補数格子

順序理論という数学分野において、補元束とは、最小要素が0、最大要素が1である有界束であり、すべての要素aに対して補元、すなわちa ∨ b = 1かつa ∧ b = 0を満たす要素bが存在する束のことである。補元は一意である必要はない。        

相対的に補完された束とは、任意の区間[ c , d ] をそれ自体が有界束として見た場合、補完された束となるような束のことである。 

補元格子上の直交補元とは、順序を反転させ、各要素を補元に写像する対合のことである。弱い形式のモジュラー法則を満たす直交補元格子は、直交モジュラー格子と呼ばれる。

有界分配束では、補元は一意です。すべての補元付き分配束は一意の直交補元を持ち、実際にはブール代数です。

補元格子とは、最小要素が0、最大要素が1 である有界格子であり、すべての要素aには補元、すなわち、 を満たす要素bが存在する。

a ∨ b = 1かつa ∧ b = 0。        

一般に、要素は複数の補元を持つことができる。しかし、（有界な）分配束では、すべての要素は最大で 1 つの補元を持つ。^{[ 1 ]}すべての要素がちょうど 1 つの補元を持つ束は、一意に補元を持つ束と呼ばれる。 ^{[ 2 ]}

区間（部分格子とみなした場合）が全て補元となる性質を持つ格子を相対補元格子と呼ぶ。言い換えれば、相対補元格子は、区間 [ c , d ] の全ての要素aに対して、次の性質を持つ要素bが存在するという性質によって特徴づけられる。

a ∨ b = d およびa ∧ b = c。        

このような要素bは、区間aに関するaの補集合と呼ばれる。

分配束は、有界かつ相対的に補完されている場合に限り、補完的である。^{[ 3 ] [ 4 ]}ベクトル空間の部分空間の束は、一般に分配的ではない補完束の例を提供する。

有界束上の直交補元とは、各要素a を「直交補元」a ^⊥に写像する関数であり、以下の公理が満たされるものである。^{[ 5 ]}

補完法則

a ^⊥ ∨ a = 1 およびa ^⊥ ∧ a = 0。

退化法

a ^⊥⊥ = a。

順序を反転する

a ≤ bならばb ^⊥ ≤ a ^⊥。​

直交補元格子または直交格子とは、直交補元を備えた有界格子のことである。内積空間の部分空間の格子と直交補元演算は、一般に分配的ではない直交補元格子の例を提供する。^{[ 6 ]}

• 
  五角形格子N ₅では、右側のノードには 2 つの補数があります。
• 
  ダイヤモンド格子M3_は直交相補性を持たず。
• 
  格子M4_は3つの直交補空間を持つ。
• 
  六角形格子は一意の直交補空間を持つが、一意の補空間を持つわけではない。

ブール代数は直交補元束の特殊な場合であり、直交補元束は（追加構造を持つ）補元束の特殊な場合である。直交補元束は量子論理で最もよく用いられ、可分ヒルベルト空間の閉部分空間が量子命題を表し、直交補元束のように振る舞う。

直交補元格子は、ブール代数と同様に、ド・モルガンの法則を満たす。

• ( a ∨ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∧ b ^⊥
• ( a ∧ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∨ b ^⊥。

格子は、すべての要素a、b、cに対して含意が成り立つ場合にモジュラーと呼ばれます。

a ≤ c の場合、a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c

これは成り立つ。ただし、分配性よりも弱い。例えば、上に示した格子M ₃はモジュラーであるが、分配性はない。

量子論理の応用に必要な、直交補元格子に対するこの条件の自然な緩和は、b = a ^{⊥ の}特殊な場合のみにこの条件を要求することである。したがって、直交モジュラー格子は、任意の 2 つの要素に対して含意が成り立つような直交補元格子として定義される。

a ≤ c の場合、a ∨ ( a ^⊥ ∧ c ) = c

保持する。

この形式の束は、量子力学のヒルベルト空間定式化の公理化の一部であるため、量子論理の研究にとって極めて重要である。ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンは、量子論理における命題論理は、ブール束におけるand、or、notの役割に対応する集合積、線形和、直交補空間に関して、「ヒルベルト空間の線形部分空間の論理と形式的に区別できない」と指摘した。この指摘は、直交モジュラー束を形成するヒルベルト空間の閉部分空間への関心を掻き立てた。^{[ 7 ]}

• 擬似補数格子

• バーコフ、ギャレット（1961）。格子理論。アメリカ数学会。
• グレーツァー、ジョージ（1971）。格子理論：基本概念と分配格子。WHフリーマン社。ISBN 978-0-7167-0442-3。
• グレーツァー、ジョージ（1978）。一般格子理論。スイス、バーゼル：ビルクハウザー。ISBN 978-0-12-295750-5。
• ラザフォード、ダニエル・エドウィン（1965）。格子理論入門。オリバー・アンド・ボイド。

• 「補格子」。PlanetMath 。
• 「相対補数」。PlanetMath 。
• 「独自の補完格子」。PlanetMath 。
• 「直交補元格子」。PlanetMath 。