事前測定

数学において、前測度とは、ある意味では、与えられた空間における真の測度の前身となる集合関数です。実際、測度論における基本定理の 1 つでは、前測度は測度に拡張できると述べられています。

を固定集合の部分集合の環（和集合および相対補集合の下で閉じている）とし、を集合関数とします。が前測度であるとは 、かつ、和集合が に属する対をなす互いに素な集合の可算（または有限）な列 すべてに対してであるときです。2 番目の特性は-加法性と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu _{0}:R\to [0,\infty ]}$${\displaystyle \mu_{0}}$$${\displaystyle \mu_{0}(\varnothing)=0}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R}$${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{ 0}(A_{n})。}$$${\displaystyle \sigma}$

したがって、前測度が測度となるために欠けているのは、それが必ずしもシグマ代数（またはシグマ環）上で定義されないことです。

前測度は、空間のすべての部分集合に対して定義される外測度をごく自然に生じさせることが分かる。 より正確には、 が空間の部分集合の環上で定義された前測度である場合、によって定義される 集合関数は 上の外測度であり、 によってカラテオドリ可測集合の-代数上に誘導される測度はに対して を満たす（特に を含む）。空集合の最小値は とされる。${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mu_{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu^{*}}$$${\displaystyle \mu^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu^{*}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu (A)=\mu _{0}(A)}$${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle R}$${\displaystyle +\infty .}$

(文献で使用されている用語には多少の違いがあることに注意してください。たとえば、Rogers (1998) では「測定」が使用されていますが、この記事では「外部測定」という用語が使用されています。外部測定は、加法的でない可能性があるため、一般に測定ではありません。) ${\displaystyle \sigma }$

• ハーン・コルモゴロフの定理 – 前測度を測度に拡張する定理Pages displaying short descriptions of redirect targets

• Munroe, ME (1953).測定と積分入門. マサチューセッツ州ケンブリッジ: Addison-Wesley Publishing Company Inc. p. 310. MR0053186​
• Rogers, CA (1998)。ハウスドルフ尺度。ケンブリッジ数学図書館（第3版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。p. 195。ISBN 0-521-62491-6。 MR 1692618（セクション1.2を参照）
• フォランド、GB (1999)。実解析、純粋および応用数学（第2版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。pp. 30–31。ISBN 0-471-31716-0。