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準集合論は、互いに区別がつかないものも含む、オブジェクトの集合を扱うための形式的な数学理論である。準集合論は主に、量子物理学で扱われる特定のオブジェクトは区別がつかず、個性を持たないという仮定に基づいている。
アメリカ数学会は1974年に、ヒルベルトが1900年に提起した23の問題 について、その解決策と影響を評価するための会議を主催した。その会議の成果の一つとして、新たな数学的問題のリストが作成された。その最初の問題は、マニン（1976年、36ページ）によるもので、古典的な集合論が量子力学における区別できない素粒子の集合を扱うのに適切なパラダイムであるかどうかという疑問を投げかけた。彼は、そのような集合は通常の意味での集合とはなり得ず、そのような集合の研究には「新しい言語」が必要だと示唆した。
準集合という用語の使用は、ダ・コスタの1980年のモノグラフ『論理の基礎に関する考察』（ダ・コスタとクラウス1994を参照）における提案に基づいている。この中で彼は、彼が「シュレーディンガー論理」と呼ぶものの意味論の可能性を探求した。これらの論理では、同一性の概念は領域のいくつかの対象に限定されており、シュレーディンガーが同一性の概念は素粒子には意味をなさないと主張したこと（シュレーディンガー1952）に動機づけられている。したがって、論理に適合する意味論を提供するために、ダ・コスタは「準集合の理論を開発すべきである」と主張し、その理論には「標準集合」が特殊なケースとして含まれるとしたが、ダ・コスタはこの理論を具体的に展開することはなかった。同じ目的で、ダ・コスタとは独立して、ダラ・キアラとディ・フランシア（1993）は、微視物理学の言語の意味論的処理を可能にする準集合の理論を提案した。最初の準集合理論は、1990年にD.クラウスが博士論文で提案した（クラウス1992を参照）。等価性と不等価性に根本的な不可分性を加える論理に基づく関連物理理論は、AFパーカー＝ローズの著書『不可分性の理論』で独立して開発され、詳細に論じられた。[ 1 ]
ここでは、クラウス（1992）の公理的理論を詳述する。これは最初の準集合論であり、その後、他の定式化や改良版が登場している。この主題に関する最新の論文については、FrenchとKrause（2010）を参照のこと。Krauseは、 2種類の要素を含むように拡張されたオントロジーを持つツェルメロ＝フレンケル集合論からなる集合論ZFUに基づいている。
準集合（q集合）は、 m個の原子、M個の原子、およびそれらの集合体から構成される基本領域に、ZFUの公理と非常によく似た公理を適用することによって得られる集合です。外延性の同等物（ただし、より弱い形式で、「弱い外延性公理」と呼ばれる）や、空集合、順序なし対、和集合、冪集合の存在を主張する公理、分離公理、q関数によるq集合の像もq集合であることを述べる公理、無限性、正則性、選択の公理のq集合版などが含まれる。もちろん、他の集合論的枠組みに基づくq集合理論も可能である。
には、8 つの追加公理によって支配される準基数の原始的な概念があり、直感的には集合内のオブジェクトの量を表します。準集合の準基数は、m個の原子が（完全に）区別できないと仮定されているため、通常の意味（順序数による）では定義されません。さらに、ZFU の言語から の言語への翻訳を定義することが可能です。ZFUの「コピー」が存在するようにこのコピーでは、通常の数学的概念はすべて定義でき、「集合」（実際には「-集合')は、推移閉包にm原子を含まないq集合であることが判明した。
で要素がすべて m-原子である「純粋な」q-集合と呼ばれるq-集合が存在する可能性があり、公理系は何もないと言う根拠を提供する特定の純粋 q-集合について、純粋 q-集合の要素を互いに区別します。この理論では、xに複数の実体が存在するという考えは、 xのべき乗準集合の準基数が準基数 2 qc( x )を持つという公理によって表現されます。ここで、qc( x ) はxの準基数です(これは、先ほど述べた ZFU の「コピー」で得られた基数です)。
これは一体どういう意味でしょうか？ナトリウム原子の2p軌道を考えてみましょう。そこには区別できない6個の電子が存在します。それでもなお、物理学者は、その軌道には実際には1つだけでなく6つの実体が存在するかのように推論します。このように、xのべき乗準集合の準基数を2qc ( x ) （例に従うためにqc ( x )=6と仮定します）と言うことで、 xの6つの部分準集合が存在し、それらが「シングルトン」である可能性があるという仮説を排除しているわけではありません。ただし、それらを区別することはできません。xに6つの要素があるかどうかは、理論では判断できないことです（ただし、その概念は理論と矛盾しません）。もし理論がこの問いに答えられるとしたら、 xの要素は個別化され、したがって数えられることになり、それらを区別できないという基本的な仮定に矛盾することになります。
言い換えれば、我々は一貫して（) はxに 6 つの実体があるかのように推論しますが、x は 要素を個体として識別できない集合とみなさなければなりません。準集合理論を使用すると、対称条件を導入せずに量子物理学のいくつかの事実を表現できます (Krause et al. 1999, 2005)。よく知られているように、不可分性を表現するために、粒子は、たとえば座標または |ψ> のような適切な関数/ベクトルに結び付けることによって、個体とみなされます。したがって、最初に|ψ 1 ⟩ と |ψ 2 ⟩ というラベルの付いた 2 つの量子システムが与えられた場合、置換によって量子を不可分に保つ関数 |ψ 12 ⟩ = |ψ 1 ⟩|ψ 2 ⟩ ± |ψ 2 ⟩|ψ 1 ⟩ (特定の定数を除く) を考慮する必要があります。結合システムの確率密度は、どちらが量子1でどちらが量子2であるかに依存しない。（ただし、精度を確保するためには、量子を区別せずに「2つの」量子について話す必要があるが、これは従来の集合論では不可能である。）量子を「識別」する必要がなくなる。詳細は、Krause et al. (1999, 2005) および French and Krause (2006) を参照のこと。
準集合論は、ハインツ・ポスト（1963）の「量子は最初から区別できないものとみなされるべきである」という主張を具体化する方法である。
