生まれながらのルール

ボルンの規則は量子力学の公準であり、量子系の測定によって特定の結果が得られる確率を示します。よく用いられる応用例では、特定の位置で粒子が見つかる確率密度は、その位置における系の波動関数の振幅の二乗に比例すると述べています。これはドイツの物理学者マックス・ボルンによって1926年7月に定式化され、発表されました。^{[ 1 ]}

ボルンの規則は、正規化された波動関数を持つシステムで測定された観測量が${\displaystyle |\psi \rangle }$（ブラケット記法を参照）は自己共役演算子に対応する${\displaystyle A}$スペクトルが離散的であるのは、以下の条件を満たす場合である。

• 測定結果は固有値のいずれかになります${\displaystyle \lambda }$の${\displaystyle A}$、 そして
• 特定の固有値を測定する確率$\displaystyle \lambda _{i}}$等しくなります${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$、 どこ${\displaystyle P_{i}}$は、の固有空間への射影である。${\displaystyle A}$対応する$\displaystyle \lambda _{i}}$。

（固有空間が${\displaystyle A}$対応する$\displaystyle \lambda _{i}}$は一次元であり、正規化された固有ベクトルによって張られる。${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$、${\displaystyle P_{i}}$に等しい${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$確率は${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$に等しい${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$複素数​${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$状態ベクトルが${\displaystyle |\psi \rangle }$固有ベクトルに割り当てます${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ボルンの規則は、確率が振幅の二乗（実際には振幅とその複素共役の積）に等しいと説明されるのが一般的です。言い換えれば、確率は次のように表すことができます。$\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$）

スペクトルが${\displaystyle A}$は完全に離散的ではないが、スペクトル定理は特定の射影値測度（PVM）の存在を証明する。${\displaystyle Q}$スペクトル測定${\displaystyle A}$。 この場合：

• 測定結果が測定可能な集合に含まれる確率${\displaystyle M}$は${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$。

例えば、単一の構造のない粒子は波動関数によって記述することができる。${\displaystyle \psi }$それは位置座標に依存します${\displaystyle (x,y,z)}$そして時間座標${\displaystyle t}$ボルンの規則は、確率密度関数が${\displaystyle p}$時刻における粒子の位置の測定結果$t0$は： $${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$$ ボルンの法則は、運動量、エネルギー、角運動量などの他の観測量についても、確率（離散的な結果の集合を持つ測定の場合）または確率密度（連続値の測定の場合）を計算するためにも使用できます。

いくつかの応用では、このボルン規則の扱いは、正値演算子値測度 (POVM)を使用して一般化されます。POVM は、ヒルベルト空間上の正半定値演算子の値をとる測度です。POVM はフォン ノイマン測定の一般化であり、同様に、POVM で記述される量子測定は、自己共役観測量で記述される量子測定の一般化です。大まかな類推では、POVM は PVM に対して、混合状態が純粋状態に対して持つ関係に相当します。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を指定するために必要です (量子状態の精製を参照)。同様に、POVM は、より大きなシステムに対して実行される射影測定がサブシステムに及ぼす影響を記述するために必要です。POVM は量子力学で最も一般的な種類の測定であり、量子場理論でも使用できます。^{[ 2 ]}量子情報の分野で広く使用されています。

有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMの最も単純なケースでは、POVMは正半定値行列の集合である。${\displaystyle \{F_{i}\}}$ヒルベルト空間上$\displaystyle {\mathcal {H}}}$合計すると単位行列になる: ^{[ 3 ] : 90}$$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$$

POVM要素${\displaystyle F_{i}}$測定結果に関連している${\displaystyle i}$量子状態の測定を行った際にそれが得られる確率は${\displaystyle \rho }$次のように与えられます。

$${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$$

どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$はトレース演算子です。これは、ボルン規則のPOVM版です。測定対象の量子状態が純粋状態である場合${\displaystyle |\psi \rangle }$この式は以下のように簡略化されます。 $${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$$

ボルンの規則と時間発展演算子のユニタリ性${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$（あるいは同等に、ハミルトニアン${\displaystyle {\hat {H}}}$がエルミートであることは、理論のユニタリ性を意味する。すなわち、ユニタリ演算子によって時間発展した波動関数は、適切に正規化されたままとなる。（密度行列の時間発展を考えるより一般的な場合、時間発展がトレース保存かつ完全正の写像であることを要求することで、適切な正規化が保証される。）

ボルンの規則は、1926年の論文でボルンによって定式化されました。^{[ 4 ]}この論文で、ボルンは散乱問題に対するシュレーディンガー方程式を解き、アルバート・アインシュタインと光電効果に対するアインシュタインの確率規則に触発されて、^{[ 5 ]}脚注で、ボルンの規則が解の唯一の可能な解釈を与えると結論付けています。（論文の本文では振幅が「確率を与える」[ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ] と述べられていますが、証明で追加された脚注では、確率はその大きさの二乗に比例すると述べられています。）1954年、ボルンはヴァルター・ボーテとともに、この研究やその他の業績によりノーベル物理学賞を受賞しました。 ^{[ 5 ]}ジョン・フォン・ノイマンは、 1932年の著書でボルンの規則へのスペクトル理論の適用について論じています。 ^{[ 6 ]}