厳密に肯定的な措置

数学において、厳密な正値は測度論の概念です。直感的には、厳密な正の測度とは、「どこでもゼロではない」、または「点のみでゼロである」測度です。

をハウスドルフ位相空間とし、を位相を含む 上の-代数とします（したがって、すべての開集合は測定可能な集合となり、 は少なくとも上のボレル-代数と同程度に細かい）。の空でないすべての開部分集合が厳密に正の測度を持つ 場合、上の測度は厳密に正と呼ばれます。${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle X}$

より簡潔に言うと、が正であるのは、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle U\in T}$${\displaystyle U\neq \varnothing ,\mu (U)>0.}$

• 任意の集合（任意の位相）上の計数測度は厳密に正です。${\displaystyle X}$
• ディラック測度は、位相が特に「粗い」（「少数の」集合を含む）場合を除いて、通常は厳密に正ではありません。たとえば、通常のボレル位相と-代数を持つ実数直線上では、厳密に正ではありません。ただし、に自明な位相が備わっている場合は、厳密に正になります。この例は、厳密な正値を決定する上での位相の重要性を示しています。${\displaystyle T}$${\displaystyle \delta_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T=\{\varnothing,\mathbb {R} \},}$${\displaystyle \delta_{0}}$
• ユークリッド空間 （そのボレル位相と -代数を含む）上のガウス測度は厳密に正です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma}$
  • の連続パスの空間上のウィーナー測度は厳密に正の測度です。ウィーナー測度は、無限次元空間上のガウス測度の例です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 上のルベーグ測度（そのボレル位相と-代数を含む）は厳密に正です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sigma}$
• が空の場合を除き、使用される空間や位相に関係なく、自明な測度は厳密に正になることはありません。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• およびが、厳密に正であり、 に関して絶対連続である測定可能な位相空間上の 2 つの測度である場合、も厳密に正です。証明は簡単です。 を任意の開集合とします。 は、絶対連続により厳密に正であるためです。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (X,\Sigma ),}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu ,}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu (U)>0;}$${\displaystyle \nu (U)>0}$
• したがって、厳密な正値は測度の同値性に関して不変です。

• サポート (測度論)  - 数学の概念 − 測度が厳密に正となるのは、そのサポートが空間全体である場合のみです。