断面積（物理学）

衝突系の換算質量と換算運動量が、衝突前と衝突後でそれぞれm _i、p _iおよびm _f、p _fである場合、微分断面積は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},}$

ここで、オンシェルT行列は次のように定義される。

${\displaystyle S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}}$

S行列の観点から見ると、δはディラックのデルタ関数である。S行列の計算は散乱理論の主な目的である。

半径の球体を考える${\displaystyle a}$古典的な断面は次のようになる。${\displaystyle \pi a^{2}}$量子力学的には、低速粒子（すなわち、ド・ブロイ波長が散乱体の寸法よりもはるかに大きい粒子）の場合、${\displaystyle S}$波の総断面積は${\displaystyle 4\pi a^{2}}$高速粒子の場合、より高い角運動量を考慮する必要があり、全断面積はおよそ次のようになる。${\displaystyle 2\pi a^{2}}$球殻（ポテンシャルはデルタ関数）の場合、全断面積により共鳴が発生する。^{[ 2 ]}

ミー理論を用いて一般的に計算される断面積には、消光の効率係数が含まれる。${\textstyle Q_{\text{ext}}}$散乱${\textstyle Q_{\text{sc}}}$吸収${\textstyle Q_{\text{abs}}}$断面積。これらは粒子の幾何学的断面積で正規化されている。${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$として$${\displaystyle Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.}$$ 断面は次のように定義されます。

${\displaystyle \sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}}$

どこ${\displaystyle \left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]}$は周囲の表面を通るエネルギーの流れであり、${\displaystyle \left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]}$は入射波の強度です。平面波の場合、強度は${\displaystyle I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )}$、 どこ${\displaystyle \eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}}$はホスト媒体のインピーダンスです。

主なアプローチは以下の通りである。まず、半径の仮想球を構築する。${\displaystyle r}$（表面${\displaystyle A}$粒子（散乱体）の周囲。電磁エネルギーの正味の速度が表面を通過する。${\displaystyle A}$は

${\displaystyle W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA}$

どこ${\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$は時間平均ポインティングベクトルです。${\displaystyle W_{\text{a}}>0}$エネルギーは球体内で吸収されるか、そうでなければ球体内でエネルギーが生成される。ここではこのケースは考慮しない。媒質が非吸収性であれば、エネルギーは粒子に吸収されなければならない。全場を入射部分と散乱部分に分解する。${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}}$磁場についても同様である。${\displaystyle \mathbf {H} }$したがって、分解することができます${\displaystyle W_{a}}$3つの用語に${\displaystyle W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}}$、 どこ

${\displaystyle W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.}$

どこ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]}$、${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]}$、 そして${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]}$。

すべての場はベ​​クトル球面調和関数（VSH）の級数に分解できます。その後、すべての積分を実行できます。半径の均一な球の場合${\displaystyle a}$誘電率${\displaystyle \varepsilon }$透過性${\displaystyle \mu }$この問題には正確な解がある。^{[ 6 ]} 散乱係数と消散係数は$${\displaystyle Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})}$$$${\displaystyle Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$$どこ${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$これらは次のように接続されています$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}}$$

粒子は分極率を持つ電気双極子モードと磁気双極子モードのみをサポートすると仮定しましょう。${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$そして${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$^{（ここでは、ニエト・ヴェスペリナスら[ 9 ]}の表記法ではなく、ベクシャエフら^{[ 7 ] [ 8 ]}の表記法による磁気分極率の表記法を用い、ミー係数を用いて次のように表す。 $${\displaystyle \alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.}$$ すると、断面は次のように与えられる。$${\displaystyle \sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})}$$$${\displaystyle \sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}}$$そして最後に、電気吸収断面積と磁気吸収断面積${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$は$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]}$$そして$${\displaystyle \sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]}$$

内部利得のない粒子の場合、つまり粒子が内部でエネルギーを放出しない場合（${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$)光学定理の特殊なケースがあります$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]}$$非吸収粒子の場合、等式が成り立つ。${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$。

広がりを持つ物体による光の散乱という文脈では、散乱断面積σ _scは、光が巨視的な粒子によって散乱される可能性を表します。一般に、散乱断面積は粒子の形状とサイズに加えて光の波長と誘電率にも依存するため、粒子の幾何学的断面積とは異なります。疎な媒質における散乱の総量は、散乱断面積と存在する粒子の数の積によって決まります。面積の観点から見ると、全断面積( σ ) は、吸収、散乱、および発光による断面積の合計です。

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.}$

全断面積は、吸光度が濃度に比例するというベール・ランバートの法則によって光強度の吸光度と関連付けられます。Aλ ₌ Clσ 、ここでAλは特定の_波長λにおける吸光度、Cは数密度としての濃度、lは光路長です。放射の消光または吸光度は、透過率Tの逆数の対数（10進数またはより一般的には自然数）です^。 [ ^{5 ]}

${\displaystyle A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.}$

散乱断面積は気象範囲L _Vに関連しています。

${\displaystyle L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.}$

量Cσ _{scat は}、単位長さあたりの散乱係数であるb _scatと表記されることもある。 ^{[ 10 ]}

以下の式は、完全弾性衝突を起こす2つの硬球に適用される。^{[ 11 ]}散乱中心と散乱球の半径をそれぞれRとrとする。微分断面積は

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},}$

そして全断面積は

${\displaystyle \sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.}$

言い換えれば、全散乱断面積は、入射球の重心が偏向するために到達しなければならない円（半径r + R）の面積に等しい。

ラザフォード散乱では、電荷q、エネルギーEの入射粒子が、電荷Qの固定粒子によって散乱される。微分断面積は

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}}$

どこ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は真空の誘電率である。^{[ 12 ]}小さな散乱角に対するカットオフがない限り、全断面積は無限大である。${\displaystyle \theta }$が適用される。^{[ 13 ]}これは、${\displaystyle 1/r}$クーロンポテンシャル。

次の例では、半径rの円と完全反射境界で散乱する光線について考察します。光線は均一な密度の平行光線で構成され、光線と円の相互作用は幾何光学の枠組みでモデル化されます。この問題は真に二次元であるため、断面の長さの単位は (例えばメートル) です。光線と、光線の反射点と鏡の中心を結ぶ半径との間の角度をαとします。すると、光線に垂直な長さ要素の増加は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .}$

この光線の入射光線に対する反射角は 2α であり、散乱角は

${\displaystyle \theta =\pi -2\alpha .}$

入射強度と反射強度Iの間の微分関係は

${\displaystyle I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .}$

したがって、微分断面積は ( dΩ = d θ )となります。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

θ = πにおける最大値は後方散乱に対応し、θ = 0における最小値は円の端から真前方への散乱に対応する。この式は、鏡面円が発散レンズのように作用するという直感的な予想を裏付けている。全断面積は円の直径に等しい。

${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.}$

前の例の結果は、3次元における類似の問題、すなわち半径aの完全反射球からの散乱を解決するために使用できます。

入射光線に垂直な平面は、円筒座標rとφでパラメータ化できます。入射光線と反射光線の任意の平面では、（前の例から）次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}}$

影響領域要素は

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

球面座標では、

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

三角関数の恒等式とともに

${\displaystyle \sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),}$

我々は得る

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.}$

全断面積は

${\displaystyle \sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.}$