集合の代数

数学、特に集合論の研究において、集合代数^{[ a ]}は、集合の性質と法則、集合論的な演算である和集合、積集合、補集合、および集合の等価性や包含関係を定義します。また、これらの演算や関係を含む式を評価し、計算を実行するための体系的な手順も提供します。

集合論的演算に関して閉じている任意の集合の集合は、結合演算子が和集合、交わり演算子が積集合、補集合演算子が集合補集合であるブール代数を形成し、 ^{[ 1 ]}底辺は⁠である。${\displaystyle \varnothing }$そして、一番上の部分は検討対象となる宇宙全体を表す。

集合とは、多くの数学的対象の集まりです。そのような対象の例としては、数、記号、空間上の点、線、その他の幾何学的形状、変数、関数、あるいは他の集合などが挙げられます。^{[ 2 ]}集合は通常、大文字と中括弧で表されます。${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$そして${\displaystyle B=\{a,b,c,x,y,z\}}$。

上記の各恒等式は、互いに交換することで他方の恒等式に変換できる一対の恒等式の一方である。${\displaystyle \cup }$そして​​${\displaystyle \cap }$⁠、同時に交換も⁠${\displaystyle \varnothing }$そして​​${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ .

これらは、集合代数の極めて重要かつ強力な性質、すなわち集合の双対性の原理の例であり、集合に関する任意の真の命題に対して、和集合と積集合を入れ替えて得られる双対命題は、${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$そして​​${\displaystyle \varnothing }$また、包含関係を反転させることも真である。ある命題が自身の双対命題と等しい場合、その命題は自己双対であると言われる

任意の部分 集合について${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$宇宙集合の${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠、以下の恒等式が成り立つ。

冪等法則

• ⁠${\displaystyle A\cup A=A}$[^{証明1 ]}
• ⁠${\displaystyle A\cap A=A}$[^{証明2 ]}

支配法則

• ⁠${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$⁠

吸収法則

• ⁠${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$[^{証明3 ]}
• ⁠${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$[^{証明4 ]}

共通部分は、集合の差を用いて表現できる。

⁠${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$⁠

させよう${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$宇宙の部分集合である${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$そして：

ド・モルガンの法則

• ⁠${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$⁠

二重補数または対合法則

• ⁠${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$⁠

全体集合と空集合の補集合法則

• ⁠${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$⁠
• ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$⁠

二重補集合法則は自己双対であることに注意してください。次の式も自己双対であり、集合の補集合は補集合法則を満たす唯一の集合であることを示しています。言い換えれば、補集合は補集合法則によって特徴付けられます。${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$宇宙の部分集合である${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠、

補語の独自性

• もし​${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$⁠、そして⁠${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$⁠、それから⁠${\displaystyle B=A^{\complement }}$⁠

集合の代数には、集合の包含関係が含まれます。つまり、ある集合が別の集合の部分集合であるという二項関係は、半順序関係です。もし⁠${\displaystyle A}$⁠、 ⁠${\displaystyle B}$そして​​${\displaystyle C}$⁠が集合である場合、次のことが成り立つ。

反省性

• ⁠${\displaystyle A\subseteq A}$⁠

反対称性

• ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$そして​​${\displaystyle B\subseteq A}$⁠の場合に限り⁠${\displaystyle A=B}$⁠

推移性

• もし​${\displaystyle A\subseteq B}$そして​​${\displaystyle B\subseteq C}$⁠、それから⁠${\displaystyle A\subseteq C}$⁠

任意のセットに対して${\displaystyle S}$⁠、 の冪集合⁠${\displaystyle S}$⁠ は、包含関係によって順序付けられており、有界束であり、したがって上記の分配法則と補元法則と合わせて、ブール代数であることがわかります。つまり、もし⁠${\displaystyle A}$⁠、 ⁠${\displaystyle B}$そして​​${\displaystyle C}$集合の部分集合です${\displaystyle S}$⁠すると、以下のことが成り立つ。

最小要素と最大要素の存在

• ⁠${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$⁠

結合の存在

• ⁠${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$⁠

• もし​${\displaystyle A\subseteq C}$そして​​${\displaystyle B\subseteq C}$⁠、それから⁠${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$⁠

会合の存在

• ⁠${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$⁠
• もし​${\displaystyle C\subseteq A}$そして​​${\displaystyle C\subseteq B}$⁠、それから⁠${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$⁠

包含セット${\displaystyle A\subseteq B}$⁠ は、和集合、積集合、補集合を含む他のさまざまな命題と同等です。つまり、任意の 2 つの集合に対して⁠${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle B}$以下は同等です。

• ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cap B=A}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cup B=B}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$⁠

これは、集合の包含関係は集合の和集合または積集合のいずれかの演算によって特徴づけられることを示しており、集合の包含という概念は公理的に不要であることを意味する。

以下の命題は、相対補集合と集合論的差異に関するいくつかの恒等式を列挙している。

命題9：あらゆる宇宙において${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠および部分集合⁠${\displaystyle A}$⁠、 ⁠${\displaystyle B}$そして​​${\displaystyle C}$の​​${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠、以下の恒等式が成り立つ。

• ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$⁠
• ⁠${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$⁠

• σ代数は、可算無限個の演算を含むように拡張された集合の代数である。
• 公理的集合論
• 画像（数学）§ 特性
• 集合の体
• 集合の恒等式と関係のリスト
• 素朴集合論
• 集合（数学）
• 位相空間—のサブセット⁠${\displaystyle \wp (X)}$⁠、 の冪集合⁠${\displaystyle X}$⁠、任意の和集合、有限の共通部分に関して閉じており、 ⁠を含む${\displaystyle \varnothing }$そして​​${\displaystyle X}$⁠ .

• ProvenMathにおける集合の操作