シンプレクティック群

数学において、シンプレクティック群という名称は、正の整数nと体F (通常はCまたはR ) に対して $Sp(2 n, F)$ および $Sp(n)$ と表記される、2 つの異なるが密接に関連した数学的群の集合を指すことがあります。後者はコンパクトシンプレクティック群と呼ばれ、とも表記されます。多くの著者は、通常 $2$ 倍異なる、わずかに異なる表記を好みます。ここで使用する表記は、群を表す最も一般的な行列のサイズと一致しています。カルタンの単純リー代数の分類では、複素群 $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のリー代数は $C$ $n$ と表記され、 $Sp($ $n$ $) は$ $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のコンパクトな実数形式です。(コンパクト)シンプレクティック群について言及する場合、次元 $n$ でインデックス付けされた (コンパクト) シンプレクティック群の集合について話していることを意味します。 $\mathrm {USp} (n)$

「シンプレクティック群」という名前は、ヘルマン・ワイルによって、以前の紛らわしい名前である (線)複素群とアーベル線型群の代わりに作られたもので、「複素」のギリシャ語版です。

メタプレクティック群はR上のシンプレクティック群の二重被覆であり、他の局所体、有限体、アデール環上にも類似物がある。

$Sp(2n, F) の$

シンプレクティック群は、体 $F$ $上の2$ $n$ 次元ベクトル空間の非退化な歪対称双線型形式を保存する線型変換の集合として定義される古典的な群である。このようなベクトル空間はシンプレクティックベクトル空間と呼ばれ、抽象シンプレクティックベクトル空間 $V$ $のシンプレクティック群はSp($ $V$ $)$ と表記される。 $V$ の基底を固定すると、シンプレクティック群は、行列乗算の演算の下で、 $F$ の要素を持つ $2$ $n$ $\times 2$ $n$ シンプレクティック行列の群になる。この群は $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ または $Sp($ $n$ $,$ $F$ $)と表記される。双線型形式が$ 非特異歪対称行列Ωで表される場合、

\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},

ここでM ^{T は}Mの転置である。Ω は次のように定義されることが多い。

\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},

ここで、I _{n は}単位行列です。この場合、 $Sp(2 n, F) は$ 、次の3 つの方程式を満たすブロック行列として表すことができます。 $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$ $A,B,C,D\in M_{n\times n}(F)$

{\begin{aligned}-C^{\mathrm {T} }A+A^{\mathrm {T} }C&=0,\\-C^{\mathrm {T} }B+A^{\mathrm {T} }D&=I_{n},\\-D^{\mathrm {T} }B+B^{\mathrm {T} }D&=0.\end{aligned}}

すべてのシンプレクティック行列は行列式が $1$ なので、シンプレクティック群は特殊線型群 $SL(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ のサブグループです。 $n$ $= 1$ のとき、行列のシンプレクティック条件は、行列式が 1 の場合にのみ満たされ、 $Sp(2,$ $F$ $) = SL(2,$ $F$ $)$ となります。 $n$ $> 1$ の場合、追加の条件があり、つまり $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)は$ $SL(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の適切なサブグループになります。

通常、体 $F$ は実数 $R$ または複素数 $C$ の体です。これらの場合、 $Sp(2 n, F)はそれぞれ実次元$ $n$ $(2$ $n$ $+ 1)$ または複素次元の実リー群または複素リー群です。これらの群は連結していますが、コンパクトではありません。

$Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の中心は、体の特性が $2$ でない限り、行列 $I$ $2$ $n$ と $-$ $I$ $2$ $n$ から構成されます。^[1] $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ の中心は離散的であり、中心を法とするその商は単純群であるため、 $Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)は$ 単純リー群と見なされます。

対応するリー代数の実数階数、したがってリー群 $Sp(2 n, F)の実数階数は$ $n$ です。

$Sp(2$ $n$ $,$ $F$ $)$ のリー代数は集合

{\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n\times 2n}(F):\Omega X+X^{\mathrm {T} }\Omega =0\},

交換子をリー括弧として備えたものである。 ^[2] 標準的な歪対称双線型形式の場合、このリー代数は、条件 $\Omega =({\begin{smallmatrix}0&I\\-I&0\end{smallmatrix}})$ $({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}})$

{\begin{aligned}A&=-D^{\mathrm {T} },\\B&=B^{\mathrm {T} },\\C&=C^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}

$Sp(2n, C) の$

複素数体上のシンプレクティック群は、非コンパクトで単連結な単純リー群です。

$Sp(2n, R) の$

$Sp(n, C) は$ 実群 $Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)の$ 複素化である。Sp $(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ は実数で非コンパクトで連結な単純リー群である。^{[3]これは加法に関して}整数群と同型な基本群を持つ。単純リー群の実数形式として、そのリー代数は分割可能なリー代数である。

$Sp(2 n, R)$ のその他の性質:

リー代数 $sp$ $($ $2n$ $,$ $R$ $)$ から群 $Sp($ $2n$ $,$ $R$ $)への$ 指数写像は射影的ではない。しかし、群の任意の要素は2つの指数の積として表すことができる。^[4]言い換えれば、

\forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.

$Sp(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ 内のすべての $S$ について:

S=OZO'\quad {\text{such that}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{and}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.

行列

Dは

正定値かつ対角行列である。そのような

Z

の集合は

Sp(2 n, R)

の非コンパクト部分群を形成し、

U(n)は

コンパクト部分群を形成する。この分解は「オイラー」または「ブロッホ・メサイア」分解として知られている。^[5]シンプレクティック行列のさらなる特性についてはWikipediaのそのページを参照のこと。

リー群として、 $Sp(2 n, R)$ は多様体構造を持つ。Sp $(2$ $n$ $,$ $R$ $)$ の多様体は、ユニタリ群 $U($ $n$ $)と$ $n$ $($ $n$ $+1)$ 次元のベクトル空間との直積に微分同相である。^[6]

無限小ジェネレータ

$シンプレクティックリー代数sp (2n, F) の$ 要素はハミルトン行列である。

これらは行列であり、 $Q$

$Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}$

ここで、 $B$ と $C は$ 対称行列です。導出については古典群を参照してください。

シンプレクティック行列の例

$Sp(2, R) 、すなわち行列式が$ $1である$ $2\times2$ 行列の群に対して、3つのシンプレクティック $(0, 1)$ 行列は次のようになる: ^[7]

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

2n の R に対する 2 乗の積

は生成器を使ってかなり明示的に記述できることがわかります。対称行列をとすると、は次のように生成されます。ここで $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $\operatorname {Sym} (n)$ $n\times n$ $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$ $D(n)\cup N(n)\cup \{\Omega \},$

${\begin{aligned}D(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{bmatrix}}\,\right|\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )\right\}\\[6pt]N(n)&=\left\{\left.{\begin{bmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{bmatrix}}\,\right|\,B\in \operatorname {Sym} (n)\right\}\end{aligned}}$

^[8]^{pg 173}^[9]^{pg 2}のサブグループです。 $\operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )$

シンプレクティック幾何学との関係

シンプレクティック幾何学はシンプレクティック多様体に関する研究です。シンプレクティック多様体上の任意の点における接空間はシンプレクティックベクトル空間です。^[10]前述のように、シンプレクティックベクトル空間の構造保存変換は群を形成し、この群は空間の次元とそれが定義される体に依存して $Sp(2 n, F)です。$

シンプレクティックベクトル空間は、それ自体がシンプレクティック多様体です。したがって、シンプレクティック群の作用による変換は、ある意味では、シンプレクティック多様体上のより一般的な構造保存変換であるシンプレクト同相写像の線形化バージョンです。

$Sp(n) の$

コンパクトシンプレクティック群^[11] $Sp(n)は$ $Sp(2n, C)$ とユニタリ群の交差である。 $2n\times 2n$

\operatorname {Sp} (n):=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {U} (2n)=\operatorname {Sp} (2n;\mathbf {C} )\cap \operatorname {SU} (2n).

$USp(2 n)$ と書かれることもあります。あるいは、 $Sp(n) は、$ $H$ $n$ 上の標準エルミート形式を保存する $GL(n, H)$ (可逆な四元数行列)のサブグループとして記述することもできます。

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}.

つまり、 $Sp(n)$ はまさに四元数ユニタリ群 $U(n, H)$ である。^[12]実際、これはハイパーユニタリ群と呼ばれることもある。また、Sp(1)はノルム $1$ の四元数群で、 $SU(2)$ と同値であり、位相的には $3$ 球面 $S3 で$ ある。

$Sp(n) は$ 前の節の意味でのシンプレクティック群ではないことに注意してください。つまり、 $H$ $n$ 上の非退化歪対称 $H$ 双線型形式を保存しません。ゼロ形式以外にそのような形式は存在しません。むしろ、 $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のサブグループに同型であり、2 倍の次元のベクトル空間で複素シンプレクティック形式を保存します。以下で説明するように、 $Sp($ $n$ $)$ のリー代数は、複素シンプレクティックリー代数 $sp$ $(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のコンパクトな実数形式です。

$Sp(n)は実数次元$ $n (2n +1)$ の実リー群である。コンパクトかつ単連結である。^[13]

$Sp(n)$ のリー代数は、四元数歪エルミート行列、すなわち、次式を満たす $n 行n列の$ 四元数行列の集合によって与えられる。

A+A^{\dagger }=0

ここで、 $A †$ $はA$ の共役転置です（ここでは共役四元数を取ります）。リー括弧は交換子によって与えられます。

重要なサブグループ

主なサブグループは次のとおりです。

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)

\operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)

\operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)

逆に言えば、それ自体は他のいくつかのグループのサブグループです。

\operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)

\operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)

\operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)

リー代数の同型 $sp$ $(2)=$ $so$ $(5)$ と $sp$ $(1)=$ $so$ $(3)=$ $su$ $(2)$ も存在する。

シンプレクティック群の関係

すべての複素半単純リー代数には、分割実数形式とコンパクト実数形式があります。前者は後者の 2 つの複素化と呼ばれます。

$Sp(2 n, C)$ のリー代数は半単純で、 $sp$ $($ $2$ $n$ $,$ $C$ $)$ と表記されます。その分割実数形式は $sp (2 n, R)$ で、コンパクト実数形式は $sp (n)$ です。これらはそれぞれリー群 $Sp(2 n, R)$ と $Sp(n)$ に対応します。

$Sp (p, n - p)$ のリー代数である代数 $sp (p, n - p)$ は、コンパクト形式と同等の不定符号です。

物理的な重要性

古典力学

非コンパクトなシンプレクティック群 $Sp(2 n, R)$ は、古典物理学において、ポアソン括弧を保存する標準座標の対称性として登場します。

ハミルトン方程式に従って発展する $n$ 個の粒子のシステムを考えます。与えられた時間における位相空間の位置は、正準座標のベクトルで表されます。

\mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.

$Sp(2 n, R)$ 群の元は、ある意味では、このベクトル上の標準変換であり、つまり、ハミルトン方程式の形を保つ。^[14]^[15]

\mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }

は新しい標準座標であり、ドットは時間微分を表す。

{\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},

どこ

M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )

位相空間におけるすべての $t$ とすべての $z$ に対して。 ^[16]

リーマン多様体の特殊なケースでは、ハミルトン方程式はその多様体上の測地線を記述する。座標は基底多様体上に存在し、運動量は余接束に存在する。これが、これらが慣例的に上下の添え字で記述される理由であり、位置を区別するためである。対応するハミルトニアンは純粋に運動エネルギーから成り、となる。ここではリーマン多様体上の計量テンソルの逆である。 ^[17]^[15]実際、任意の滑らかな多様体の余接束は、標準的な方法でシンプレクティック構造を与えることができ、シンプレクティック形式はトートロジー 1 形式の外微分として定義される。^[18] $q^{i}$ $p_{i}$ $H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

量子力学

量子状態がその位置と運動量を符号化する $n$ 個の粒子のシステムを考えてみましょう。これらの座標は連続変数であるため、状態が存在するヒルベルト空間は無限次元です。このため、この状況の分析はしばしば困難になります。別のアプローチとして、位相空間におけるハイゼンベルク方程式の下での位置演算子と運動量演算子の発展を考慮する方法があります。

標準座標のベクトルを構築し、

\mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.

標準的な交換関係は次のように簡単に表現できる。

[\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega

どこ

\Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}

I $n は$ $n$ $\times n 単位$ 行列です。

多くの物理的状況では、2次ハミルトニアン、すなわち次の形式のハミルトニアンのみが必要となる。

{\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}}

ここで $K$ $は2 n \times 2 n$ の実対称行列である。これは有用な制約であり、ハイゼンベルク方程式を次のように書き直すことができる。

{\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}}

この方程式の解は、正準交換関係を保存する必要があります。このシステムの時間発展は、位相空間に対する実シンプレクティック群 Sp(2n, R) の作用と同等であることが示されます。

参照

注記

^ 「シンプレクティック群」、数学百科事典、 2014年12月13日閲覧。
^ ホール 2015 提案 3.25
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^ ホール 2015年 14ページ
^ ホール 2015 提案 13.12
^ Arnold 1989 は古典力学の広範な数学的概要を示しています。シンプレクティック多様体については第 8 章を参照してください。
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参考文献

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[1] 「シンプレクティック群」、数学百科事典、 2014年12月13日閲覧。

[2] ホール 2015 提案 3.25

[3] 「シンプレクティック群 Sp(2n, R) は単純か?」、Stack Exchange 2014 年 12 月 14 日閲覧。

[4] 「Sp(2n, R) の指数写像は全射か?」、Stack Exchange 2014 年 12 月 5 日に取得。

[5] 「局所操作によるマルチモードガウス状態の標準形式とエンタングルメントエンジニアリング - Serafini と Adesso」、2015 年 1 月 30 日閲覧。

[6] 「Symplectic Geometry – Arnol'd and Givental」、2015年1月30日閲覧。

[7] シンプレクティック群 (出典: Wolfram MathWorld )、2012 年 2 月 14 日ダウンロード

[8] ジェラルド・B・フォランド (2016)。位相空間における調和解析。プリンストン：プリンストン大学出版局。p. 173。ISBN 978-1-4008-8242-7. OCLC 945482850.

[9] ハーバーマン、カタリーナ、1966- (2006)。シンプレクティックディラック演算子入門。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-33421-7. OCLC 262692314.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)

[10] 「講義ノート – 講義 2: シンプレクティック削減」、2015 年 1 月 30 日閲覧。

[11] ホール 2015 セクション 1.2.8

[12] ホール 2015年 14ページ

[13] ホール 2015 提案 13.12

[14] Arnold 1989 は古典力学の広範な数学的概要を示しています。シンプレクティック多様体については第 8 章を参照してください。

[A&M-15] ラルフ・エイブラハムとジェロルド・E・マースデン、『力学の基礎』(1978年)ベンジャミン・カミングス、ロンドンISBN 0-8053-0102-X

[16] ゴールドスタイン 1980、セクション 9.3

[17] Jurgen Jost、(1992) Riemannian Geometry and Geometric Analysis、Springer。

[18] Silva, Ana Cannas (2008). シンプレクティック幾何学の講義. 数学の講義ノート. 第1764巻. ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. p. 9. doi :10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5。

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