ベラフキン方程式

量子確率論において、ベラフキン方程式は、ベラフキン-シュレーディンガー方程式、量子フィルタリング方程式、確率的マスター方程式とも呼ばれ、連続時間で観測される量子システムのダイナミクスを記述する量子確率微分方程式です。これは1988年にヴィアチェスラフ・ベラフキンによって導出され、その後研究されました。^{[1] [2] [3]}

相互作用のない閉じたシステムの波動関数の決定論的な進化を記述するシュレーディンガー方程式とは異なり、ベラフキン方程式は、観測者と相互作用する開いた量子システムのランダムな波動関数の確率的な進化を記述します。 ${\displaystyle \psi (t)}$${\displaystyle \psi (t,\omega )}$

ここで、は外部場に結合されたシステムの自己随伴演算子（または演算子の列ベクトル）、はハミルトニアン、は虚数単位、はプランク定数、は入力確率測度 に関して独立した増分を持つマルチンゲールである測定ノイズを表す確率過程です。このノイズは、出力イノベーションプロセス（観測）を表す出力確率測度 に関して従属増分を持つことに注意してください。 の場合、方程式は標準シュレーディンガー方程式になります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle H}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}dy(r)}$${\displaystyle P(0,d\omega )=\|\psi (0,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$${\displaystyle P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$${\displaystyle L=0}$

確率過程は、2 つの基本的なタイプが混在している可能性があります。ポアソン(またはジャンプ) タイプでは、 は計数観測に対応するポアソン過程であり、ブラウン(または拡散) タイプでは、 は連続観測に対応する標準ウィーナー過程です。拡散タイプの方程式は、ジャンプの期待率が無限大まで増加するジャンプ タイプ方程式の中心極限として導出できます。 ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y(t)\simeq n(t)-t}$${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle y(t)\simeq w(t)}$${\displaystyle w(t)}$

ランダム波動関数は平均二乗の意味でのみ正規化されるが、一般に各 について正規化されない。各 について を正規化すると、ランダム事後状態ベクトルが得られ、その発展は事後ベラフキン方程式によって記述される。この方程式は非線形である。これは、正規化により演算子およびが に依存するためである。事後方程式の確率過程は、出力確率測度 に関して独立した増分を持つが、入力測度に関しては独立に増分を持たない。ベラフキンは、正規化されていない密度演算子 の線形方程式と、正規化されたランダム事後密度演算子 の対応する非線形方程式も導出した。2 種類の測定ノイズについて、これにより 8 つの基本的な量子確率微分方程式が得られる。方程式の一般形には、あらゆる種類のノイズと、フォック空間におけるそれらの表現が含まれる。^{[4] [5]}${\displaystyle \psi (t,\omega )}$${\displaystyle \int \|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )=\|\psi _{0}\|=1}$${\displaystyle \psi (t,\omega )}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \psi (t,\omega )}$${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$${\displaystyle L}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$

拡散型の事後Belavkin方程式の特殊なケースである自由粒子の位置の観測を記述する非線形方程式もDiosi ^{[6]によって得られ、Gisin [7]} 、 Ghirardi、Pearle、Rimini ^[8]の著作にも登場しているが、動機や解釈はかなり異なっている。事後密度演算子に対する同様の非線形方程式は、量子光学と量子軌道理論^[9]で（導出はないが）仮定されており、そこでは確率的マスター方程式と呼ばれている。ランダム密度演算子に対する方程式をすべてのランダム軌道にわたって平均化すると、決定論的なLindblad方程式^[10]が得られる。 ${\displaystyle \rho (t,\omega )}$${\displaystyle \omega}$

事後状態に対する非線形ベラフキン方程式は、古典確率におけるストラトノビッチ・クシュナー方程式と同じ役割を果たし、線形方程式はザカイ方程式に対応する。^[11] ベラフキン方程式は、最初は純粋状態であったものが混合事後状態へと連続時間デコヒーレンスすることを記述し、観測や測定による波動関数の崩壊のダイナミクスを厳密に記述する。^{[12] [13] [14]}${\displaystyle \rho (0)=\psi _{0}\psi _{0}^{\ast}}$${\displaystyle \rho (t)=\int \varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )P(t,d\omega )}$

非可換性は、量子観測量の一般的なペアに対する条件付き期待値が存在しないため、量子確率微分方程式の確率的解釈にとって大きな課題となる。Belavkin は、誤差と摂動の不確定性関係を発見し、量子測定の非破壊原理を定式化することでこの問題を解決した。^{[13] [15]} 特に、確率過程が精度係数 を持つノイズの多い観測演算子 の誤差（拡散の場合はホワイトノイズ）に対応する場合、間接観測は、誤差 と交換しない強度 の別のホワイトノイズであるランジュバン力と呼ばれる確率力 によってシステムのダイナミクスを摂動させる。このような摂動の結果、出力過程は可換 となり、したがって古典的な観測に対応するが、システム演算子は非破壊条件を満たす。つまり、すべての将来の観測量は過去の観測量と交換する必要がある（ただし、将来の観測量とは交換しない）：すべて に対して となる（ただし は除く）。と別の演算子の交換はとの交換を意味しないので、未来観測量の代数は依然として非可換であることに注意してください。非破壊条件は条件付き期待値の存在に必要かつ十分であり、量子フィルタリングを可能にします。^[16]${\displaystyle dy(t)}$${\displaystyle e(t)dt=dw}$${\displaystyle Y(t)=X(t)+e(t)}$${\displaystyle X(t)=\lambda [L(t)+L^{\ast }(t)]}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle (\hbar \lambda )^{2}}$${\displaystyle e(t)}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle [Y(s),Y(t)]=0}$${\displaystyle \int _{0}^{t}Y(r)dr}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [X(s),Y(t)]=0}$${\displaystyle s\geq t}$${\displaystyle s<t}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle Z(s)}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle Z(s)}$${\displaystyle \mathbb {E} \{X(s)\mid Y(t)\}}$

を、ほぼどこでも前方増分があり、そうでない場合は という特性を持つポアソン過程とします。イベントの期待数は で、 はジャンプの期待率です。次に、を確率過程に代入すると、計数観測を受ける非正規化ランダム波動関数の線形ベラフキン方程式が得られます。 を代入すると、 は崩壊演算子、 はエネルギー演算子であり、この方程式は次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle dn(t)=0}$${\displaystyle dn(t)=1}$${\displaystyle (dn)^{2}=dn}$${\displaystyle \mathbb {E} \{n(t)\}=\nu t}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle m(t)={\frac {n(t)-\nu t}{\sqrt {\nu }}}}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle \psi (t,\omega )}$${\displaystyle L={\sqrt {\nu }}(C-I)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })}$${\displaystyle E}$

正規化された波動関数は事後状態ベクトルと呼ばれ、その発展は次の非線形方程式で記述される。 ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$

ここで期待値は である。事後方程式は標準形式で書くことができる。 ${\displaystyle {\tilde {n}}(t)}$${\displaystyle \mathbb {E} \{{\tilde {n}}(t)\}=\nu \|C\varphi \|^{2}t}$

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {m}}}$

、、およびである。正規化されていないランダム密度演算子と正規化されたランダム事後密度演算子に対応する式は以下のとおりである。 ${\displaystyle {\tilde {L}}={\sqrt {\nu }}(C-\|C\varphi \|)}$${\displaystyle {\tilde {H}}=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })\|C\varphi \|}$${\displaystyle {\tilde {m}}(t)={\frac {{\tilde {n}}(t)-\nu \|C\varphi \|^{2}t}{{\sqrt {\nu }}\|C\varphi \|}}}$${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$

ここで、後者の式は非線形であることに注意してください。 ${\displaystyle G={\frac {\nu }{2}}C^{\ast }C+{\frac {i}{\hbar }}E}$

前の節で定義した確率過程 は、前向き増分 を持ち、に近づく。したがって、は入力確率測度に関して標準的なウィーナー過程となる。を に代入すると、連続観測を受ける正規化されていないランダム波動関数の線形ベラフキン方程式が得られる。出力過程は、増分 を持つ拡散イノベーション過程となる。事後状態ベクトル の拡散型の非線形ベラフキン方程式は、 ${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle (dm)^{2}=\nu ^{-1/2}dm+dt}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \nu \to \infty }$${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle w(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle \psi (t,\omega )}$${\displaystyle {\tilde {m}}(t)}$${\displaystyle {\tilde {w}}(t)}$${\displaystyle d{\tilde {w}}(t,\omega )=dw(t,\omega )-2\mathrm {Re} \langle \varphi (t,\omega )\mid L\varphi (t,\omega )\rangle dt}$${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$

およびである。正規化されていないランダム密度演算子と正規化されたランダム事後密度演算子に対応する式は以下のとおりである。 ${\displaystyle {\tilde {L}}=L-\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle }$${\displaystyle {\tilde {H}}=H+i\hbar {\frac {1}{2}}(L-L^{\ast })\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle }$${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$

ここで、2番目の方程式は正規化により非線形である。なぜなら、これらの確率方程式を平均すると、リンドブラッド方程式が得られるからである。${\displaystyle K={\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H}$${\displaystyle \mathbb {E} \{dw(t)\}=0}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-[K\rho +\rho K^{\ast }]+L\rho L^{\ast }}$

質量 の自由粒子を考えてみましょう。位置と運動量の観測量は、それぞれとの乗算演算子に対応します。Belavkin方程式に次の代入を行うと、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {p}}=(\hbar /i)d/dx}$

${\displaystyle L={\hat {x}},\qquad H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}}$

事後確率方程式は

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\right)\varphi dt+{\Bigl (}{\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle {\Bigr )}\varphi [dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt]}$

ここで、は の事後期待値である。フィルタリング理論ではなく自発的崩壊理論に動機づけられたこの方程式は、Diosi ^[17]によっても得られ、測定ノイズが標準ウィーナー過程の増分であることを示す。この方程式には閉じた形の解^[18] と、線形または二次ポテンシャル内の粒​​子の方程式が存在する。 ^{[1] [3] [19]} ガウス初期状態の場合、これらの解は最適な量子線形フィルタに対応する。^[15] Belavkin 方程式の解は、極限で波動関数が有限分散を持つことを示しており^[20] 、したがって量子ゼノン効果を解決する。^[11]${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle (t)=\mathrm {Tr} \left\{{\hat {x}}\rho (t)\right\}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt}$${\displaystyle d\xi }$${\displaystyle \psi _{0}}$${\displaystyle t\to \infty }$