モーラー散乱

モラー散乱は、量子場理論における電子-電子散乱の名称であり、1932年にこの理論を提唱したデンマークの物理学者クリスチャン・モラーにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}モラー散乱で理想化される電子相互作用は、ヘリウム原子内の電子の反発など、多くのよく知られた現象の理論的基礎を形成しています。かつては多くの粒子衝突装置が電子-電子衝突専用に設計されていましたが、近年では電子-陽電子衝突装置がより一般的になっています。それでもなお、モラー散乱は粒子相互作用理論における典型的なプロセスであり続けています。

この過程は、素粒子物理学でよく用いられる通常の表記法で表すことができる。$${\displaystyle e^{-}e^{-}\longrightarrow e^{-}e^{-},}$$

量子電磁力学では、この過程を記述する2つのツリーレベルのファインマン図があります。1つは電子が光子を交換するtチャネル図、もう1つは同様のuチャネル図です。ファインマン図を評価する際によく用いられる手法の1つである交差対称性は、この場合、モラー散乱がババ散乱（電子-陽電子散乱）と同じ断面積を持つべきであることを意味します。

電弱理論では、このプロセスは代わりに4つのツリーレベル図で記述されます。QEDからの2つと、光子の代わりにZボソンが交換された同一のペアです。弱い力は純粋に左巻きですが、弱い力と電磁力が混ざり合って、観測される粒子になります。光子は構成上対称ですが、Zボソンは右巻き粒子よりも左巻き粒子を好みます。したがって、左巻き電子と右巻き電子の断面積は異なります。この違いは、1959年にロシアの物理学者ヤコフ・ゼルドビッチによって初めて指摘されましたが、当時彼はパリティを破る非対称性（数十億分の数百）は小さすぎて観測できないと考えていました。このパリティを破る非対称性は、スタンフォード線形加速器センターSLAC-E158の実験で行われたように、偏極した電子ビームを非偏極電子ターゲット（例えば液体水素）に照射することによって測定できます。^{[ 2 ]}モラー散乱の非対称性は

$${\displaystyle A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\Theta _{\text{cm}}\right)^{2}}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}\right),}$$

ここで、 m _eは電子の質量、E は入射電子のエネルギー（他の電子の基準系において）である。${\displaystyle G_{\rm {F}}}$はフェルミ定数です。${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数である。$\displaystyle \Theta _{\text{cm}}}$は重心系における散乱角であり、${\displaystyle \theta _{\rm {W}}}$は弱混合角であり、ワインバーグ角とも呼ばれます。

モラー散乱は、このページに示されている 2 つの図を使用して、ツリーレベルで QED の観点から計算できます。これらの 2 つの図は、QED の観点から主要な次数で寄与します。高エネルギーで電磁力と統一される弱い力を考慮に入れる場合、交換のための 2 つのツリーレベルの図を追加する必要があります。$\displaystyle Z^{0}}$ボソン。ここでは、断面積の厳密なツリーレベルQED計算に焦点を当てます。これは非常に参考になりますが、物理的な観点からは最も正確な記述ではないかもしれません。

導出の前に、4-運動量を次のように書きます（${\displaystyle p_{1}}$そして${\displaystyle p_{2}}$入射電子に対して、${\displaystyle p_{3}}$そして${\displaystyle p_{4}}$放出される電子の場合、${\displaystyle m=m_{e}}$):

$${\displaystyle p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),}$$

$${\displaystyle p_{3}=(E,p\sin \theta ,0,p\cos \theta ),~p_{4}=(E,-p\sin \theta ,0,-p\cos \theta ).}$$

マンデルスタム変数は以下のとおりです。

$${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}}$$

$${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}}$$

$${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}}$$

これらのマンデルスタム変数は、次の恒等式を満たす。$\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}}$。

このページにある2つの図によると、tチャネルの行列要素は

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),}$$

uチャネルの行列要素は

$${\displaystyle i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})。}$$

合計は

$${\displaystyle {\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{aligned}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}|{\mathcal {M}}|^{2}&=e^{4}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad +{\frac {1}{u^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]{\biggr \}}.\end{aligned}}}$$

非偏極断面積を計算するには、初期スピンについて平均を取り、最終スピンについて合計します。係数は1/4（入射電子1個につき1/2）です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }]{\biggl \}}\end{aligned}}}$$

ここで、私たちは関係性を使用しました${\displaystyle \sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}$次に、トレースを計算します。

括弧内の最初の項は

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {16}{t^{2}}}(p_{1}^{\mu }p_{3}^{\nu }+p_{3}^{\mu }p_{1}^{\nu }+(-p_{13}+m^{2})g^{\mu \nu })(p_{2\mu }p_{4\nu }+p_{4\mu }p_{2\nu }+(-p_{24}+m^{2})g_{\mu \nu })\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{23}p_{14}-m^{2}p_{13}-m^{2}p_{24}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+2m^{2}(p_{14}-p_{12}){\big )}\\&={\frac {8}{t^{2}}}(s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

ここ${\displaystyle p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}}$、そして私たちは${\displaystyle \gamma }$-行列の恒等式

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$$

そして奇数個の積の痕跡${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ゼロです。

同様に、2番目の項は

$${\displaystyle {\begin{aligned}&~~{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu }(\not p_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}}$$

使用${\displaystyle \gamma }$行列恒等式

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=-32,}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }]=16g^{\rho \sigma },}$$

$${\displaystyle \mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu }\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu }]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau },}$$

そしてマンデルスタム変数の同一性：${\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}}$すると、第3項が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma ^{\nu }(\not p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu }\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}}|{\mathcal {M}}|^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{aligned}}.}$$

ここで設定した運動量を代入すると、

$${\displaystyle s=4E^{2}=E_{CM}^{2},}$$

$${\displaystyle t=2p^{2}(\cos \theta -1),}$$

$${\displaystyle u=2p^{2}(-\cos \theta -1).}$$

最後に、非偏光断面積が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{aligned}}}$$

と${\displaystyle E^{2}=m^{2}+p^{2}}$そして${\displaystyle E_{CM}=2E}$。

非相対論的極限では、${\displaystyle m\gg p}$、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{aligned}}}$$

超相対論的極限では、${\displaystyle m\ll p}$、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{aligned}}}$$

• SLAC E158：電子の弱い電荷の測定