HPO形式

履歴射影演算子(HPO) 形式論は、クリス・アイシャムによって開発された時間 量子論理へのアプローチです。これは、異なる時点で主張された 量子力学的命題の論理構造を扱います。

標準的な量子力学では、物理系はヒルベルト空間 に関連付けられます。固定された時間における系の状態は空間内の正規化されたベクトルで表され、物理的観測量は上のエルミート演算子で表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

固定された時間におけるシステムに関する物理的な命題は、 （量子論理を参照）上の直交射影演算子によって表すことができます。この表現は、論理命題の格子内の格子演算とヒルベルト空間上の射影演算子の格子を結び付けます（量子論理を参照）。 ${\displaystyle \,P}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

HPO 形式主義は、複数の時間に関係するシステムに関する命題へのこれらのアイデアの自然な拡張です。

同質的な歴史命題は 、異なる時間に指定された単一時間命題の列である。これらの時間は、歴史の時間的サポートと呼ばれる。命題を と表記し、次のように読む。 ${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

「その時は真であり、その時は真であり、その時は真であり」 ${\displaystyle \alpha _{t_{1}}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \alpha _{t_{2}}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle \ldots }$${\displaystyle \alpha _{t_{n}}}$${\displaystyle t_{n}}$

すべての歴史命題が、異なる時点における単一時点命題のシーケンスによって表現できるわけではありません。これらは、非同質歴史命題と呼ばれます。例としては、 2 つの同質歴史に対する命題OR があります。 ${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

HPO 形式の主要な観察は、履歴命題を履歴ヒルベルト空間上の射影演算子によって表現することです。これが、「履歴射影演算子」(HPO) という名前の由来です。

同次履歴の場合、テンソル積を使って射影子を定義すること ができる。${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}}$

ここで、 はにおける射影演算子であり、時刻 における命題を表します。 ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{t_{i}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \alpha _{t_{i}}}$${\displaystyle t_{i}}$

これはテンソル積「歴史ヒルベルト空間」上の射影演算子である。${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle H={\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}}$

上のすべての射影演算子が、形式のテンソル積の和として記述できるわけではありません。これらの他の射影演算子は、同次履歴に格子演算を適用することによって、非同次履歴を表すために使用されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

歴史命題を歴史ヒルベルト空間上の射影子で表現すると、歴史命題の論理構造が自然にエンコードされます。歴史ヒルベルト空間上の射影演算の集合に対する格子演算は、歴史命題に対する論理演算の格子をモデル化するために適用できます。 ${\displaystyle H}$

2 つの同質の履歴とが同じ時間的サポートを共有していない場合は、同じ時間的サポートを共有するように変更できます。がの時間的サポート内にあるが(たとえば)はない場合、各時点で「常に真」の命題を含めることによってとは異なる新しい同質の履歴命題を形成できます。 このように、 の時間的サポートは常に結合できます。したがって、すべての同質の履歴が同じ時間的サポートを共有すると想定します。 ${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,t_{i}}$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle \,t_{i}}$${\displaystyle \,\alpha ,\beta }$

ここで、同次歴史命題とに対する論理演算を提示し、${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$${\displaystyle {\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}}$

とが2つの同次履歴である場合、履歴命題「と」も同次履歴である。これは射影演算子で表される。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$ ${\displaystyle (={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})}$

とが2つの同次履歴である場合、履歴命題「または」は一般に同次履歴ではない。これは射影演算子によって表される。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \,\alpha }$${\displaystyle \,\beta }$

${\displaystyle {\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}}$

射影演算子の格子における否定演算は、 ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle \neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}}$

ここで はヒルベルト空間上の恒等演算子である。したがって、命題（すなわち「ない」）を表すために使用される射影子は ${\displaystyle \mathbb {I} }$${\displaystyle \neg \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.}$

例として、2時間同次歴史命題の否定を考えてみましょう。この命題を 表す射影子は${\displaystyle \,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})}$${\displaystyle \neg \alpha }$

${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$ ${\displaystyle =(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$

この表現に出てくる用語:

• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$
• ${\displaystyle (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})}$。

それぞれ次のように解釈できます。

• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$は偽であり、は真である${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$は真実であり、は偽である${\displaystyle \,\alpha _{2}}$
• どちらも偽であり、偽である${\displaystyle \,\alpha _{1}}$${\displaystyle \,\alpha _{2}}$

OR 演算で結合されたこれら 3 つの同種の履歴には、命題「and then 」が偽になる可能性がすべて含まれています。したがって、 の定義は命題が意味する内容と一致していることがわかります。 ${\displaystyle \,\alpha _{1}}$${\displaystyle \,\alpha _{2}}$${\displaystyle {\widehat {\neg \alpha }}}$${\displaystyle \neg \alpha }$

• CJ イシャム、「量子論理と量子理論への歴史アプローチ」、J. Math. Phys. 35 (1994) 2157–2185、arXiv:gr-qc/9308006v1