ボレルセット

数学において、位相空間のボレル集合は、その空間の「性質の良い」部分集合の特定のクラスである。例えば、実数の任意の部分集合はルベーグ可測でない可能性があるが、実数のボレル集合はすべて普遍的に可測である。どの集合がボレル集合であるかは、いくつかの同等な方法で指定できる。ボレル集合はエミール・ボレルにちなんで名付けられた。

最も一般的な定義は、位相空間の部分集合の集合であるσ代数の概念を経由する。${\displaystyle X}$空集合と全体集合の両方を含む${\displaystyle X}$、また可算和と可算補集合に関して閉じている。

すると、上のボレルσ代数を定義できる。${\displaystyle X}$すべての開集合を含む最小のσ代数である${\displaystyle X}$[ ^{a ]} ボレル部分^集合${\displaystyle X}$は、このσ代数の要素にすぎない。

ボレル集合は測度論において重要です。なぜなら、空間の開集合または閉集合上で定義された測度は、その空間のすべてのボレル集合上でも定義されなければならないからです。ボレル集合上で定義された測度は、ボレル測度と呼ばれます。ボレル集合および関連するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たします。

場合によっては、ボレル集合は開集合ではなく、位相空間のコンパクト集合によって生成されると定義される。この2つの定義は、すべてのハウスドルフσコンパクト空間を含む多くの良好な空間では同等であるが、より特殊な空間では異なる場合がある。

の場合${\displaystyle X}$は距離空間であり、第一の意味でのボレル代数は次のように生成的に記述できる。

コレクション用${\displaystyle T}$サブセットの${\displaystyle X}$（つまり、冪集合の任意の部分集合に対して）${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle (X)}$の${\displaystyle X}$）、 させて

• $\displaystyle T_{\sigma }}$要素の可算集合すべてである${\displaystyle T}$
• $\displaystyle T_{\delta }}$要素の可算な交差すべてである${\displaystyle T}$
• ${\displaystyle T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.}$

ここで、超限帰納法によって数列を定義する。${\displaystyle G^{m}}$、 どこ${\displaystyle m}$は、以下の方法で序数を表します。

• 定義の基本ケースでは、${\displaystyle G^{0}}$の開部分集合の集合である${\displaystyle X}$。
• もし${\displaystyle i}$が制限順序数でない場合、${\displaystyle i}$直前に序数がある${\displaystyle i-1}$。 させて$${\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.}$$
• もし${\displaystyle i}$制限順序数、セット$${\displaystyle G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.}$$

ボレル代数は${\displaystyle G^{\omega _{1}}}$、 どこ$\displaystyle {\omega _{1}}}$は最初の非可算順序数です。つまり、ボレル代数は、開集合のクラスから演算を繰り返すことによって 生成できます。$${\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma }}$$ 最初の不可算序数まで。

この主張を証明するために、距離空間内の任意の開集合は、増加列の閉集合の和集合である。特に、集合の補集合は写像する。${\displaystyle G^{m}}$任意の限界順序数に対してそれ自身に${\displaystyle m}$さらに、${\displaystyle m}$は不可算の限界順序数です。${\displaystyle G^{m}}$可算組合の下で閉鎖されています。

各ボレル集合について${\displaystyle B}$数えられる序数がある$\displaystyle \alpha _{B}}$そのため${\displaystyle B}$操作を繰り返すことで取得できます$\displaystyle \alpha _{B}}$しかし、${\displaystyle B}$ボレルセット全体で異なります。$\displaystyle \alpha _{B}}$は可算順序数全体で変化するため、すべてのボレル集合が得られる最初の順序数は$\displaystyle \omega _{1}}$、最初の不可算序数。

結果として得られる集合の列は、ボレル階層と呼ばれる。

させて${\displaystyle X}$位相空間である。ボレル空間は${\displaystyle X}$ペアは${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$、 どこ$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、ボレル集合のσ代数である。${\displaystyle X}$。

ジョージ・マッキーはボレル空間をやや異なる方法で定義し、「ボレル集合と呼ばれる部分集合の特別なσ-体を持つ集合」と記した。^{[ 1 ]}しかし、現代では特別な部分代数を可測集合と呼び、そのような空間を可測空間と呼ぶのが一般的である。この区別の理由は、ボレル集合は（位相空間の）開集合によって生成されるσ-代数であるのに対し、マッキーの定義は任意のσ-代数を備えた集合を指しているからである。基礎となる空間の位相の選択に関わらず、ボレル空間ではない可測空間が存在する。^{[ 2 ]}

可測空間は、射が可測空間間の可測関数であるような圏を形成する。${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$は、測定可能な集合を引き戻す場合、つまりすべての測定可能な集合に対して測定可能である。${\displaystyle B}$で${\displaystyle Y}$セット${\displaystyle f^{-1}(B)}$測定可能${\displaystyle X}$。

定理。${\displaystyle X}$ポーランド空間、すなわち、計量が存在するような位相空間である。${\displaystyle d}$の上${\displaystyle X}$トポロジーを定義する${\displaystyle X}$そしてそれは${\displaystyle X}$完全分離距離空間。${\displaystyle X}$ボレル空間は、

1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$、
2. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$、
3. 有限空間。

（この結果はマハラムの定理を彷彿とさせる。）

ボレル空間とみなされる実数直線${\displaystyle \mathbb {R} }$の結合${\displaystyle \mathbb {R} }$可算集合と、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$同型である。

標準ボレル空間は、ポーランド空間に関連付けられたボレル空間です。標準ボレル空間は、同型を除いて濃度によって特徴付けられ、^{[ 3 ]}任意の非可算標準ボレル空間は連続体の濃度を持ちます。

ポーランド空間の部分集合の場合、ボレル集合は、ポーランド空間上で定義された連続単射写像の像である集合として特徴づけられます。ただし、連続非単射写像の像はボレル集合にならない場合があることに注意してください。解析集合を参照してください。

標準ボレル空間上のすべての確率測度は、それを標準確率空間に変える。

ルシン^{[ 4 ]}による、 ボレル集合ではない実数の部分集合の例を以下に説明する。対照的に、選択公理などによってそのような集合の存在が示唆されるにもかかわらず、非可測集合の例を示すことはできない。

すべての無理数は、無限連分数による一意的な表現を持つ。

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}$

どこ${\displaystyle a_{0}}$は整数であり、他のすべての数値は${\displaystyle a_{k}}$は正の整数です。${\displaystyle A}$数列に対応するすべての無理数の集合とする${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots )}$以下の性質を持つ：無限部分列が存在する${\displaystyle (a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )}$各要素が次の要素の約数となるような集合。${\displaystyle A}$はボレル集合ではない。しかし、解析的である（すべてのボレル集合は解析的でもある）し、解析集合のクラスにおいて完全である。^{[ 5 ]}

ツェルメロ・フレンケル公理​​（ZF）は、${\displaystyle A}$ZF単独では証明できない${\displaystyle A}$ボレルではない。実際、ZFと一致する。${\displaystyle \mathbb {R} }$は可算集合の可算和集合であり、^{[ 6 ]}任意の部分集合は${\displaystyle \mathbb {R} }$ボレル集合である。

もう一つの非ボレル集合は逆像である。${\displaystyle f^{-1}[0]}$無限パリティ関数の${\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}$しかし、これは（選択公理による）存在証明であって、明示的な例ではない。

Paul Halmos氏によると[ ^{7 ] 、}局所的にコンパクトなハウスドルフ位相空間の部分集合は、すべてのコンパクト集合を含む最小のσ環に属する場合、ボレル集合と呼ばれる。

NorbergとVervaat ^{[ 8 ]}は位相空間のボレル代数を再定義した。${\displaystyle X}$として${\displaystyle \sigma }$-代数は、その開部分集合とコンパクトな飽和部分集合によって生成される。この定義は、次のような場合の応用に適している。${\displaystyle X}$ハウスドルフではない。これは、通常の定義と一致する。${\displaystyle X}$第二可算集合であるか、またはすべてのコンパクト飽和部分集合が閉じている場合（特に次の場合に該当します）${\displaystyle X}$（ハウスドルフです）。

• ボレル階層– 数学的論理階層 
• ボレル同型性
• ベールセット
• 円筒σ代数
• 記述集合論― 数理論理学の一分野 
• ポーランドの空間– トポロジーにおける概念 

• ウィリアム・アーヴェソン著、『C*-代数への招待』 、シュプリンガー・フェルラーク、1981年。（ポーランド位相に関する優れた解説については、第3章を参照のこと）
• リチャード・ダドリー著『実解析と確率論』ワズワース・ブルックス・アンド・コール社、1989年
• ハルモス、ポール R. (1950)。測定理論。 D. ヴァン ノストランド社 特に第51節「ボレル集合とベール集合」を参照のこと。
• ハルゼー・ロイデン著『実解析』プレンティス・ホール、1988年
• Alexander S. Kechris、『古典的記述集合論』、Springer-Verlag、1995年（大学院数学テキスト、第156巻）

• 「ボレル集合」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ミザール体系におけるボレル集合の正式な定義、およびそれに関して正式に証明された定理のリストは、 2020年6月1日にWayback Machineにアーカイブされました。
• ワイススタイン、エリック・W. 「ボレル集合」 . MathWorld .