発振

振動とは、ある尺度が中心値（多くの場合、平衡点）を中心に、あるいは2つ以上の異なる状態の間で、時間的に繰り返しまたは周期的に変化する現象のことである。振動の身近な例としては、振り子や交流電流などが挙げられる。物理学では、原子間の相互作用など、複雑な相互作用を近似するために振動がよく用いられる。

振動は、機械システムだけでなく、科学のほぼすべての分野における動的システムでも発生します。例えば、人間の心臓の拍動（循環のため）、 経済学における景気循環、生態学における捕食者と被食者の個体数変動、地質学における地熱間欠泉、ギターなどの弦楽器の弦の振動、脳内の神経細胞の周期的な発火、天文学におけるケフェイド変光星の周期的な膨張などが挙げられます。振動という用語は、まさに機械的な振動を記述するために用いられます。

振動、特に急速な振動は、安定状態への収束を目的とするプロセス制御や制御理論（例えばスライディングモード制御）においては望ましくない現象となる場合がある。このような場合、振動はバルブチャタリングやルートフラッピングのように、チャタリングまたはフラッピングと呼ばれる。

最も単純な機械的振動システムは、重力と張力のみを受ける線形ばねに取り付けられた重りです。このようなシステムは、エアテーブルや氷の表面上で近似的に再現できます。ばねが静止しているとき、システムは平衡状態にあります。システムが平衡位置からずれると、質量には平衡位置に戻そうとする正味の復元力が働きます。しかし、質量を平衡位置に戻す際に運動量を獲得し、その位置を超えて動き続けるため、反対方向の新たな復元力が生じます。重力などの一定の力がシステムに加えられると、平衡点は移動します。振動が発生するのにかかる時間は、しばしば振動周期と呼ばれます。

物体に働く復元力がその変位に正比例する系、例えばばね-質量系の運動などは、数学的には単振動子として記述され、規則的な周期運動は単振動として知られています。ばね-質量系では、静止平衡変位において質量が運動エネルギーを持ち、それがばねの経路の両端に蓄えられる位置エネルギーに変換されるため、振動が発生します。ばね-質量系は、平衡状態の存在と、系が平衡状態から離れるほど強くなる復元力の存在など、振動のいくつかの共通の特徴を示しています。

ばね-質量系の場合、フックの法則によれば、ばねの復元力は次のようになります。 $${\displaystyle F=-kx}$$

ニュートンの第二法則を用いると、微分方程式を導出できる。 $${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,}$$ どこ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

この微分方程式の解は、正弦波状の位置関数を生成する。 $${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

ここで、ωは振動周波数、 Aは振幅、δは関数の位相シフトです。これらはシステムの初期条件によって決まります。コサインは1と-1の間で無限に振動するため、摩擦がない場合、バネ-質量系は正と負の振幅の間で永遠に振動し続けます。

2次元または3次元の調和振動子は、1次元の場合と同様の挙動を示す。その最も単純な例は等方性振動子であり、復元力は平衡位置からの変位に比例し、すべての方向で同じ復元定数を持つ。 $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

これにより同様の解が得られますが、今度は方向ごとに異なる方程式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

現実世界のすべての振動系は、熱力学的に不可逆です。これは、摩擦や電気抵抗などの散逸過程が存在し、振動系に蓄えられたエネルギーの一部が常に周囲の熱に変換されることを意味します。これを減衰と呼びます。したがって、システムに正味のエネルギー源が供給されない限り、振動は時間とともに減衰する傾向があります。この減衰過程を最も簡単に説明する例として、調和振動子の振動減衰が挙げられます。

減衰振動は、位置、この場合は速度の一次微分に依存する抵抗力が導入されたときに発生します。ニュートンの第二法則によって生成される微分方程式には、この抵抗力が任意の定数bとともに加えられます。この例では、速度に対して線形依存性があると仮定しています。 $${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

この方程式は、以前と同様に書き換えることができます。 $${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ どこ${\textstyle 2\beta ={\frac {b}{m}}}$。

これにより、一般的な解が得られます。 $${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$ どこ${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$。

括弧の外にある指数項は減衰関数であり、βは減衰係数です。減衰振動子には、β < ω _{0の場合の減衰不足、} β > ω ₀の場合の過減衰、β = ω ₀の場合の臨界減衰の 3 つのカテゴリがあります。

さらに、振動系は、交流回路が外部電源に接続される場合のように、何らかの外部力の影響を受けることがあります。この場合、振動は駆動されていると言われます。

この最も単純な例は、正弦波状の駆動力を持つバネ・質量系である。 $${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$どこ${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

これが解決策です。$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$ どこ${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$そして${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

x ( t )の第2項は、微分方程式の過渡解です。過渡解は、システムの初期条件を用いることで求めることができます。

環境からのエネルギー伝達によって励起されるシステムもあります。このようなエネルギー伝達は通常、システムが流体の流れの中に埋め込まれている場合に発生します。例えば、空気力学におけるフラッター現象は、航空機の翼が（平衡位置から）ごくわずかに変位すると、翼の空気流に対する迎角が増加し、それに伴って揚力係数が増加し、さらに大きな変位が生じることで発生します。変位が十分に大きくなると、翼の剛性が支配的になり、振動を可能にする復元力が生じます。

調和振動子とそれがモデル化するシステムは、自由度が1 つです。より複雑なシステムでは、自由度がさらに多くなります。たとえば、2 つの質量と 3 つのバネ (各質量は固定点と互いに接続されている) などです。このような場合、各変数の挙動は他の変数の挙動に影響を与えます。これにより、個々の自由度の振動が結合します。たとえば、共通の壁に取り付けられた 2 つの振り子時計 (同じ周波数) は同期する傾向があります。この現象は、 1665 年にクリスティアーン・ホイヘンスによって初めて観察されました。 ^{[ 2 ]}複合振動の見かけ上の動きは通常非常に複雑に見えますが、動きを正規モード に分解することで、より経済的で計算が簡単で概念的に深い説明が得られます。

最も単純な結合振動子は、質量とばね定数が同じである3つのばねと2つの質量からなるシステムです。この問題は、両方の質量についてニュートンの第2法則を導出することから始まります。 $${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

これらの式は、その後行列形式に一般化される。 $${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$ どこ${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$、 ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$、 そして${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

kとmの値を行列に代入することができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

これらの行列を一般解に代入することができる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(kM\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}}$$

この行列の行列式は二次方程式を与える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(km\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

質量の開始位置によって、このシステムには 2 つの周波数 (またはその 2 つの組み合わせ) が存在する可能性があります。質量が同じ方向に変位を開始した場合、中央のバネが伸びないため、周波数は単一質量システムの周波数になります。2 つの質量が反対方向に開始した場合、2 番目の、より速い周波数がシステムの周波数になります。^{[ 1 ]}

さらに特殊なケースとして、エネルギーが2種類の振動形態の間で交互に伝達される結合振動子がある。よく知られているのはウィルバーフォース振り子で、これは垂直バネの伸長と、そのバネの端にある物体の回転が交互に繰り返される振動である。

結合振動子とは、関連性はあるものの異なる2つの現象を表す一般的な用語です。1つは、両方の振動が互いに影響し合う場合で、通常は単一の同期振動状態が生じ、両方の振動が妥協周波数で振動します。もう1つは、外部振動が内部振動に影響を与えるものの、内部振動は外部振動の影響を受けない場合です。この場合、アーノルド舌と呼ばれる同期領域は、カオス力学など、非常に複雑な現象を引き起こす可能性があります。

物理学において、保存力と平衡点を持つ系は、平衡点近傍の調和振動子として近似できる。その一例として、レナード・ジョーンズポテンシャルがあり、これは次のように表される。 $${\displaystyle U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

次に、関数の平衡点が求められます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

次に、2階微分を求め、それを有効電位定数として用いる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

システムは平衡点付近で振動を起こす。これらの振動を引き起こす力は、上記の有効ポテンシャル定数から導き出される。 $${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

この微分方程式は、単純調和振動子の形で書き直すことができる。 $${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0}$$

したがって、微小振動の周波数は次のようになる。 $${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}}$$

または、一般形^{[ 3 ]}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

この近似は、システムのポテンシャル曲線を見るとよりよく理解できます。ポテンシャル曲線を丘に例えると、曲線上のどこにボールを置いても、ボールはポテンシャル曲線の傾斜に沿って転がり落ちます。これは、位置エネルギーと力の関係によるものです。 $${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

このようにポテンシャルを考えると、どの局所的最小値にも、ボールが前後に転がり（振動する）「井戸」が存在することがわかるでしょう。${\displaystyle r_{\text{min}}}$そして${\displaystyle r_{\text{max}}}$この近似はケプラー軌道を考える際にも役立ちます。

自由度の数が任意に大きくなると、システムは連続性に近づきます。例としては、弦や水面などが挙げられます。このようなシステムは（古典的な極限では）無限個の固有振動モードを持ち、その振動は特徴的に伝播する波の形で発生します。

振動の数学は、数列や関数が極値の間をどれだけ移動するかを定量化するものです。関連する概念としては、実数列の振動、実数値関数のある点における振動、区間（または開集合）上の関数の振動などがあります。

• ウィキメディア・コモンズにある振動に関するメディア
• 振動（ 2010年12月14日にWayback Machineにアーカイブ済み） –オンライン教科書の一章