の長軸が最大化されるとき、つまり二次形式q ( x )の長さが最大化されるとき、これが固有ベクトルであり、その長さが固有値です。他のすべての固有ベクトルはこれに垂直になります。

ミニマックス原理は、ヒルベルト空間上の正の自己共役作用素の固有値にも一般化され、シュトゥルム・リウヴィル問題を研究するためによく用いられます。

• ミニマックス定理
• 最大最小不等式
• レイリー商

• クーラント、リチャード、ヒルベルト、デイヴィッド(1989)、数理物理学の方法、第 I 巻、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-50447-5（31～34ページ。ほとんどの教科書では、「最大最小値法」はレイリーとリッツによるものとされており、彼らは音理論に変分法を応用した。）
• Keener, James P. 『応用数学の原理：変換と近似』ケンブリッジ：Westview Press、2000年。ISBN 0-7382-0129-4
• ホーン、ロジャー、ジョンソン、チャールズ（1985）、『行列解析』、ケンブリッジ大学出版局、 179ページ、ISBN 978-0-521-38632-6