アダマール因数分解定理

数学、特に複素解析の分野において、アダマール因数分解定理は、有限位数の全ての整関数は、その零点と多項式の指数関数との積として表すことができると主張する。この定理はジャック・アダマールにちなんで名付けられた。

この定理は、すべての多項式は各根に対応する線形因子に因数分解できると主張する代数学の基本定理の拡張と見なすことができる。これは、有限位数の整数関数に限定されないワイエルシュトラスの因数分解定理と密接に関連している。

アダマールの正準因子を定義する$${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\prod _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}}$$有限位数の完全関数${\displaystyle \rho }$アダマールの正統表現を持つ： ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})}$$どこ${\displaystyle a_{k}}$それらの根は${\displaystyle f}$ゼロではないもの（${\displaystyle a_{k}\neq 0}$)${\displaystyle m}$はゼロの位数です${\displaystyle f}$で${\displaystyle z=0}$（ケース）${\displaystyle m=0}$と解釈される${\displaystyle f(0)\neq 0}$)${\displaystyle Q}$多項式（その次数を${\displaystyle q}$）、 そして${\displaystyle p}$は、次の数列を満たす最小の非負整数である。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$収束する。非負整数${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$全体関数の種数と呼ばれる${\displaystyle f}$この表記では、$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$言い換えれば：${\displaystyle \rho }$整数でない場合、${\displaystyle g=[\rho ]}$は整数部分です${\displaystyle \rho }$順序が正の整数である場合、2つの可能性があります。${\displaystyle g=\rho -1}$または${\displaystyle g=\rho }$。

例えば、${\displaystyle \sin }$、${\displaystyle \cos }$そして${\displaystyle \exp }$属の完全な機能${\displaystyle g=\rho =1}$。

根の収束指数を定義する${\displaystyle f}$以下の通りです。^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha$$ :=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log N(f,r)}{\log r}}} ただし${\displaystyle N(f,r)}$は、絶対値が の根の数です。${\displaystyle <r}$つまり、関数の根の数の増加挙動には漸近的な上限があるということである。$${\displaystyle \forall \epsilon >0\quad N(f,r)\ll r^{\alpha +\epsilon },{\text{ and exists a sequence }}r_{k}{\text{ such that }}N(f,r_{k})>r_{k}^{\alpha -\epsilon }}$$明らかに${\displaystyle \alpha \geq 0}$。

定理：^{[ 3 ]}もし${\displaystyle f}$無限に多くの根を持つ整関数である場合、$${\displaystyle \alpha =\inf \left\{\beta$$ :\sum _{k}|a_{k}|^{-\beta }<\infty \right\}=\limsup _{k\to \infty }{\frac {\log k}{\log |a_{k}|}}} 注:これらの 2 つの等式は、実数列の極限挙動に関するものです。${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots }$これは無限大に発散する。複素解析は関係ない。

命題：^{[ 2 ]}${\displaystyle \alpha (f)\leq \rho }$ジェンセンの公式による。

アダマール分解を用いると、ピカールの小定理のいくつかの特殊な場合を証明できる。

定理：^{[ 4 ]}もし${\displaystyle f}$が全体であり、定数ではなく、有限の位数を持つ場合、それは複素平面全体、または1点を除いた平面のいずれかを仮定します。

証明:もし${\displaystyle f}$価値を想定するものではない${\displaystyle z_{0}}$そして、アダマール分解により、${\displaystyle f(z)-z_{0}=e^{Q(z)}}$非定数多項式の場合${\displaystyle Q}$代数学の基本定理により、${\displaystyle Q}$すべての値を想定しているため、${\displaystyle f(z)-z_{0}}$すべてゼロ以外の値を想定します。

定理：^{[ 4 ]}もし${\displaystyle f}$は全体であり、定数ではなく、有限の非整数位数を持つ。${\displaystyle \rho }$すると、複素平面全体を無限回仮定することになる。

証明:${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$証明すれば十分である${\displaystyle f(z)-w}$無限に多くの根を持つ。展開する${\displaystyle f(z)-w}$そのアダマール表現へ${\displaystyle f(z)-w=e^{Q(z)}z^{m}\prod _{k}E_{p}(z/a_{k})}$積が有限であれば、${\displaystyle \rho =g}$整数です。

以下の証明は、コンウェイによるアダマールの因数分解定理の扱いに従っている。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle f}$有限位数の整関数である${\displaystyle \rho }$。 もし${\displaystyle f}$次数がゼロである${\displaystyle m}$原点に、

${\displaystyle f(z)=z^{m}f_{0}(z),}$

どこ${\displaystyle f_{0}}$全体であり${\displaystyle f_{0}(0)\neq 0}$非ゼロ定数を掛けても順序は変わらないので、正規化の下で定理を証明すれば十分である。${\displaystyle f(0)=1}$要因${\displaystyle z^{m}}$最後に復元することができます。

させて${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$の非ゼロのゼロである${\displaystyle f}$多重度に応じて繰り返され、次のように順序付けられます。

${\displaystyle |a_{1}|\leq |a_{2}|\leq \cdots .}$

させて${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$最初のステップは、零系列の収束指数が最大で${\displaystyle \rho }$、特に

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{-p-1}<\infty .}$

確かに、${\displaystyle n(r)}$ゼロの数を表す${\displaystyle f}$で${\displaystyle |z|<r}$多重度を考慮して数える。イェンセンの公式により、次の形式の推定値が得られる。

${\displaystyle n(r)\log 2\leq \log M(2r),}$

どこ

${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|.}$

以来${\displaystyle f}$順序がある${\displaystyle \rho }$、すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$そして全て十分に大きい${\displaystyle r}$、

${\displaystyle \log M(r)\leq r^{\rho +\varepsilon }.}$

選択する${\displaystyle \varepsilon >0}$とても小さいので${\displaystyle \rho +\varepsilon <p+1}$したがって、

${\displaystyle n(r)=O(r^{\rho +\varepsilon }).}$

以来${\displaystyle k\leq n(|a_{k}|)}$これにより

${\displaystyle |a_{k}|\geq Ck^{1/(\rho +\varepsilon )}}$

十分に大きいすべての${\displaystyle k}$そしていくつかの定数${\displaystyle C>0}$。 したがって

${\displaystyle |a_{k}|^{-p-1}\leq C'k^{-(p+1)/(\rho +\varepsilon )},}$

そして右辺の指数はより大きい${\displaystyle 1}$したがって

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{-p-1}<\infty .}$

したがって、正準積

${\displaystyle P(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n})}$

局所的に一様に収束し、零点がまさに零点である完全関数を定義する。${\displaystyle a_{n}}$同じ多重度を持つ。したがって

${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)}{P(z)}}}$

は零点のない整関数です。複素平面は単連結なので、整関数が存在します。${\displaystyle g}$そのため

${\displaystyle F(z)=e^{g(z)}.}$

したがって

${\displaystyle f(z)=e^{g(z)}P(z).}$

証明すべきことは${\displaystyle g}$次数が最大で の多項式です${\displaystyle p}$このために、コンウェイは次の対数微分補題を使用する。

補題。もし${\displaystyle f}$有限次数の整関数である${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle f(0)\neq 0}$、 そして${\displaystyle p}$は整数で${\displaystyle p>\rho -1}$そして、ゼロから離れて${\displaystyle f}$、

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

本件においては${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$、 それで${\displaystyle p>\rho -1}$補題を適用すると${\displaystyle f}$与える

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {f'(z)}{f(z)}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

一方、${\displaystyle f=e^{g}P}$、

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}=g'+{\frac {P'}{P}}.}$

単一の基本因子の場合、

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log E_{p}(z/a)=-{\frac {1}{a-z}}+\sum _{j=1}^{p}{\frac {z^{j-1}}{a^{j}}}.}$

微分した後${\displaystyle p}$回、多項式の部分は消滅し、したがって

${\displaystyle {\frac {d^{p}}{dz^{p}}}\left({\frac {P'}{P}}\right)=-p!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(a_{n}-z)^{p+1}}}.}$

2つの式を比較すると、

${\displaystyle g^{(p+1)}(z)=0.}$

したがって${\displaystyle g}$次数が最大で の多項式です${\displaystyle p}$。

原点にゼロ点を戻すと、次の式が得られる。

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{n}),}$

どこ${\displaystyle Q}$次数が最大で の多項式です${\displaystyle p=\lfloor \rho \rfloor }$したがって、${\displaystyle f}$有限であり、最大で${\displaystyle \rho }$これはアダマールの因数分解定理です。