局所有限測度

数学において、局所有限測度とは、測度空間のあらゆる点が有限測度の近傍を持つ測度である。^{[1] [2]}

をハウスドルフ位相空間とし、を位相を含む 上の-代数とします（したがって、すべての開集合は可測集合となり、 は上のボレル-代数と少なくとも同程度に細分化されます）。上で定義された測度/符号付き測度/複素測度は、空間のすべての点に対しての開近傍が存在し、の -測度が有限で ある場合に、局所有限と呼ばれます。${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle N_{p}}$

より簡潔な表記では、が局所有限であるのは、${\displaystyle \mu}$ $${\displaystyle {\text{すべての }}p\in X に対して、{\text{ }}N_{p}\in T{\mbox{ が存在し、 }}p\in N_{p}{\mbox{ かつ }}\left|\mu \left(N_{p}\right)\right|<+\infty となる。}$$

1. 上の任意の確率測度は、空間全体に単位測度を割り当てるため、局所的に有限です。同様に、空間全体に有限測度を割り当てる任意の測度は、局所的に有限です。${\displaystyle X}$
2. ユークリッド空間上のルベーグ測度は局所的に有限である。
3. 定義により、ラドンの測定値は局所的に有限です。
4. 計数測度は局所的に有限な場合もあれば、そうでない場合もあります。通常の離散位相を持つ整数上の計数測度は局所的に有限ですが、通常のボレル位相を持つ実数直線上の計数測度は局所的に有限ではありません。

• 内部正規測定 - 内部と外部が正規であるボレル測定フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 厳密に肯定的な措置