超加算性

数学において、関数${\displaystyle f}$超加法性を持つ場合 ${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$ すべての人々のために${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$の領域において${\displaystyle f.}$

同様に、シーケンス${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$不等式を満たす場合、それは超加法的であると呼ばれる。$${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$ すべての人々のために${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n.}$

「超加法的」という用語は、ブール代数から実数への関数にも適用され、${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$例えば、確率が低いなど。

• 地図${\displaystyle f(x)=x^{2}}$は非負の実数に対しては超加法関数である。${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy\geq f(x)+f(y)。}$

• 行列式は非負エルミート行列に対して超加法的である。つまり、${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$非負のエルミート行列である場合${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$これはミンコフスキー行列式定理から導かれるものであり、より一般的には次のように述べられている。${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$サイズが非負のエルミート行列の場合、超加法的（あるいは凹関数）である^{[ 1 ]。}${\displaystyle n}$： もし${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$非負のエルミート行列である場合${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• ホルスト・アルツァーは^{[ 2 ]}アダマールのガンマ関数が${\displaystyle H(x)}$すべての実数に対して超加法的である${\displaystyle x,y}$と${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$^{[ 3 ]}
• 相互情報

もし${\displaystyle f}$は、定義域が以下のものを含む超加法関数である。${\displaystyle 0,}$それから${\displaystyle f(0)\leq 0.}$これを見るには、単に設定するだけです${\displaystyle x=0}$そして${\displaystyle y=0}$定義する不等式において。

超加法関数の負の値は劣加法関数である。

超加法数列を使用する主な理由は、マイケル・フェケテによる次の補題である。^{[ 4 ]}

補題: (フェケテ) すべての超加法数列に対して${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$限界​${\displaystyle \lim a_{n}/n}$上限に等しい${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ （極限は正の無限大になる場合があり、数列の場合がこれに該当する。）${\displaystyle a_{n}=\log n!}$例えば。）

フェケテの補題の類似は劣加法関数にも成り立つ。フェケテの補題には、上記の優加法性の定義がすべての関数に対して成り立つことを必要としない拡張が存在する。${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n.}$ また、何らかの超加法性と劣加法性の両方が存在する場合、フェケテの補題で述べられている極限への収束率を導出できる結果もある。このトピックに関する優れた解説は、スティール（1997）に見られる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

• ショケ積分– 劣加法積分または超加法積分 
• 内径
• 劣加法性– 一部の数学関数の性質 
• 劣線形関数– 線形代数における関数の種類 

注記

• ジェルジ・ポリャとガボール・ゼゴ。 （1976年）。解析の問題と定理、第 1 巻。スプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク州。ISBN 0-387-05672-6。

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