評価（ジオメトリ）

幾何学において、付値とは、集合 の部分集合の集合からアーベル半群への有限加法関数です。たとえば、ルベーグ測度はの凸体の有限和上の付値です。の凸体の有限和上の付値のその他の例としては、表面積、平均幅、オイラー特性 などがあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

幾何学では、連続性（または滑らかさ）条件が付値に課されることが多いが、理論の完全に離散的な側面もある。実際、付値の概念は多面体の分割理論、特にヒルベルトの第3問題に起源を持ち、抽象代数のツールに依存する豊かな理論に成長した。

を集合とし、をの部分集合の集合とする。アーベル半群に値を持つ関数は、 とがの要素であるとき、を満たす とき、付値と呼ばれる。 ならば、常に と仮定する。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cup B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}},}$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

よくある例としては ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• 凸状の物体${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• コンパクトな凸多面体${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 凸円錐
• 滑らかな多様体内の滑らかなコンパクト多面体${\displaystyle X}$

を の凸体の集合と する。すると のいくつかの値は ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• オイラー特性 ${\displaystyle \chi :K(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {Z} }$
• ルベーグ測度は${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• 固有体積（より一般的には混合体積）
• サポート関数がどこにあるかの地図${\displaystyle A\mapsto h_{A},}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle A}$

その他の評価としては

• 格子点列挙子、ここでは格子多面体${\displaystyle P\mapsto |\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$${\displaystyle P}$
• 有限集合族上の濃度

ここからは、、内の凸体の集合、上の付値とします。 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

すべての および に対して が成り立つとき、は変換不変であるといいます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$

とします。ハウスドルフ距離は、ユークリッド内積の下での 近傍で あるとして定義されます 。この測定基準を備えた は、局所的にコンパクトな空間です。 ${\displaystyle (K,L)\in {\mathcal {K}}(V)^{2}}$ ${\displaystyle d_{H}(K,L)}$$${\displaystyle d_{H}(K,L)=\inf\{\varepsilon >0:K\subset L_{\varepsilon }{\text{ および }}L\subset K_{\varepsilon }\},}$$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

からへの連続的かつ並進不変な値空間は次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

上の位相は、 のコンパクト部分集合上の一様収束の位相です。 は、内部が空でない有界部分集合であるノルムを備え 、 はバナッハ空間です。 ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$$${\displaystyle \|\phi \|=\max\{|\phi (K)|:K\subset B\},}$$${\displaystyle B\subset V}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

変換不変連続値は、 すべてのに対してであるとき 、同次であるという。同次値の部分集合は 、マクマレンの分解定理^[1]のベクトル部分空間である。${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \phi (\lambda K)=\lambda ^{i}\phi (K)}$$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)=\bigoplus _{i=0}^{n}\operatorname {Val} _{i}(V),\qquad n=\dim V.}$$

特に、同次評価の次数は常にとの間の整数である。${\displaystyle 0}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$

評価は、同次性の度合いだけでなく、原点を通る反射に関する偶奇性、つまり、すべての凸体に対して である場合に限り となることによっても等級付けされます 。およびの 元 は、それぞれ偶数および奇数であると言われています。 $${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}=\operatorname {Val} _{i}^{+}\oplus \operatorname {Val} _{i}^{-},}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$

これは、次元であり、オイラー特性によって張られる単純な事実であり、つまり、定数値から構成される。${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi ,}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$

1957年にハドヴィガー^[2]は、 （ここで）がルベーグ測度の -次元空間と一致することを証明した。${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$${\displaystyle n=\dim V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$

が単純な評価とは、 を持つすべての凸体に対してであるときです。Schneider [3] は 1996 年に 上のすべての単純な評価について説明しました。これらは によって与えられます。ここで は単位球面上の任意^の奇関数であり、はの表面積測度です。特に、任意の単純な評価は、- および -同次評価の和です。これは、 -同次評価がすべての - 次元部分空間への制限によって一意に決定されることを意味します。 ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \phi (K)=0}$${\displaystyle \dim K<n.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} (K)+\int _{S^{n-1}}f(\theta )d\sigma _{K}(\theta ),}$$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \sigma _{K}}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

クレイン埋め込みは、偶数同次値の空間を、の -次元線形部分空間のグラスマン多様体上の標準複素線束の連続セクションの空間に線型に注入するものである。その構築は、ハドヴィガーの -同次値のキャラクタリゼーション^[2]に基づいている。およびの場合、制限は要素であり、ハドヴィガーの定理により、それはルベーグ測度である。したがって、 上の 線束の連続セクションを定義し、 上のファイバーは 上の-次元密度空間(ルベーグ測度)に等しい。${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V),}$${\displaystyle \phi |_{E}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E),}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\phi }(E)=\phi |_{E}}$$${\displaystyle Dens}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$${\displaystyle E.}$

定理（クレイン^[4]）。線型写像は単射である。 ${\displaystyle \operatorname {Kl} :\operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} )}$

奇数値に対しては、シュナイダー埋め込みと呼ばれる別の注入が存在する。これは、シュナイダーの単純値の記述に基づいている。^[3]これは、奇同次値の空間を、共配向ペアの部分旗多様体上の直線束の連続セクションの空間の特定の商に線形注入するものである。その定義はクライン埋め込みを彷彿とさせるが、より複雑である。詳細は^[5]を参照のこと。${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1}).}$

グッディ・ヴェイユ埋め込みは、次元球面の - 倍積上の超関数空間への の線形注入である。これは、任意のが許容する自然な分極のシュワルツ核、すなわち、滑らかな凸体のサポート関数の差の幾何学的意味を持つ後者の関数空間の - 倍積上の関数としてに他ならない。詳細については、 ^[5]を参照。${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{2}(S^{n-1}),}$

ハドヴィガー、シュナイダー、マクマレンの古典的な定理は、次数と次数に関して同次な付値についてかなり明確な説明を与えている。しかし、 21世紀に入るまで次数についてはほとんど知られていなかった。マクマレンの予想とは、付値が の稠密な部分空間に広がるという主張である。マクマレンの予想は、アレスカーによってより強力な形で確認され、既約性定理として知られるようになった。 ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle n-1,}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$${\displaystyle 1<i<n-1}$$${\displaystyle \phi _{A}(K)=\operatorname {vol} _{n}(K+A),\qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

定理（アレスカー^[6]）。任意の空間および上 の自然な作用は既約である。 ${\displaystyle 0\leq i\leq n,}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$

ここで、一般線型群 のへの作用は次のように与えられます。 既約性定理の証明は、前のセクションの埋め込み定理とBeilinson-Bernstein の局在に基づいています。 ${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$$${\displaystyle (g\cdot \phi )(K)=\phi (g^{-1}K).}$$

からへの写像が滑らかな場合、付値は滑らかと呼ばれます。言い換えると、が滑らかであるためには、 が の自然な表現の滑らかなベクトルである場合に限ります。滑らかな付値の空間はで稠密です。それは自然なフレシェ空間位相を備えており、これは から誘導されるものよりも細かいものです。${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

上のすべての（複素数値）滑らかな関数（ ここで、は直交射影を表し、はハール測度）に対して、次数の滑らかな偶数値を定義します。カッセルマン・ワラッハの定理と組み合わせた既約定理から、任意の滑らかな偶数値はこのように表すことができます。このような表現は、クロフトンの公式と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \phi (K)=\int _{\operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$${\displaystyle P_{E}:\mathbb {R} ^{n}\to E}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle i.}$

すべての変換と通常のサイクル上のすべての数値積分に対して不変である任意の（複素数値の）滑らかな微分形式 は、滑らかな評価を定義します。 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

集合として、正規循環は、への外向きの単位法線で構成されます。既約定理は、すべての滑らかな評価がこの形式であることを意味します。 ${\displaystyle N(K)}$${\displaystyle K.}$

滑らかな評価の部分空間には、いくつかの自然な演算が定義されています。最も重要なのは、2 つの滑らかな評価の積です。プルバックとプッシュフォワードとともに、この演算は多様体上の評価に拡張されます。 ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V).}$

を有限次元実ベクトル空間とします。外積と呼ばれる双線型写像が存在し、 これは次の 2 つの性質によって一意に特徴付けられます。 ${\displaystyle V,W}$$${\displaystyle \boxtimes :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(W)\to \operatorname {Val} (V\times W)}$$

• および上の通常の位相に関して連続である。${\displaystyle \operatorname {Val} }$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }.}$
• および であり、 および が滑らかな境界と厳密に正のガウス曲率を持つ凸体であり、 およびがおよび上の密度である場合、${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \phi \boxtimes \psi =(\operatorname {vol} _{V}\boxtimes \operatorname {vol} _{W})(\bullet +A\times B).}$$

2 つの滑らかな値の積は、対角埋め込み によって定義されます 。積は連続マップです。 この積を備えると、オイラー特性を乗法単位元とする可換結合次数代数になります。 ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$$${\displaystyle (\phi \cdot \psi )(K)=(\phi \boxtimes \psi )(\Delta (K)),}$$${\displaystyle \Delta :V\to V\times V}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V).}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

アレスカーの定理によれば、積の制限は 非退化ペアリングである。これが、弱位相で位相化されたものとして表される、同次一般化評価の定義の動機となる。アレスカー・ポアンカレ双対性により、自然な稠密包含が存在する。$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$

畳み込みは の自然積である。簡単にするために、 の密度を固定して第2因子を自明にする。 を滑らかな境界と厳密に正のガウス曲率で 固定して定義する。すると、畳み込みと呼ばれる写像への連続性による一意の拡張が存在する 。積と異なり、畳み込みは共次数順に従う。すなわち、${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*}).}$${\displaystyle \operatorname {vol} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)\ast \operatorname {vol} (\bullet +B)=\operatorname {vol} (\bullet +A+B).}$$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V),}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V),}$ ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V),}$${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V).}$

例えば、凸体の混合体積を とします。滑らかな境界と厳密に正のガウス曲率を持つ 凸体が固定されている場合、 次 数の滑らかな評価を定義します。このような2つの評価の畳み込みは、 のみに依存する定数です。${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$${\displaystyle i.}$$${\displaystyle V(\bullet [i],A_{1},\dots ,A_{n-i})\ast V(\bullet [j],B_{1},\dots ,B_{n-j})=c_{i,j}V(\bullet [n-j-i],A_{1},\dots ,A_{n-i},B_{1},\dots ,B_{n-j}),}$$${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle i,j,n.}$

アレスカー・フーリエ変換は、アレスカーによって発見された複素数値の自然な -同変同型 であり、その名前の由来となっている古典的なフーリエ変換に似た多くの特性を備えています。 ${\displaystyle GL(V)}$$${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$

つまり、グレーディングを逆にして、積と畳み込みを絡み合わせます。${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$${\displaystyle \mathbb {F} (\phi \cdot \psi )=\mathbb {F} \phi \ast \mathbb {F} \psi .}$$

簡単にするためにユークリッド構造を固定して識別すると、次の恒等式が得られます。偶数値の場合、クレイン埋め込みの観点からフーリエ変換を簡単に記述できます。特に、実数値の偶数値は、フーリエ変換後も実数値のままです。 ${\displaystyle V=V^{*},}$ ${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}\phi (K)=\phi (-K).}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp }).}$

奇数値の場合、フーリエ変換の記述は実質的により複雑になります。偶数値の場合とは異なり、純粋に幾何学的な性質を持つものではなくなります。たとえば、実数値の奇数値の空間は保存されません。

線形写像が与えられた場合、プルバックとプッシュフォワードという誘導された操作があります。プルバックは 2 つのうちより単純で、次のように表されます。 明らかに、評価のパリティと同次性を維持します。が単射でない 場合、プルバックは滑らかさを維持しないことに注意してください。${\displaystyle f:U\to V,}$${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}.}$${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K)).}$${\displaystyle f}$

プッシュフォワードを形式的に定義するのは困難です。簡単にするために、および上のルベーグ測度を固定します。プッシュフォワードは、すべてのに対して形式の付値への作用を記述することによって一意に特徴付けることができ、その後 、既約定理を使用してすべての付値への連続性によって拡張されます。全射写像の場合、包含の場合、分割を選択します。 非公式には、プッシュフォワードは、アレスカー-ポアンカレペアリングに関してプルバックの双対です。およびに対して。ただし、この恒等式は、ペアリングが滑らかな付値に対してのみ明確に定義されているため、注意深く解釈する必要があります。詳細については、 ^[7]を 参照してください。${\displaystyle U}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A),}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U),}$${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)=\operatorname {vol} (\bullet +f(A)).}$$${\displaystyle f:U\hookrightarrow V,}$${\displaystyle V=U\oplus W.}$$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)(K)=\int _{W}\operatorname {vol} (K\cap (U+w)+A)dw.}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*},}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\phi ,\psi \rangle =\langle \phi ,f_{*}\psi \rangle .}$$

2006年に始まった一連の論文で、アレスカーは凸体上の付値理論を拡張した多様体上の付値理論の基礎を築いた。この拡張につながる重要な観察は、通常のサイクル( 1 )上の積分により、凸集合よりもはるかに一般的な集合上で滑らかな並進不変の付値を評価できるということである。また、( 1 )は、形式が並進不変であるという要件を削除し、並進不変ルベーグ測度を任意の滑らかな測度に置き換えることによって、一般的な滑らかな付値を定義することを示唆している。 ${\displaystyle \omega }$

をn次元の滑らかな多様体とし、を の共球面束、つまり余接束の有向射影化とします。を のコンパクトな微分可能多面体の集合とします。の外向き共法線からなる の 法線サイクルは、当然 次元のリプシッツ部分多様体です。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X),}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle n-1.}$

提示を簡単にするために、我々は が有向であると仮定するが、実際には滑らかな値の概念は有向性に依存しない。上の滑らかな値の空間は の形の 関数から成り、 ここでと は任意である。 の開部分集合上の滑らかな値は上のソフト層を形成することがアレスカーによって示された。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi :{\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \phi (A)=\int _{A}\mu +\int _{N(A)}\omega ,\qquad A\in {\mathcal {P}}(X),}$$${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

以下は滑らかな多様体上の滑らかな評価の例です。 ${\displaystyle X}$

• スムーズな対策${\displaystyle X.}$
• オイラー特性は、ガウス・ボネ定理に関するチャーン^[8]の研究から導かれ、オイラー特性を表すためにこのようなおよび が構築されました。特に、はチャーン・ガウス・ボネ積分関数であり、リーマン曲率テンソルのパフィアンです。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu }$
• がリーマンである場合、リプシッツ・キリング評価または固有体積は滑らかな評価です。がユークリッド空間への等長浸漬である場合、は上の通常の固有体積を表します（引き戻しの定義については以下を参照）。これらの評価の存在は、ワイルのチューブ公式の本質です。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• を複素射影空間とし、を固定次元のすべての複素射影部分空間のグラスマン多様体とすると、関数${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle k.}$

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{\mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$ここで積分はハール確率測度に関してなめらかな評価である。これはFuの研究から導かれる。^[10]${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} },}$

空間は一般に自然な段階分けを許さないが、標準的なフィルタリングを実行する。 ここでは、上の滑らかな測度で構成され、によって生成されるイデアルの形式で与えられる。は標準的な射影である。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)=W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots \supset W_{n}.}$$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle W_{j}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X),}$${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$

関連する次数付きベクトル空間は、点上のファイバーが接空間上の同次滑らかな並進不変値空間となるようなベクトル束を表す滑らかな切断空間と正準同型である。${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}C^{\infty }(X,\operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T_{x}X.}$

この空間は自然積を許容します。この積は連続、可換、結合的であり、濾過と互換性 があり、恒等元としてオイラー特性を持ちます。また、埋め込み部分多様体への制限と可換であり、微分同相群は代数自己同型によって作用します。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle W_{i}\cdot W_{j}\subset W_{i+j},}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

例えば、がリーマン分布である場合、リプシッツ・キリング評価は ${\displaystyle X}$$${\displaystyle V_{i}^{X}\cdot V_{j}^{X}=V_{i+j}^{X}.}$$

アレスカー-ポアンカレ双対性は依然として有効です。コンパクトの場合、ペアリングは非退化であると言えます。並進不変の場合と同様に、この双対性を使用して一般化された評価を定義できます。並進不変の場合とは異なり、多様体上の評価については連続的な評価の適切な定義は存在しません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$

評価値の積は、部分集合の交差の幾何学的操作を厳密に反映しています。非公式には、一般化された評価値を考えます。積は次のように与えられます。ここで、形式の一般化された評価値を平均化することで滑らかな評価値を得ることができます。より正確には、が十分に大きな測定された微分同相写像族である 場合、は滑らかな評価値です。次に、次 を見てください。^[11]${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet ).}$${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}.}$${\displaystyle \chi _{A},}$${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \int _{S}\chi _{s(A)}ds\cdot \int _{S'}\chi _{s'(B)}ds'=\int _{S\times S'}\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

滑らかな多様体の滑らかな浸漬はすべて、プルバック マップを誘導します。が埋め込みである場合、 プルバック はフィルターされた代数の射です。 滑らかな適切な浸漬はすべて、次のようにプッシュフォワード マップを定義します。 プッシュフォワードは 、 フィルターとも互換性があります。 一般的な滑らかなマップの場合、いくつかの制限の下で、一般化された評価に対してプルバックとプッシュフォワードを定義できます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X).}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle (f^{*}\phi )(A)=\phi (f(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(X).}$$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$$${\displaystyle (f_{*}\phi )(A)=\phi (f^{-1}(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(Y).}$$${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y).}$

をリーマン多様体とし、を球面束上で推移的に作用するの等長写像のリー群とします。これらの仮定の下で、上の - 不変な滑らかな値の空間は有限次元です。を基底とします。を の微分可能な多面体とします。すると、 の形式の積分は、 およびに独立な係数を持つの線形結合として表すことができます。${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle SM.}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$${\displaystyle c_{i}^{kl}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

このタイプの式は運動学的公式と呼ばれます。この一般性におけるその存在はフーによって証明されました。^{[10] 3つの単連結な実空間形式、つまり球面、ユークリッド空間、双曲空間については、}ブラシュケ、サンタロ、チャーン、 フェデラーに遡ります。

運動学的公式を明示的に記述することは、典型的には困難な問題である。実際、実空間形式から複素空間形式へのステップで既に相当な困難が生じており、これらは最近になってようやく Bernig、Fu、Solanes によって解決された。^{[12] [13]}この進歩の原因となった重要な洞察は、運動学的公式が不変値の代数と同じ情報を含んでいるということである 。正確な記述のために、 を 運動学的演算子、つまり運動学的公式 ( 2 ) によって決定されるマップとします。 を線形同型である Alesker-Poincaré 双対性を表すものとします。最後に、を積マップの随伴とします。積分幾何学への値の操作を関連付ける代数積分幾何学の基本定理は、 ポアンカレ双対性を使用して と同一視する場合、 と述べている。 ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle k_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$$$${\displaystyle \operatorname {pd} :{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$$${\displaystyle m_{G}^{*}}$$${\displaystyle m_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*},}$${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$

。

• ハドヴィガーの定理 – 積分幾何学における定理
• 積分幾何学 – その空間の対称群の下での幾何学的空間不変量上の測度の理論Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 混合ボリューム
• モジュラーセット関数 – マッピング関数Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 集合関数 – 集合から数値への関数
• 評価（測度論）  - 測度論または領域理論におけるマップPages displaying wikidata descriptions as a fallback