パウリ行列の一般化

数学と物理学、特に量子情報において、一般化パウリ行列という用語は、パウリ行列の（線形代数的）特性を一般化する行列の族を指します。ここでは、そのような行列のいくつかのクラスをまとめます。

パウリ行列を一般化するこの方法は、単一の2レベルシステム（量子ビット）から複数のそのようなシステムへの一般化を指します。特に、量子ビットのグループに対する一般化されたパウリ行列は、任意の量子ビット上のパウリ行列のすべての可能な積によって生成される行列の集合です。^[1]${\displaystyle N}$

単一量子ビットのベクトル空間は であり、量子ビットのベクトル空間は である。テンソル積表記法を使用する。 ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V_{N}=\left(\mathbb {C} ^{2}\right)^{\otimes N}\cong \mathbb {C} ^{2^{N}}}$

${\displaystyle \sigma _{a}^{(n)}=I^{(1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(n-1)}\otimes \sigma _{a}\otimes I^{(n+1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(N)},\qquad a=1,2,3}$

は、 番目の量子ビット上のパウリ行列として作用し、他のすべての量子ビット上の恒等行列として作用する、上の演算子を参照します。恒等行列には を使用することもできます。つまり、任意の に対してを使用します。すると、マルチ量子ビットのパウリ行列はすべて、次の形式の行列になります。 ${\displaystyle V_{N}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sigma _{0}^{(n)}=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$

${\displaystyle \sigma _{\,{\vec {a}}}:=\prod _{n=1}^{N}\sigma _{a_{n}}^{(n)}=\sigma _{a_{1}}\otimes \dotsm \otimes \sigma _{a_{N}},\qquad {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{N})\in \{0,1,2,3\}^{\times N}}$、

つまり、0 から 4 までの整数のベクトルです。したがって、単位行列を含める場合と含めない場合には、このような一般化されたパウリ行列が存在します。 ${\displaystyle {\vec {a}}}$${\displaystyle 4^{N}}$${\textstyle I=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$${\displaystyle 4^{N}-1}$

量子計算では、パウリ行列を大文字1文字で表記するのが慣例となっている。

${\displaystyle I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.}$

これにより、パウリ行列の添え字は量子ビットのインデックスを示すことができる。例えば、3量子ビットのシステムでは、

${\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}$

マルチ量子ビットのパウリ行列は、互いに素な量子ビット上の単一量子ビットのパウリ行列の積として表すことができます。あるいは、文脈から明らかな場合は、テンソル積の記号を省略することができます。つまり、連続して書かれた添え字なしのパウリ行列は、行列積ではなくテンソル積を表します。例: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}$

伝統的なパウリ行列は、スピン1/2粒子に対応するSU(2)の2次元既約表現におけるリー代数生成子、、の行列表現である。これらはリー群SU(2)を生成する。 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{y}}$${\displaystyle J_{z}}$

スピン の一般的な粒子の場合、代わりに次元の既約表現を利用します。 ${\displaystyle s=0,1/2,1,3/2,2,\ldots }$${\displaystyle 2s+1}$

パウリ行列を一般化するこの方法は、2 レベル システム (量子ビットに作用するパウリ行列) から 3 レベル システム (量子ビットに作用するゲルマン行列) および一般的なレベル システム (量子ビットに作用する一般化ゲルマン行列) への一般化を指します。 ${\displaystyle d}$

をjk番目の要素が 1、それ以外が 0 である行列とします。を固定して 、複素行列の空間 を考えます。 ${\displaystyle E_{jk}}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$${\displaystyle d}$

次の行列を定義する。

${\displaystyle f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}}$

上で定義した単位行列を除いた行列の集合は、次元の一般化ゲルマン行列と呼ばれます。^{[2] [3]}記号⊕（上記のカルタン部分代数で使用）は、行列の直和を意味します。 ${\displaystyle d}$

一般化されたゲルマン行列は、パウリ行列と同様に、構成上はエルミートかつトレースレスです。また、上のヒルベルト・シュミット 内積において直交していることも確認できます。次元数から、複素行列のベクトル空間 を張っていることがわかります。次に、 の基本表現に作用するリー代数生成基底を提供します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(d)}$

次元 = 2 および 3 では、上記の構成により、それぞれ パウリ行列とゲルマン行列が復元されます。${\displaystyle d}$

パウリ行列の特に注目すべき一般化は、1882年にジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって構築されました。 ^[4] これらは「ワイル・ハイゼンベルク行列」または「一般化パウリ行列」として知られています。^{[5] [6]}

パウリ行列とは次の条件を満たします。 ${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.}$

いわゆるウォルシュ・アダマール共役行列は

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

パウリ行列と同様に、はエルミートかつユニタリ行列であり、次の関係式を満たす 。${\displaystyle W}$${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

現在の目標は、上記をより高い次元に拡張することです。 ${\displaystyle d}$

前と同じように次元を固定します。 を1 の根とします。 および なので、すべての根の合計は無効になります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/d)}$${\displaystyle \omega ^{d}=1}$${\displaystyle \omega \neq 1}$

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

整数インデックスは mod d によって周期的に識別される可能性があります。

シルベスターの助けを借りて、シフト行列を定義する。

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

そして時計行列、

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

これらの行列はそれぞれ、およびを一般化します。${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$

2 つのパウリ行列のユニタリー性とトレースレス性は保持されますが、2 次元を超えるとエルミート性は保持されないことに注意してください。パウリ行列は四元数を記述するため、シルベスターは高次元の類似物を「ノニオン」、「セデニオン」などと名付けました。

これら2つの行列は、ヘルマン・ワイル によって定式化された有限次元ベクトル空間^{[7] [8] [9]}における量子力学ダイナミクスの基礎でもあり、数理物理学の多くの分野で日常的に応用されています。^[10] 時計行列は、時間の「時計」における位置の指数に相当し、シフト行列はその巡回ベクトル空間における移動演算子にすぎないため、運動量の指数になります。これらは、次元ヒルベルト空間上のワイル-ハイゼンベルク群の対応する要素の（有限次元の）表現です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

次の関係はパウリ行列の関係を反映し、一般化したものです。

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

そして編み込み関係、

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

CCRのワイル定式化であり、次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

一方、ウォルシュ・アダマール行列を一般化するには、 ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

再びシルベスターの指示に従って、次のアナログ行列を定義する。^[11]ここでも若干の表記法の乱用により、 ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

はもはやエルミートではないが、依然としてユニタリである ことは明らかである 。直接計算すると、${\displaystyle W}$

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

これは、望ましいアナログ結果です。したがって、ヴァンデルモンド行列 は、 の固有ベクトルを配列し、 と同じ固有値を持ちます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{3}}$

のとき、はまさに離散フーリエ変換行列となり、位置座標を運動量座標に変換し、その逆も行います。 ${\displaystyle d=2^{k}}$${\displaystyle W^{*}}$

ユニタリ（ただし非エルミート）独立行列の完全な族は次のように定義されます。 ${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle \{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}}$

これはシルベスターのよく知られたトレース直交基底であり、「非イオン」、「セデニオン」などとして知られる。^{[12] [13]}${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )}$

この基底は、上記のエルミート基底と体系的に結び付けることができます。^[14]（たとえば、カルタン部分代数 のべき乗は、 行列の線形結合にマッピングされます。）さらに、 を として、ポアソン括弧の代数 と同一視するために使用できます。 ${\displaystyle \Sigma _{3}}$${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$${\displaystyle d\to \infty }$

演算子上のヒルベルト・シュミット内積に関して、シルベスターの一般化されたパウリ演算子は直交し、 に正規化されます。 ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}}$。

これは上記の の定義から直接確認できます。 ${\displaystyle \sigma _{k,j}}$

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