季節性

時系列データにおける季節性とは、週ごと、月ごと、四半期ごとなど、1年未満の特定の定期的な間隔で発生する傾向を指します。季節性は、天候、休暇、休日などさまざまな要因によって引き起こされる可能性があり^{[1] 、時系列のレベル[2]}における周期的、反復的、一般的に規則的で予測可能なパターンで構成されます。

時系列における季節的変動は、周期的パターンと対比することができます。後者は、データが一定期間ではない上昇と下降を示す場合に発生します。このような非季節的変動は通常、経済状況によるもので、「ビジネス サイクル」に関連していることが多く、その期間は 1 年を超えることが多く、変動は通常少なくとも 2 年間です。^[3]

アイスクリーム販売業者など、季節変動に直面する組織は、通常の季節変動と比較して自社のパフォーマンスを知りたいと思うことがよくあります。労働市場の季節変動は、学校を卒業したばかりの若者が、学校教育を終えて労働力に貢献することを目指して労働市場に参入することに起因する可能性があります。雇用データを研究する人々にとって、こうした定期的な変化よりも、経済の根本的な状態によって生じる変動のほうが関心の対象です。彼らの関心は、定期的な季節変動の影響にもかかわらず、労働力の失業率がどのように変化したかにあります。^[3]

組織が将来の計画を立てるには、市場内の季節変動を特定して測定する必要があります。これにより、製品やサービスの需要が一定期間にわたって変動するため、労働力や在庫の一時的な増減に備えることができます。これには、事前に計画できるトレーニング、定期的なメンテナンスなどが必要になる場合があります。これらの考慮事項とは別に、組織は、経験した変動が通常の季節変動で説明できる範囲を超えて、予想よりも多かったか少なかったかを知る必要があります。^[4]

季節変動を研究する主な理由はいくつかあります。

• 季節的影響の説明により、この要素が特定の系列に与える影響をよりよく理解できるようになります。
• 季節パターンを確立した後、周期的変動や不規則変動などの他の要素の影響を調べるために、時系列から季節パターンを除去する方法を実装できます。この季節効果の除去は、データの季節調整または季節調整と呼ばれます。
• 季節変動の過去のパターンを利用して、気候の標準値などの将来の傾向の予測に貢献します。

季節性を検出するには、次のグラフィック手法を使用できます。

• 実行シーケンスプロットは季節性を示すことが多い

  

• 季節グラフは各季節のデータを重ねて表示します^[5]
• 季節サブシリーズプロットは季節性を示すための特殊な手法である。
• 季節性を検出するために、季節サブシリーズプロットの代わりに複数のボックスプロットを使用することができます。
• 自己相関プロット( ACF) とスペクトル プロットは季節性の識別に役立ちます。

定期的なデータ系列における周期性（季節性を含む）を見つけるための本当に良い方法は、まず全体的な傾向を取り除き、次に時間周期性を調べることです。^[6]

実行シーケンス プロットは、あらゆる時系列を分析するための推奨される最初のステップです。季節性はこのプロットで示されることもありますが、季節性は季節サブシリーズ プロットまたはボックス プロットでより明確に示されます。季節サブシリーズ プロットは、季節の違い (グループ パターン間) とグループ内パターンの両方を非常によく示します。ボックス プロットは季節の違い (グループ パターン間) を非常によく示しますが、グループ内パターンは示しません。ただし、大規模なデータ セットの場合、通常、ボックス プロットは季節サブシリーズ プロットよりも読みやすくなります。

季節プロット、季節サブシリーズ プロット、およびボックス プロットはすべて、季節期間が既知であることを前提としています。ほとんどの場合、アナリストは実際にこれを知っています。たとえば、月次データの場合、1 年に 12 か月あるため、期間は 12 です。ただし、期間が不明な場合は、自己相関プロットが役立ちます。季節性が顕著な場合、自己相関プロットは期間に等しいラグでスパイクを示します。たとえば、月次データの場合、季節性の影響がある場合、ラグ 12、24、36 などで顕著なピークが見られることが予想されます (ただし、強度は遠ざかるほど低下する可能性があります)。

自己相関プロット (ACF) は、Y 値と Y の遅延値との差 (残差量) を計算するため、季節性を識別するために使用できます。結果には、2 つの値が近い (季節性がない) ポイントと、大きな差異があるポイントがあります。これらのポイントは、データの季節性のレベルを示します。

半規則的な周期的変動はスペクトル密度推定によって処理できる可能性がある。

季節変動は、季節指数と呼ばれる指数で測定されます。これは、季節変動がない場合の実際の観測値と比較するために使用できる平均値です。指数値は、1 年内の時系列の各期間に付けられます。つまり、月次データを考慮すると、各月ごとに 12 個の個別の季節指数があることになります。次の方法では、季節指数を使用して時系列データの季節変動を測定します。

• 単純平均法
• 比率トレンド法
• 移動平均比率法
• リンク相対方式

移動平均比率法を使用して季節変動を測定すると、時系列の季節変動の度合いを測定するためのインデックスが得られます。このインデックスは平均 100 に基づいており、季節性の度合いはベースからの変動によって測定されます。たとえば、冬のリゾート地のホテルのレンタルを観察すると、冬季四半期のインデックスは 124 であることがわかります。値 124 は、四半期平均レンタルの 124 パーセントが冬季に発生することを示しています。ホテルの管理者が昨年全体で 1436 件のレンタルを記録した場合、四半期平均レンタルは 359 = (1436/4) になります。冬季四半期のインデックスが 124 であるため、冬季レンタルの数は次のように推定されます。

359*(124/100)=445;

ここで、359 は四半期平均賃料です。124 は冬季四半期指数です。445 は季節別冬季四半期賃料です。

この方法は、パーセンテージ移動平均法とも呼ばれます。この方法では、時系列の元のデータ値が移動平均のパーセンテージとして表されます。手順と表を以下に示します。

1. 時系列内の元のデータ値の中心化された 12 か月 (または 4 四半期) の移動平均を見つけます。

2. 時系列の各元データ値を、ステップ(1)で取得した対応する中心移動平均値のパーセンテージとして表します。言い換えると、乗法時系列モデルでは、(元データ値) / (トレンド値) × 100 = ( T × C × S × I ) / ( T × C ) × 100 = ( S × I ) × 100と
   なります。これは、移動平均に対する比率が季節的および不規則な要素を表していることを意味します。

3. これらのパーセンテージを、指定された年の月または四半期ごとに並べます。指定された年のすべての月または四半期の平均を求めます。

4. これらの指数の合計が 1200 (四半期の数字の場合は 400) でない場合は、修正係数 = 1200 / (月次指数の合計) を掛けます。それ以外の場合は、12 か月の平均が季節指数と見なされます。

次のデータから移動平均比率法で季節指数を計算してみましょう。

4 つの四半期移動平均と移動平均比率の計算が以下の表に示されています。

季節平均の合計は 398.85 です。したがって、対応する補正係数は 400/398.85 = 1.00288 になります。各季節平均に補正係数 1.00288 を掛けると、上記の表に示すように調整された季節指数が得られます。

1. 加法時系列モデルでは、季節成分は次のように推定されます。

S = Y – ( T + C + I )

どこ

S  : 季節値

Y  : 時系列の実際のデータ値

T  : トレンド値

C  : 循環値

I  : 不規則な値。

2. 乗法時系列モデルでは、季節成分は比率とパーセンテージで次のように表されます。

季節の影響 ;${\displaystyle ={\frac {T\cdot S\cdot C\cdot I}{T\cdot C\cdot I}}\times 100\ ={\frac {Y}{T\cdot C\cdot I}}\times 100}$

ただし、実際には、時系列のトレンド除去は に到達するために行われます。 ${\displaystyle S\cdot C\cdot I}$

これは、 の両辺を トレンド値Tで割ること によって行われます。 ${\displaystyle Y=T\cdot S\cdot C\cdot I}$${\displaystyle {\frac {Y}{T}}=S\cdot C\cdot I}$

3. 季節性を除去した時系列データには、トレンド（T）、周期的（C）、不規則（I）の要素のみが含まれており、次のように表現されます。

• 乗法モデル:${\displaystyle {\frac {Y}{S}}\times 100={\frac {T\cdot S\cdot C\cdot I}{S}}\times 100=(T\cdot C\cdot I)\times 100}$

• 加法モデル: Y – S = ( T + S + C + I ) – S = T + C + I

時系列における完全に規則的な周期的変動は、コンテキストに応じて周期の長さが既知または未知である1 つ以上の正弦波を持つ正弦波モデルを使用して、時系列分析で処理できます。それほど規則的ではない周期的変動は、周期的変動を半明示的に処理するように構成できる特殊な形式のARIMAモデルを使用して処理できます。このようなモデルは、周期定常プロセスを表します。

周期的な季節性をモデル化する別の方法は、フーリエ項のペアを使用することです。正弦波モデルを使用する場合と同様に、回帰モデルに追加されるフーリエ項は、季節性をシミュレートするために正弦項と余弦項を使用します。ただし、このような回帰の季節性は、正弦波モデルの単一の正弦項または余弦項ではなく、正弦項または余弦項の合計として表されます。すべての周期関数は、フーリエ項を含めることで近似できます。

正弦波モデルとフーリエ項を使用した回帰の違いは、以下のように簡略化できます。

正弦波モデル:

${\displaystyle Y_{i}=a+bt+\alpha \sin(2\pi \omega T_{i}+\phi )+E_{i}}$

フーリエ項による回帰:

${\displaystyle Y_{i}=a+bt+(\sum _{k=1}^{K}\alpha _{k}\cdot \sin({\tfrac {2\pi kt}{m}})+\beta _{k}\cdot \cos({\tfrac {2\pi kt}{m}}))+E_{i}}$

季節調整または季節除去は、時系列の季節的要素を除去する方法です。季節調整されたデータは、季節期間よりも長い期間にわたる非季節的傾向を分析または報告する場合などに使用されます。季節調整の適切な方法は、時系列を「傾向」、「周期的」、「季節的」、「不規則的」などの名前で指定された要素に分解し、これらの要素が相互にどのように作用するかという特定の視点に基づいて選択されます。たとえば、このような要素は、加算的または乗算的に作用する場合があります。したがって、季節的要素が加算的に作用する場合、調整方法には 2 つの段階があります。

• 時系列内の変動の季節的要素を推定します。通常は、系列全体で平均がゼロになる形式で推定します。
• 元の時系列から推定された季節成分を差し引くと、季節調整された時系列が残ります。[ ^3]${\displaystyle Y_{t}-S_{t}=T_{t}+E_{t}}$

乗法モデルの場合、季節変動の大きさは水準によって変化しますが、これは経済系列で発生する可能性が高くなります。^[3]季節性を考慮すると、季節調整済みの乗法分解は次のように表すことができます。元の時系列を推定された季節成分で割ります。 ${\displaystyle Y_{t}/S_{t}=T_{t}*E_{t}}$

乗法モデルは、時系列の対数を取ることで加法モデルに変換できます。

SA 乗法分解:${\displaystyle Y_{t}=S_{t}*T_{t}*E_{t}}$

乗法モデルの時系列のログを取る：^[3]${\displaystyle logY_{t}=logS_{t}+logT_{t}+logE_{t}}$

季節調整の特定の実装の 1 つは、X-12-ARIMAによって提供されます。

季節によって変化する従属変数が1 つ以上の独立変数の影響を受ける通常の最小二乗法などの回帰分析では、任意に選択した基準季節を除く各季節に 1 つずつ、n -1個のダミー変数を含めることで季節性を考慮および測定できます。ここで、 n は季節の数です (たとえば、気象季節の場合は 4、月の場合は 12 など)。各ダミー変数は、データ ポイントがダミーの指定季節から抽出された場合は 1 に設定され、それ以外の場合は 0 に設定されます。次に、基準季節の従属変数の予測値は、回帰の残りの部分から計算されますが、その他の季節については、回帰の残りの部分を使用し、その季節のダミー変数に値 1 を挿入することで計算されます。

季節パターンを関連パターンと区別することが重要です。季節パターンは、時系列が年間、半年、四半期など、季節や時期の影響を受ける場合に発生します。周期パターン、または単にサイクルは、データが他の期間、つまり季節よりもはるかに長い期間 (たとえば、 10 年) またははるかに短い期間 (たとえば、毎週)で上昇と下降を示す場合に発生します。準周期性は、より一般的な不規則な周期性です。

• ボックス・ジェンキンス法
• 発振
• 周期関数
• 周期性（曖昧さ回避）
• 光周性

• フランセス、フィリップ・ハンス（1996年）。経済時系列の周期性と確率的傾向。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-877454-0。
• Ghysels, Eric; Osborn, Denise R. (2001).季節時系列の計量分析ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56588-X。
• Hylleberg, Svend (1986)。回帰分析における季節性。オーランド: Academic Press。ISBN 0-12-363455-5。
• Hyndman, Rob J.; Athansopoulos, George (2021).予測：実践と原則（第3版）。ISBN 978-0-9875071-3-6。

• ウィキメディア・コモンズの季節性に関するメディア
• NIST/SEMATECH の統計手法の電子ハンドブックにおける季節性

 この記事には、NIST/SEMATECH の統計手法の電子ハンドブック ( National Institute of Standards and Technology)のパブリック ドメイン資料が組み込まれています。