含意の単調性

含意の単調性は多くの論理体系の特性であり、ある文が与えられた文の集合から演繹的に導かれる場合、その文はそれらの文の任意の上位集合からも演繹的に導かれる。従って、与えられた議論が演繹的に有効であれば、追加の前提を追加しても無効になることはない。^{[1] [2]}

この特性を持つ論理体系は、非単調論理と区別するために単調論理と呼ばれます。古典論理と直観主義論理は単調論理の例です。

単調性は、正式には弱化または場合によっては間引き と呼ばれる規則として表現されます。システムが単調であるのは、規則が許容される場合のみです。弱化規則は、自然演繹の順序として表現できます。

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash C}{\Gamma ,A\vdash C}}}$

これは、一連の仮定に基づいてC を証明できる場合、仮定 A を追加することで、依然として C を証明できる と言っていると解釈できます。${\displaystyle \ガンマ}$

次の議論は有効です。「すべての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。したがって、ソクラテスは死ぬ。」これは前提を追加することで弱めることができます。「すべての人間は死ぬ。ソクラテスは人間である。牛は乳を生産する。したがって、ソクラテスは死ぬ。」単調性の性質により、前提が結論とは無関係であっても、前提を追加しても議論は有効のままです。

ほとんどの論理では、弱化は推論規則か、明示的な規則がない場合には メタ定理のいずれかです。注目すべき例外は次のとおりです。

• 関連性ロジックでは、すべての前提が結論に必要となります。
• 線形論理。含意の単調性とべき等性が欠けています。

• 収縮
• 交換ルール
• サブ構造の論理
• クローン不可定理

ヘッドマン、ショーン（2004）。『論理学入門』オックスフォード大学出版局。

チズウェル、イアン、ホッジス、ウィルフリッド (2007)。『数学論理学』オックスフォード大学出版局。