シグマ加法集合関数

数学において、加法集合関数は、集合を数値にマッピングする関数 であり、 2 つの互いに素な集合の和集合におけるその関数の値が、これらの集合におけるその関数の値の合計に等しいという性質を持ちます。つまり、この加法性の性質が任意の 2 つの集合に対して成り立つ場合、任意の有限個の集合に対しても成り立ちます。つまり、k個の互いに素な集合 ( kは有限数) の和集合における関数の値は、これらの集合におけるその関数の値の合計に等しくなります。したがって、加法集合関数は有限加法集合関数とも呼ばれます(これらの用語は同義です)。ただし、有限加法集合関数は、無限個の集合の和集合に対して加法性を持たない場合があります。σ加法集合関数は、可算無限個の集合に対しても加法性を持つ関数です。つまり、${\textstyle \mu }$${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)。}$${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) 。}$

加法性とシグマ加法性は、測度の特に重要な特性です。これらは、複数のオブジェクトを考慮するときに、集合の合計のサイズ (長さ、面積、体積) の直感的な特性を抽象化したものです。加法性は、σ 加法性よりも弱い条件です。つまり、σ 加法性は加法性を意味します。

モジュラー集合関数という用語は加法集合関数と同等です。以下のモジュラー性を参照してください。

を、 に値を持つ集合の代数上で定義された集合関数とする（拡張された実数直線を参照）。この関数は${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \mu}$添加物またはと がにおける互いに素な集合場合、 は有限加法的に成り立ちます。 この結果、加法的関数はと の値として取ることはできません。式は未定義だからです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)。}$$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle \infty -\infty }$

数学的帰納法によって、加法関数が 任意の互いに素な集合 に対してを満たすことを証明できる。$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

がσ-代数であると仮定します。内の互いに素な一組の集合のすべての列に対して が 成り立つ場合、 は可算加法または𝜎-加法であるといわれます。 以下に示すように、すべての 𝜎-加法関数は加法ですが、その逆は当てはまりません。 ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}) 、}$$${\displaystyle \mu}$

シグマ代数に加えて位相があると仮定します。測定可能な開集合の有向族すべてに対して が-加法的である と言えます。特に、 が内部正則（コンパクト集合に関して）である場合、 は τ-加法的です。 ^[1]${\textstyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \mu}$

加法セット関数の有用な特性は次のとおりです。 ${\displaystyle \mu}$

またはをそのドメイン内のすべてのセットに割り当てるか、 をそのドメイン内のすべてのセットに割り当てます。証明: 加法性は、すべてのセットIfに対して が成り立つことを意味します。 すると、この等式はプラスまたはマイナスの無限大によってのみ満たされます。 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing ).}$${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

が非負の場合、つまり、は${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$${\displaystyle \mu}$単調集合関数。同様に、が非正で、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

集合族上の集合関数 は${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$モジュラーセット関数ととがの要素である場合、 上記のプロパティは次のように呼ばれます。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}},}$$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$モジュール性と以下の議論は加法性がモジュール性を意味することを証明します。

与えられたものと証明：および と書きます。ここで、和集合のすべての集合は互いに素です。加法性は、等式の両辺が等しいことを意味します。${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)。}$ ${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

ただし、劣モジュラ性と劣加法性の関連する特性は、互いに同等ではありません。

モジュール性は複素関数のコンテキストでは異なる無関係な意味を持つことに注意してください。モジュール形式を参照してください。

とが定義されている場合、${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

𝜎加法関数の例としては、実数のべき集合上で定義される関数があり、 ${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

が互いに素な実数集合の列である 場合、どの集合にも 0 が含まれないか、または 1 つの集合にのみ 0 が含まれます。どちらの場合でも、等式は 成立します。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

𝜎加法関数のその他の例については、 measureとsigned measure を参照してください。

電荷は、 ^[2]にマッピングされる有限加法集合関数として定義されます（制限付き電荷に関する情報については、 ba空間を参照してください。ここで、電荷が制限されているとは、その範囲がRの制限付きサブセットであることを意味します）。 ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle 0.}$

σ加法ではない加法関数の例は、実数のルベーグ集合上で公式 によって 定義される を考えることによって得られる。 ここで はルベーグ測度、バナッハ極限を表す。 が を満たし、 の場合、${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lim }$${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$${\displaystyle \sup A<\infty }$${\displaystyle \mu (A)=0.}$

この関数が加法的であることは、極限の線形性を使用することで確認できます。この関数が σ 加法的でないことは、 の互いに素な集合のシーケンスを考慮することでわかります。 これらの集合の和は正の実数であり、和に を適用すると 1 になりますが、個々の集合のいずれかに適用すると 0 になるため、 の合計も 0 になり、反例が証明されます。 $${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (A_{n})}$

任意の加法モノイド（たとえば任意の群、またはより一般的にはベクトル空間）内の値を持つ加法関数を定義できます。シグマ加法性については、さらに、そのセット上でシーケンスの極限の概念を定義する必要があります。たとえば、スペクトル測度は、バナッハ代数内の値を持つシグマ加法関数です。量子力学からの別の例として、正の演算子値測度があります。

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