量子の文脈性

量子コンテキスト性は量子力学の現象学の特徴であり、量子観測量の測定は単純に既存の値を明らかにするものと考えることはできません。現実的な隠れた変数理論でそうしようとすると、同時に測定される他の（互換性のある）観測量（測定コンテキスト）の選択に依存する値につながります。より正式には、量子観測量の測定結果（既存のものと想定）は、同じ測定セット内にある 他のどの可換観測量に依存します。

文脈性は、ベル・コッヘン・スペッカーの定理によって初めて量子現象論の特徴として実証されました。^{[1] [2]}文脈性の研究は、量子理論の非古典的かつ直感に反する側面を結晶化する現象であるため、量子基礎における主要な関心対象に発展しました。文脈性を研究し、より深く理解するために、層理論、^{[3] 、} グラフ理論、^{[4] 、} ハイパーグラフ、^[5] 、代数的位相幾何学、^[6]、確率的結合の観点から、多くの強力な数学的枠組みが開発されました。^[7]

ベルの定理の意味での非局所性は、測定コンテキストが空間的に分離された領域に分布する測定を含むという、より一般的な現象である文脈性の特殊なケースとして見ることができる。これはファイン定理に従う。^{[8] [3]}

量子コンテキスト性は、量子計算の高速化と量子コンピューティングにおける量子優位性の源泉として特定されている。^{[9] [10] [11] [12]}現代の研究では、計算リソースとしてのその有用性の探求にますます焦点が当てられている。

文脈性の必要性は1935年にグレーテ・ヘルマンによって非公式に議論されましたが^[13]、30年以上経ってサイモン・B・コッヘンとエルンスト・スペッカー、そしてジョン・ベルがそれぞれ、量子力学の現象を説明できるあらゆる現実的な隠れた変数理論はヒルベルト空間の次元が3以上のシステムに対して文脈的であるという証明を構築しました。コッヘン・スペッカーの定理は、現実的な非文脈的な隠れた変数理論では量子力学の経験的予測を再現できないことを証明しています。 ^[14]そのような理論は以下を前提とします。

1. すべての量子力学的観測可能値には、同時に明確な値が割り当てられる場合があります (これは実在論の仮定ですが、標準量子力学では誤りです。なぜなら、与えられた量子状態ごとに不確定な観測可能値が存在するためです)。これらのグローバルな値の割り当ては、何らかの「隠れた」古典的変数に決定論的に依存する可能性があり、その変数は (統計力学の場合のように) 何らかの古典的な理由により確率的に変化する可能性があります。したがって、観測可能な値の測定された割り当ては、最終的に確率的に変化する可能性があります。ただし、この確率性は認識論的であり、量子力学の標準的な定式化のようにオンティックではありません。
2. 値の割り当ては事前に存在し、標準的な量子力学では測定された観測量と可換であると説明される他の観測量の選択とは独立しており、それらも測定されます。
3. 互換性のある観測値の割り当てに関するいくつかの機能的制約が想定されます (たとえば、それらは加算的かつ乗算的ですが、この機能要件にはいくつかのバージョンがあります)。

さらに、コヘンとスペッカーは、このテーマに関する論文の中で、 2次元量子ビットの場合に明示的に非文脈的隠れ変数モデルを構築し、 ^[1]文脈的動作を示すことができる量子システムの次元性の特徴付けを完了しました。ベルの証明は、グリーソンの定理の弱いバージョンを引用し、定理を再解釈して、量子文脈性は2より大きいヒルベルト空間次元にのみ存在することを示しています。^[2]

サムソン・アブラムスキーとアダム・ブランデンブルガーによって提唱された文脈性に対する束理論的アプローチ、またはアブラムスキー・ブランデンブルガー的アプローチは理論に依存せず、量子論を超えて文脈で経験的データが生じるあらゆる状況に適用できる。量子論や他の物理理論で生じる文脈性の形態の研究に使用されるだけでなく、論理学[ ^15]、 [16] 、リレーショナルデータベース^[16]、^[17]、制約充足^{[18]における}形式的に同等の現象の研究にも使用されてきた。

本質的には、経験的データが局所的には一貫しているが、全体的には一貫性がない場合に文脈性が生じます。

このフレームワークは、文脈の質的な階層を自然に生み出します。

• （確率的）文脈性は、測定統計において、例えば不等式の違反によって証明されることがあります。代表的な例として、文脈性のKCBS証明があります。
• 論理的文脈性は、どの結果イベントが可能で、どの結果イベントが不可能であるかに関する「可能性」情報に表れる場合があります。代表的な例は、ハーディの非局所性証明です。
• 強い文脈性は、文脈性の最大の形式です。(確率的) 文脈性は、測定統計がグローバル値の割り当ての混合によって再現できない場合に発生しますが、強い文脈性は、グローバル値の割り当てが、起こり得る結果イベントと互換性がない場合に発生します。代表的な例は、文脈性の元の Kochen-Specker 証明です。

この階層の各レベルは、厳密に次のレベルを包含する。論理的文脈性クラスと強い文脈性クラスの中間に位置する重要な中間レベルは、全対無の文脈性であり、^[15]その代表的な例は、非局所性のグリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガー証明である。

アダン・カベロ、シモーネ・セヴェリーニ、アンドレアス・ウィンターは、さまざまな物理理論の文脈性を研究するための一般的なグラフ理論的枠組みを導入した。^[19]この枠組みでは、実験シナリオはグラフで記述され、これらのグラフの特定の不変量は特定の物理的重要性を持つことが示された。測定統計で文脈性を実証する方法の1つは、非文脈性不等式（一般化ベル不等式とも呼ばれる）の違反を通じてである。適切に正規化された特定の不等式に関して、実験シナリオのグラフの独立数、ロヴァース数、分数パッキング数は、それぞれ古典理論、量子理論、一般化確率理論がその種の実験で文脈性を示す可能性のある程度の厳密な上限を提供する。グラフではなくハイパーグラフに基づく、より洗練された枠組みも使用されている。 ^[5]

Ehtibar Dzhafarov、Janne Kujala、および同僚によって開発されたCbD アプローチ^{[20] [21] [22]では、(非) コンテキスト性は}ランダム変数の任意のシステムの特性として扱われ、 各ランダム変数 がそのコンテンツ(測定する特性) とコンテキスト(記録される状況の集合 (一緒に記録される他のランダム変数を含むが、これらに限定されない)) でラベル付けされる集合として定義され、 「で測定される」を表します。コンテキスト内の変数は共同分布していますが、異なるコンテキストの変数は確率的に無関係であり、異なるサンプル空間で定義されます。システムの(確率的) 結合は 、すべての変数が共同分布しており、任意のコンテキスト、 および が同一に分布している システムとして定義されます 。システムが非コンテキストであると判断されるのは、すべてのコンテキスト とコンテンツに対して 確率 が最大になり、となるような結合がある場合です。^二値（）確率変数  の重要な巡回システム（）については、そのようなシステムが非文脈的であるため ^には、${\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{R_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c,c\in C\right\}}$${\displaystyle R_{q}^{c}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle q\prec c}$${\displaystyle q}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle c}$${\displaystyle R^{c}=\left\{R_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c\right\}}$${\displaystyle S^{c}=\left\{S_{q}^{c}:q\in Q,q\prec c\right\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pr \left[S_{q}^{c}=S_{q}^{c'}\right]}$${\displaystyle c,c'}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\prec c,c'}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\left\{\left(R_{1}^{1},R_{2}^{1}\right),\left(R_{2}^{2},R_{3}^{2}\right),\ldots ,\left(R_{n}^{n},R_{1}^{n}\right)\right\}}$${\displaystyle n\geq 2}$

$${\displaystyle D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)\leq \Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right),}$$

どこ

$${\displaystyle \Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right)=\left(n-2\right)+\left|R_{1}^{1}-R_{1}^{n}\right|+\left|R_{2}^{1}-R_{2}^{2}\right|+\ldots \left|R_{n}^{n-1}-R_{n}^{n}\right|,}$$

そして

$${\displaystyle D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)=\max \left(\lambda _{1}\left\langle R_{1}^{1}R_{2}^{1}\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle R_{2}^{2}R_{3}^{2}\right\rangle +\ldots +\lambda _{n}\left\langle R_{n}^{n},R_{1}^{n}\right\rangle \right),}$$

最大値は、積が で あるすべてのものに対して取られます。 と が 、異なるコンテキストで同じコンテンツを測定し、常に同一に分布している場合、システムは一貫して接続されていると呼ばれます（「無撹乱」または「無信号」原理を満たします）。 特定の論理的問題を除いて、^{[7] [21]}この場合、CbD は量子物理学における文脈性の従来の処理に特化しています。 特に、一貫して接続されている巡回システムの場合、上記の非文脈性基準は に簡約され、これには Bell/CHSH 不等式 ( )、KCBS 不等式 ( )、およびその他の有名な不等式が含まれます。^[25]非局所性が文脈性の特殊なケースであることは、CbD では、ランダム変数に対して共分散であることは、1 つの同じランダム変数の測定可能な関数であることと同等であるという事実から生じます（これは、アーサー・ファインによるベルの定理 の分析を一般化したものです）。 CbD は、システムが強く一貫して接続されている、つまり、コンテキスト で と の結合分布 が測定される たびに一致する場合、本質的には Abramsky の層理論的アプローチの確率的部分と一致します。ただし、ほとんどのコンテキストアプローチとは異なり、CbD は、と が異なる分布を持つ、矛盾した接続性を許容します。これにより、CbD は、無擾乱条件が破られる物理実験^{[24] [26]}や、この条件が規則として破られる人間の行動^[27]に適用できます。特に、Vctor Cervantes、Ehtibar Dzhafarov、および同僚は、単純な意思決定の特定のパラダイムを記述するランダム変数がコンテキストシステムを形成することを実証しました^{[28] [29] [30]}一方、他の多くの意思決定システムは、その矛盾した接続性が適切に考慮されると非コンテキストになります。^[27]${\displaystyle \lambda _{i}=\pm 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle R_{q}^{c}}$${\displaystyle R_{q}^{c'}}$${\displaystyle D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)\leq n-2,}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n=5}$${\displaystyle \left\{R_{q_{1}}^{c},\ldots ,R_{q_{k}}^{c}\right\}}$${\displaystyle \left\{R_{q_{1}}^{c'},\ldots ,R_{q_{k}}^{c'}\right\}}$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$${\displaystyle c,c'}$${\displaystyle R_{q}^{c}}$${\displaystyle R_{q}^{c'}}$

ロバート・スペッケンズによる拡張された文脈性の概念は、操作的物理理論の一般的な枠組みの中で、準備と変換だけでなく測定にも適用されます。^[31]測定に関しては、文脈性の標準的な定義に存在する値の割り当ての決定論の仮定が取り除かれます。これにより、非局所性が文脈性の特別なケースであるという解釈が破られ、還元不可能なランダム性が非古典的なものとして扱われなくなります。それでも、結果の決定論が課せられると、通常の文脈性の概念が回復されます。

スペッケンスの文脈性は、ライプニッツの識別不能物の同一性の法則を用いて説明できる。この枠組みで物理系に適用された法則は、非文脈性の意図された定義を反映している。これはシモンズら^[32]によってさらに研究され、シモンズは文脈性の他の概念もライプニッツの原理によって説明でき、操作統計から存在論的結論を導き出すツールとして考えることができることを実証した。

純粋な量子状態 が与えられた場合、ボルンの法則によれば、測定で別の状態を得る確率は である。しかし、そのような数は完全な確率分布、すなわち、合計が 1 になる一連の相互に排他的なイベントの値を定義するものではない。そのような集合を得るには、コンテキスト、つまり可換演算子の完全な集合 (CSCO)、または同等に、合計が単位元になるN 個の直交射影子の集合を指定しなければならない。ここで、 はヒルベルト空間の次元である。すると、予想どおり となる。その意味で、コンテキストが指定されていない限り、状態ベクトルだけでは予測が不完全であると言える。 ^[33]指定されたコンテキスト内で によって定義される実際の物理的状態は、Auffèves と Grangier によってモダリティと呼ばれている^{[34] [35]。}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle \langle \phi _{n}|}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sum _{n}|\langle \phi _{n}|\psi \rangle |^{2}=1}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$

だけでは様相を定義しないことは明らかなので、 の状態はどうなるのでしょうか。 の場合、 は 、異なるコンテキストに属しながらも、異なる CSCO 観測量が交換可能でなくても、確実に相互に接続されている様相の同値クラスに関連付けられていることが容易にわかります。この同値クラスはエクストラバレンスクラスと呼ばれ、コンテキスト間の関連する確実性の転送はエクストラコンテキスト性と呼ばれます。簡単な例として、2 つのスピン 1/2 の通常のシングレット状態は、全スピンの測定 ( を使用)またはベル測定に関連付けられた (非交換) CSCO で見つかります。実際には、この状態は無限に多くの異なる CSCO に現れますが、明らかにすべての可能な CSCO に現れるわけではありません。^[36]${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle S=0,\;m=0}$

外価性と外文脈性の概念は、量子力学における文脈性の役割を説明するのに非常に有用である。文脈性とは、非文脈的ではない（古典物理学のように）が、完全に文脈的でもない。なぜなら、両立しない（非可換）文脈に属する様相は確実性と結び付けられる可能性があるからである。前提としての外文脈性から始めて、確実性が文脈間で転送され、その後、特定の投影に関連付けられるという事実は、グリーソンの定理の仮説のまさに基礎であり、したがってボルンの規則の基礎でもある。^{[37] [38]}また、状態ベクトルを外価クラスに関連付けると、実際に観測された物理的イベントまたは結果に対応する様相を接続する確率を計算するための数学的ツールとしてのその地位が明確になる。この観点は非常に有用であり、量子力学のあらゆる場所で使用できる。

量子システムのダイナミクスに現れる可能性のある文脈性の一形態は、シェーン・マンスフィールドとエルハム・カシェフィによって導入され、計算上の量子優位性と関係していることが示されている。^[39]変換に適用される文脈性の概念として、それはスペッケンズのそれと同等ではない。これまでに検討された例は、基礎的動機よりも計算的動機による追加のメモリ制約に依存している。文脈性は、同等の利点を得るためにランダウアー消去とトレードオフされる可能性がある。^[40]

コッヘン・スペッカーの定理は、量子力学が現実的な非文脈的隠れ変数モデルと両立しないことを証明している。一方、ベルの定理は、測定が別個の空間的に離れた場所で行われる実験において、量子力学が因数分解可能な隠れ変数モデルと両立しないことを証明している。アーサー・ファインは、有名なCHSH不等式と非局所性の証明が適用される実験シナリオでは、因数分解可能な隠れ変数モデルが存在するのは、非文脈的隠れ変数モデルが存在する場合のみであることを示した。^{[8]この同値性は、}サムソン・アブラムスキーおよびアダム・ブランデンブルガーによって、より一般的にあらゆる実験シナリオで成立することが証明された。 ^[3]この理由から、非局所性は文脈性の特殊なケースであると考えられる。

文脈性を定量化する方法は数多く存在する。一つの方法は、KCBS不等式、Yu-Oh不等式、^[41]、ベル不等式など、特定の非文脈性不等式がどの程度破られているかを測定することである。文脈性を測るより一般的な指標は文脈分数である。^[11]

各測定コンテキストの結合結果の確率分布からなる測定統計量eの集合が与えられた場合、 eを非コンテキスト部分e ^NCと残りの部分e'に因数分解することを検討することができる。

$${\displaystyle e=\lambda e^{NC}+(1-\lambda )e'\,.}$$

このような分解すべてにおける λ の最大値は、eの非文脈的割合NCF( e ) で表され、残りの CF( e )=(1-NCF( e )) はeの文脈的割合です。考え方としては、データの可能な限り大きな割合に対する非文脈的説明を探し、残ったものが還元不可能な文脈的部分であるというものです。実際、 λ を最大化する分解では、残ったe'は強く文脈的であることが分かっています。この文脈性の尺度は区間 [0,1] の値を取ります。0 は非文脈性、1 は強い文脈性に対応します。文脈的割合は線形計画法を使用して計算できます。

CF( e )は、 eが正規化された非文脈不等式に違反する範囲の上限であることも証明されています。 ^[11]ここで、正規化とは、違反が不等式の代数最大違反の割合として表現されることを意味します。さらに、λを最大化する双対線型計画は、この違反が達成される非文脈不等式を計算します。この意味で、文脈分数は、特定の1つの不等式に対して統計をチェックするのではなく、すべての可能な非文脈不等式を最適化するため、文脈のより中立的な尺度です。

文脈システムにおける文脈性の度合いを測る尺度は、CbDフレームワーク内でいくつか提案されているが^{[22]、そのうちの1つ、CNT} ₂のみが、非文脈システムにおける非文脈性の尺度であるNCNT ₂に自然に拡張できることが示されている。これは重要である。なぜなら、少なくともCbDの非物理的応用においては、文脈性と非文脈性は同等に興味深いからである。CNT ₂とNCNT ₂はどちらも、システムを表す確率ベクトルと、 同じ単一変数周辺を持つすべての可能な非文脈システムを表す非文脈性多面体の 表面との間の距離として定義される。^二値ランダム変数の巡回システムの場合、システムが文脈的である場合（すなわち、）、 ${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)>\Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right)}$

$${\displaystyle \mathrm {CNT} _{2}=D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)-\Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right),}$$

そしてそれが非文脈的である場合（）、 ${\displaystyle D\left({\mathcal {C}}_{n}\right)\leq \Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right)}$

$${\displaystyle \mathrm {NCNT} _{2}=\min \left(\Delta \left({\mathcal {C}}_{n}\right)-D\left({\mathcal {C}}_{n}\right),m\left({\mathcal {C}}_{n}\right)\right),}$$

ここで、はベクトルから 非文脈性多面体を囲むボックスの表面までの- 距離です。より一般的には、NCNT ₂と CNT _{2 は}線形計画法によって計算されます。^[22]同じことが、他の CbD ベースの文脈性の尺度にも当てはまります。そのうちの 1 つである CNT _3は、準結合の概念を使用します。これは、その値の結合分布の確率が任意の実数 (負でも合計が 1 になる) に置き換えられる点で結合とは異なります。 確率を最大化する準結合のクラスは 常に空ではなく、このクラスの符号付き測度の最小の総変動は、文脈性の自然な尺度です。^[43]${\displaystyle m\left({\mathcal {C}}_{n}\right)}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {P} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pr \left[S_{q}^{c}=S_{q}^{c'}\right]}$

最近、量子コンテキストは量子コンピューティングにおける量子優位性と計算速度向上の源として研究されています。

マジックステート蒸留は、それ自体はフォールトトレラントだが効率的に古典的にシミュレート可能なクリフォード演算子のみで構成された量子回路に、計算能力を普遍的なフォールトトレラント量子コンピューティングに高める特定の「マジック」ステートを注入する量子コンピューティングのスキームである。^[44] 2014年、マーク・ハワードらは、奇数素数次元の量子ビットと実波動関数を持つ量子ビットのマジックステートをコンテキスト性が特徴づけることを示した。^{[45]量子ビットの場合の拡張は、}フアニ・ベルメホ ・ベガらによって調査された。^[41]この研究ラインは、エルネスト・ガルバオによる以前の研究^{[40]に基づいており、}ウィグナー関数の負性が状態が「マジック」であるためには必要であることを示した。後に、ウィグナー負性とコンテキスト性は、ある意味で非古典性の概念と同等であることが明らかになった。^[46]

測定ベースの量子計算(MBQC) は、従来の制御コンピュータが、実行する測定を指定し、代わりに測定結果を受け取ることによって量子システムと対話する量子計算モデルです。量子システムの測定統計は、コンテキスト性を示す場合と示さない場合があります。さまざまな結果から、コンテキスト性の存在によって MBQC の計算能力が向上することがわかっています。

特に、研究者は、古典的な制御コンピュータの能力が線形ブール関数の計算、つまりパリティL複雑性クラス⊕Lの問題の解決のみに制限されている人工的な状況を検討しました。マルチ量子ビット量子システムとの相互作用の場合、相互作用の各ステップは、バイナリ結果を返す測定のバイナリ選択で構成されるというのが自然な仮定です。この制限された種類のMBQCは、l2 -MBQCとして知られています。^[47]

2009年、ジャネット・アンダースとダン・ブラウンは、非局所性と文脈性の2つの具体例が非線形関数を計算するのに十分であることを示した。これは、計算能力を汎用古典コンピュータの能力まで高め、複雑性クラスPの問題を解決するために使用できる。^[48]これは、測定ベースの古典計算と呼ばれることもある。^{[49]具体例では、}グリーンバーガー・ホーン・ツァイリンガーの非局所性証明と超量子ポペスク・ローリッヒボックス が利用された。

2013年、ロバート・ラウセンドルフは、より一般的には、l2 -MBQCが非線形関数を計算するためには、強い文脈的測定統計へのアクセスが必要かつ十分であることを示した。また、十分に高い確率で非線形ブール関数を計算するには文脈性が必要であることも示した。^[47]

2017 年には、サムソン・アブラムスキー、ルイ・ソアレス・バルボサ、シェーン・マンスフィールドによるこれらの結果のさらなる一般化と改良が行われ、任意の非線形関数の計算が成功する確率と、文脈分数で測定されるl2 -MBQC に存在する文脈性の度合いとの間に、正確で定量化可能な関係があることが証明されました。 ^[11]具体的には、成功確率、測定統計量eの文脈分数、計算される関数の非線形性の尺度がそれぞれ示されます。 $${\displaystyle (1-p_{s})\geq \left(1-CF(e)\right).\nu (f)}$$${\displaystyle p_{s},CF(e),\nu (f)\in [0,1]}$${\displaystyle f}$

• 上記の不等式は、非局所ゲームにおける量子優位性と、戦略に必要な文脈性の程度、およびゲームの難易度の適切な尺度とを関連付けることも示されている。^[11]
• 同様に、この不等式は、 l2 -MBQCに類似した量子計算の変換ベースのモデルでも発生し、量子システムのダイナミクスに存在する連続的な文脈性の度合いと、成功確率および目標関数の非線形性の度合いを関連付けます。^[39]
• 準備文脈性は、暗号ランダムアクセスコード^[50]や状態識別タスク^{[51]において量子優位性を可能にすることが示されている。}
• 量子システムの古典的なシミュレーションでは、文脈性はメモリコストを引き起こすことが示されている。^[52]

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