一次元調和振動子
ラダーオペレーター方式 束縛固有状態の確率密度| ψ n ( x ) | 2 を 、一番下の基底状態 ( n = 0 ) から始めて、上に向かってエネルギーが増加するように示しています。横軸は位置x を示し、明るい色は確率密度が高いことを意味します。 ポール・ディラック によって開発された「ラダー演算子 」法は、微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出することを可能にする。この方法は、特に量子場理論 において、より複雑な問題にも一般化できる。このアプローチに従って、演算子を定義する。1 ^ {\displaystyle {\hat {a}}} 随伴 1 ^ † \displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} 1 ^ = m ω 2 ℏ （ x ^ + 私 m ω p ^ ） 1 ^ † = m ω 2 ℏ （ x ^ − 私 m ω p ^ ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}} 生成子であることに注意してください。 x {\displaystyle x} m d x d t {\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}} つまり 、それらは古典的な調和振動子の時間的な順方向および逆方向への変化を記述する。
これらの演算子により、次の表現が得られます。x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} x ^ = ℏ 2 m ω （ 1 ^ † + 1 ^ ） p ^ = 私 ℏ m ω 2 （ 1 ^ † − 1 ^ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}({\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}})~.\end{aligned}}}
演算子a は 、それ自体とその随伴演算子a † が等しくないため、エルミート 演算子ではありません。エネルギー固有状態| n ⟩ 1 ^ † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ 1 ^ | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}
上記の関係から、次のような性質を持つ 数値演算子Nを定義することもできます。 N ^ = 1 ^ † 1 ^ N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}&={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {N}}\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}
以下の交換子は、 正準交換関係 を代入することで容易に得られる。 [ 1 ^ 、 1 ^ † ] = 1 、 [ N ^ 、 1 ^ † ] = 1 ^ † 、 [ N ^ 、 1 ^ ] = − 1 ^ 、 {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}},}
ハミルトン演算子は次のように表すことができます。 H ^ = ℏ ω （ N ^ + 1 2 ） 、 {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right),}
したがって、N ^ {\displaystyle {\hat {N}}} H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle }
H ^ | n ⟩ = ℏ ω （ N ^ + 1 2 ） | n ⟩ 。 {\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}
数値演算子の性質を利用するN ^ {\displaystyle {\hat {N}}}
N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ 、 {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}
我々は以下を得る：
H ^ | n ⟩ = ℏ ω （ n + 1 2 ） | n ⟩ 。 {\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}
したがって、| n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } H ^ {\displaystyle {\hat {H}}}
E n = ℏ ω （ n + 1 2 ） 。 {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}
証明終了。
交換法則により N ^ 1 ^ † | n ⟩ = （ 1 ^ † N ^ + [ N ^ 、 1 ^ † ] ） | n ⟩ = （ 1 ^ † N ^ + 1 ^ † ） | n ⟩ = （ n + 1 ） 1 ^ † | n ⟩ 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}
同様に、 N ^ 1 ^ | n ⟩ = （ n − 1 ） 1 ^ | n ⟩ 。 {\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|n\rangle =(n-1){\hat {a}}|n\rangle .}
これはつまり1 ^ {\displaystyle {\hat {a}}} | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } | n − 1 ⟩ {\displaystyle |n-1\rangle } 1 ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } | n + 1 ⟩ {\displaystyle |n+1\rangle } 1 ^ {\displaystyle {\hat {a}}} これは消滅演算子 （「降下演算子」）と呼ばれ、1 ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} 生成演算子 （ 「上昇演算子」）。この 2 つの演算子を合わせてラダー演算子 と呼びます。
任意のエネルギー固有状態が与えられた場合、エネルギー低下演算子a を作用させることで、ħωだけエネルギーが低い別の固有状態を生成できます。エネルギー低下演算子を繰り返し適用することで、 E = −∞n = ⟨ n | N | n ⟩ = ⟨ n | 1 † 1 | n ⟩ = （ 1 | n ⟩ ） † 1 | n ⟩ ⩾ 0 、 {\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}
数値演算子の最小固有値は0であり、 1 | 0 ⟩ = 0. {\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}
この場合、エネルギー低下演算子を後続に適用しても、追加のエネルギー固有状態ではなく、単にゼロが生成されるだけです。さらに、上で示したように、 H ^ | 0 ⟩ = ℏ ω 2 | 0 ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }
最後に、| 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 正規化係数 を乗じることで、無限個のエネルギー固有状態を生成することができる。 { | 0 ⟩ 、 | 1 ⟩ 、 | 2 ⟩ 、 … 、 | n ⟩ 、 … } 、 {\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}
そのため H ^ | n ⟩ = ℏ ω （ n + 1 2 ） | n ⟩ 、 {\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}
任意の固有状態は、| 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } | n ⟩ = （ 1 † ） n n ! | 0 ⟩ 。 {\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}
証拠 ⟨ n | 1 1 † | n ⟩ = ⟨ n | （ [ 1 、 1 † ] + 1 † 1 ） | n ⟩ = ⟨ n | （ N + 1 ） | n ⟩ = n + 1 ⇒ 1 † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ ⇒ | n ⟩ = 1 n 1 † | n − 1 ⟩ = 1 n （ n − 1 ） （ 1 † ） 2 | n − 2 ⟩ = ⋯ = 1 n ! （ 1 † ） n | 0 ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}
自然の長さスケールとエネルギースケール 量子調和振動子は、長さとエネルギーに関して自然なスケールを持ち、これを利用して問題を単純化することができる。これらは無次元化 によって求めることができる。
その結果、エネルギーを ħω 距離を √ħ /( mω ) 。 H = − 1 2 d 2 d x 2 + 1 2 x 2 、 {\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},} ψ n （ x ） = ⟨ x ∣ n ⟩ = 1 2 n n ! π − 1 / 4 exp （ − x 2 / 2 ） H n （ x ） 、 {\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp \left(-x^{2}/2\right)~H_{n}(x),} E n = n + 1 2 、 {\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,} H n x )はエルミート多項式 である。
混乱を避けるため、この記事ではこれらの「自然単位」はほとんど使用しません。しかし、計算を行う際には、煩雑さを解消できるため、しばしば役立ちます。
例えば、この振動子の時間依存シュレーディンガー演算子H − i∂ t の基本解 (プロパゲーター) は、単純にメーラーカーネル に帰着します。[ 15 ] [ 16 ] ⟨ x | exp （ − 私 t H ） | y ⟩ ≡ K （ x 、 y ; t ） = 1 2 π 私 罪 t exp （ 私 2 罪 t （ （ x 2 + y 2 ） コス t − 2 x y ） ） 、 {\displaystyle \left\langle x\right|\exp(-itH)\left|y\right\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)\cos t-2xy\right)\right)~,} K ( x , y ;0) = δ ( x − y )である。与えられた初期配置ψ ( x ,0)ψ （ x 、 t ） = ∫ d y K （ x 、 y ; t ） ψ （ y 、 0 ） 。 {\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}
コヒーレント状態 コヒーレント状態ダイナミクスα = 10 {\displaystyle \alpha ={\sqrt {10}}} x 0 = ℏ / m ω {\displaystyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega }}} | ψ （ x 、 t ） | 2 {\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}} 調和振動子のコヒーレント状態 （グラウバー状態とも呼ばれる）は、最小不確定性σ x σ p = ℏ ⁄ 2 を持つ特別な非分散波束 であり、その観測量 の期待値は 古典系のように進化する。これらはハミルトニアンではなく消滅演算子の固有ベクトルであり、結果として直交性を欠く 過剰完全 基底を形成する。
コヒーレント状態は、α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } | n⟩ 。
| α ⟩ = ∑ n = 0 ∞ | n ⟩ ⟨ n | α ⟩ = e − 1 2 | α | 2 ∑ n = 0 ∞ α n n ! | n ⟩ = e − 1 2 | α | 2 e α 1 † e − α * 1 | 0 ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .\end{aligned}}}
コヒーレント状態はエネルギー固有状態ではないため、その時間発展は波動関数の位相の単純な変化ではありません。しかし、時間発展した状態もまたコヒーレント状態ですが、位相シフトパラメータαが 存在します。α （ t ） = α （ 0 ） e − 私 ω t = α 0 e − 私 ω t {\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}
| α （ t ） ⟩ = ∑ n = 0 ∞ e − 私 （ n + 1 2 ） ω t | n ⟩ ⟨ n | α ⟩ = e − 私 ω t 2 e − 1 2 | α | 2 ∑ n = 0 ∞ （ α e − 私 ω t ） n n ! | n ⟩ = e − 私 ω t 2 | α e − 私 ω t ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha (t)\rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle \end{aligned}}}
なぜなら1 | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle a\left|0\right\rangle =0} ユニタリー 変位演算子と等価である。 | α ⟩ = e α 1 ^ † − α * 1 ^ | 0 ⟩ = D （ α ） | 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }
⟨ x ^ ⟩ α （ t ） = 2 ℏ m ω | α 0 | コス （ ω t − ϕ ） ⟨ p ^ ⟩ α （ t ） = − 2 m ℏ ω | α 0 | 罪 （ ω t − ϕ ） {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}&={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\left|\alpha _{0}\right|\cos {(\omega t-\phi )}\\[1ex]\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}&=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}\left|\alpha _{0}\right|\sin {(\omega t-\phi )}\end{aligned}}}
どこϕ {\displaystyle \phi } は複素数α によってもたらされる位相である。これらの式は粒子の振動挙動を裏付けている。
数値計算法を用いて算出された不確実性は以下のとおりです。
σ x （ t ） = ℏ 2 m ω σ p （ t ） = m ℏ ω 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}(t)&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\\\sigma _{p}(t)&={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}\end{aligned}}}
これによりσ x （ t ） σ p （ t ） = ℏ 2 {\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}} ℏ 2 {\textstyle {\frac {\hbar }{2}}} ψ α （ x ′ ） = （ m ω π ℏ ） 1 4 e 私 ℏ ⟨ p ^ ⟩ α （ x ′ − ⟨ x ^ ⟩ α 2 ） − m ω 2 ℏ （ x ′ − ⟨ x ^ ⟩ α ） 2 。 {\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}
各エネルギー固有状態の確率を計算することで、波動関数のエネルギー分布を求めることができる。
P （ E n ） = | ⟨ n | α ⟩ | 2 = e − | α | 2 | α | 2 n n ! {\displaystyle P(E_{n})=\left|\langle n|\alpha \rangle \right|^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}
これはポアソン分布 に対応する。
非常に興奮した状態 量子調和振動子のn =30
n が大きい場合、固有状態は古典的に許容される領域、すなわちエネルギーE n を持つ古典粒子が運動できる領域に局在します。固有状態は転換点、つまり古典的に許容される領域の両端で古典粒子が方向を変える点の近くでピークを示します。この現象は、エルミート多項式の漸近展開 、およびWKB近似 によって検証できます。
x における振動周波数は、エネルギーE n x にある古典粒子の運動量p ( x )p ( x ) に 反比例し、古典粒子が x 付近に滞在する時間の長さを反映しています。転換点の小さな近傍におけるシステムの挙動は、単純な古典的説明では説明できませんが、エアリー関数 を用いてモデル化できます。エアリー関数の性質を用いると、粒子が古典的に許容される領域の外側に存在する確率を、おおよそ次のように推定できます。 2 n 1 / 3 3 2 / 3 Γ 2 （ 1 3 ） = 1 n 1 / 3 ⋅ 7.46408092658... {\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}} 1 2 π ∫ 0 ∞ e （ 2 n + 1 ） （ x − 1 2 シン （ 2 x ） ） d x 。 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}
二次元調和振動子 2次元直交座標系調和振動子と円筒座標系における2次元等方性調和振動子については、Müller-Kirstenの著書で詳細に扱われている。[ 19 ]
N 次元等方性調和振動子N = 1, 2, 3, ...の N 座標 x 、これは N個の x 1 , ..., x N p 1 , ..., p N 正準交換関係は 次のとおりです 。[ x 私 、 p j ] = 私 ℏ δ 私 、 j [ x 私 、 x j ] = 0 [ p 私 、 p j ] = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}
このシステムのハミルトニアンは H = ∑ 私 = 1 N （ p 私 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 私 2 ） 。 {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}
このハミルトニアンの形式が示すように、N N個の独立した1次元調和振動子と全く同じです。この場合、量 x 1 , ..., x N は、 N r 2
この観察により、解決策は簡単になります。特定の量子数のセットに対して{ n } ≡ { n 1 、 n 2 、 … 、 n N } {\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}} N
⟨ x | ψ { n } ⟩ = ∏ 私 = 1 N ⟨ x 私 ∣ ψ n 私 ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }
ラダー演算子法では、N個
1 私 = m ω 2 ℏ （ x 私 + 私 m ω p 私 ） 、 1 私 † = m ω 2 ℏ （ x 私 − 私 m ω p 私 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}
一次元の場合と同様の手順で、各演算子a i a i † が ℏω H = ℏ ω ∑ 私 = 1 N （ 1 私 † 1 私 + 1 2 ） 。 {\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).} U ( N ) ( N U 1 私 † U † = ∑ j = 1 N 1 j † U j 私 すべての人々のために U ∈ U （ N ） 、 {\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),} U j 私 {\displaystyle U_{ji}} は、 U ( N )
システムのエネルギー準位は E = ℏ ω [ （ n 1 + ⋯ + n N ） + N 2 ] 。 {\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].} n 私 = 0 、 1 、 2 、 … （ 次元におけるエネルギー準位 私 ） 。 {\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}
一次元の場合と同様に、エネルギーは量子化されます。基底状態のエネルギーは、N N 縮退しており、同じエネルギーを持つ状態 が
縮退度は比較的簡単に計算できます。例として、3次元の場合を考えてみましょう。n = n 1 + n 2 + n 3 と 、 n 1 を n 2 + n 3 = n − n 1となり ます。n 2 、 n 3 の ペアは n − n 1 + 1 通りあります。n 2 は 0 から n − n 1 まで n 2 n 3 g n = ∑ n 1 = 0 n n − n 1 + 1 = （ n + 1 ） （ n + 2 ） 2 {\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}} 一般のN n g n U ( N )の対称既約 n g n = （ N + n − 1 n ） = （ N + n − 1 ） ! n ! （ N − 1 ） ! 、 n = n 1 + n 2 + n 3 + ⋯ 。 {\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}={\frac {(N+n-1)!}{n!(N-1)!}},\;\;\;n=n_{1}+n_{2}+n_{3}+\cdots .} N = 3 は、この一般方程式から直接導かれる。ただし、これは識別可能な粒子、つまりマクスウェル・ボルツマン統計（量子統計ではない）または N N N n E {\displaystyle E} g n {\displaystyle g_{n}} E {\displaystyle E} [ 20 ]
g n = p （ N − 、 n ） 。 {\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n).}
これは、 N ∑ k = 0 ∞ k n k = n {\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n} ∑ k = 0 ∞ n k = N {\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}
例：3次元等方性調和振動子 シュレーディンガー方程式の3次元球面調和軌道解を2次元密度プロットで示したもの。プロット生成に使用したMathematicaソースコードは上部に記載されています。 球対称な三次元調和振動子中の粒子に対するシュレーディンガー方程式は、変数分離法によって明示的に解くことができる。この手順は、水素様原子 問題で行われた変数分離法と類似しているが、異なる球対称ポテンシャルを用いる。 V （ r ） = 1 2 μ ω 2 r 2 、 {\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},} μ は粒子の質量です。mは 後述の磁気量子数に使用されるため、質量は 、この記事の前半で使用したm ではなく、μで表されます。
この方程式の解は次のとおりです。[ 21 ] ψ k l m （ r 、 θ 、 ϕ ） = N k l r l e − ν r 2 L k （ l + 1 2 ） （ 2 ν r 2 ） Y l m （ θ 、 ϕ ） {\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}
N k l = 2 ν 3 π 2 k + 2 l + 3 k ! ν l （ 2 k + 2 l + 1 ） ! ! {\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~} ν ≡ μ ω 2 ℏ {\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~} L k （ l + 1 2 ） （ 2 ν r 2 ） {\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})} これらは一般化されたラゲール多項式 です。多項式の次数k は非負の整数であり、波動関数の動径部分の節の数と一致します。
Y l m （ θ 、 ϕ ） {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,} は球面調和関数 である。ħ は換算プランク定数 です。ℏ ≡ h 2 π 。 {\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.} エネルギー固有値は E = ℏ ω （ 2 k + l + 3 2 ） 。 {\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).} 量子数で表されます。 n ≡ 2 k + l 。 {\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}
k は非負整数であるため、偶数nに対しては ℓ = 0, 2, ..., n − 2, n nに対しては ℓ = 1, 3, ..., n − 2, n mは − ℓ ≤ m ≤ ℓ を 満たす整数であるため、n とℓに対して m でラベル付けされた2 ℓ + 1 種類の異なる量子状態が存在します。したがって、レベル n での縮退度は ∑ l = … 、 n − 2 、 n （ 2 l + 1 ） = （ n + 1 ） （ n + 2 ） 2 、 {\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,} ここで、 n が偶数か奇数 かによって、和は0または1から始まります。この結果は上記の次元式と一致しており、関連する退化群であるSU(3)の対称表現の次元に相当します [ 22 ] 。
アプリケーション
調和振動子格子：フォノン 調和振動子の表記法は、多数の粒子からなる一次元格子に拡張できます。N 個の同一原子からなる一次元量子力学的調和鎖を考えてみましょう。 これは 格子の最も単純な量子力学的モデルであり、これからフォノンが どのように発生するかを見ていきます。このモデルのために展開する形式は、2 次元および 3 次元にも容易に一般化できます。前のセクションと同様に、質量の位置を 平衡位置から測った x 1 、 x 2 、 ... で表します (つまり、粒子iが平衡位置にある場合は x i = 0 です)。2 次元以上では、x i ハミルトニアンは次のようになります。
H = ∑ 私 = 1 N p 私 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { 私 j } （ n n ） （ x 私 − x j ） 2 、 {\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,} m は各原子の（均一と仮定される）質量であり、 x i p i はi 番目の原子の位置演算子と運動量 演算子であり、和は最近接原子（nn）について取られます。ただし、より便利なフーリエ空間 で作業できるように、ハミルトニアンを粒子座標ではなく波数ベクトル の正規モード で書き直すのが一般的です。
3つの振動双極子の重ね合わせ - 異なるn、l、mに対する共通波動関数の時間伝播を示す そこで、 x sの離散フーリエ変換 として定義されるN 個の「正規座標」Q k と、 p sのフーリエ変換として定義されるN 個 の「共役運動量」 Π を導入します。 Q k = 1 N ∑ l e 私 k 1 l x l {\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}} Π k = 1 N ∑ l e − 私 k 1 l p l 。 {\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}
量k n は 波数、すなわち 2πを 波長 で割った値になります。原子の数が有限であるため、この値は量子化されます。
これにより、実空間または波数ベクトル空間のいずれにおいても、望ましい交換関係が維持される。
3つの異なる原子の共通波動関数の時間発展を示す別の図は、角運動量が分布挙動に及ぼす影響を強調している。 [ x l 、 p m ] = 私 ℏ δ l 、 m [ Q k 、 Π k ′ ] = 1 N ∑ l 、 m e 私 k 1 l e − 私 k ′ 1 m [ x l 、 p m ] = 私 ℏ N ∑ m e 私 1 m （ k − k ′ ） = 私 ℏ δ k 、 k ′ [ Q k 、 Q k ′ ] = [ Π k 、 Π k ′ ] = 0 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}
全体的な結果から ∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ′ Q k Q k ′ ∑ l e 私 1 l （ k + k ′ ） e 私 1 m k ′ = ∑ k Q k Q − k e 私 1 m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}} 1 2 m ω 2 ∑ j （ x j − x j + 1 ） 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k （ 2 − e 私 k 1 − e − 私 k 1 ） = 1 2 m ∑ k ω k 2 Q k Q − k 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}&={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}\left(2-e^{ika}-e^{-ika}\right)\\&={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,\end{aligned}}} ω k = 2 ω 2 （ 1 − コス （ k 1 ） ） 。 {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}
ハミルトニアンは波数ベクトル空間で次のように表すことができます。 H = 1 2 m ∑ k （ Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ） 。 {\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}
位置変数間の結合は変換によって取り除かれていることに注意してください。もしQ とΠ がエルミート行列であれば（実際はそうではありませんが）、変換されたハミルトニアンは N 個の非結合 調和振動子を記述することになります。
量子化の形式は境界条件の選択に依存します。簡略化のため、周期 境界条件を課し、（N + 1） 番目の原子を最初の原子と同等と定義します。物理的には、これは鎖の両端を結合することに対応します。結果として得られる量子化は次のようになります。
k = k n = 2 n π N 1 のために n = 0 、 ± 1 、 ± 2 、 … 、 ± N 2 。 {\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}
n の上限値は、上で述べたように、格子間隔a の2倍である最小波長から導き出される。
モードωkの調和振動子の固有値またはエネルギー準位は次 。 E n = （ 1 2 + n ） ℏ ω k のために n = 0 、 1 、 2 、 3 、 … {\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }
零点エネルギーを 無視すると、準位は等間隔に並びます。 0 、 ℏ ω 、 2 ℏ ω 、 3 ℏ ω 、 ⋯ {\displaystyle 0,\ \hbar \omega ,\ 2\hbar \omega ,\ 3\hbar \omega ,\ \cdots }
したがって、調和振動子格子を次のエネルギー準位に押し上げるには、正確な 量のエネルギー ħω を供給する必要があります。電磁場が量子化される 光子 の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノン と呼ばれます。
すべての量子系は波動性と粒子性を示します。フォノンの粒子性は、他の箇所で説明されている第二量子化 法と演算子法を用いることで最もよく理解できます。[ 23 ]
連続体極限 では、a → 0N → ∞Na Q k ϕ k {\displaystyle \phi _{k}} i (変位の動的変数ではない ) がスカラー場のパラメータx引数になる一方で、 ϕ （ x 、 t ） {\displaystyle \phi (x,t)}
フックの原子モデル は、量子調和振動子を用いたヘリウム 原子の単純なモデルである。 フックの法則は、ばね上を移動する質量をモデル化しており、質量に作用する力はその変位に比例します。[ 11 ] この仮定から、ばねに取り付けられた質量の一般解を導き出すことができる。[ 11 ] 質量の変位は、Aと-Aでそれぞれ最大値と最小値に達する。ここでAは振幅と呼ばれる。 このシステムは、総エネルギーが変化しず、運動エネルギーと位置エネルギーの間で継続的に再分配される保存系とみなされます。
ディラック発振器 調和振動子のエネルギーの観点からの考察E = p 2 / 2 m + m ω 2 q 2 / 2 {\displaystyle E={\mathbf {p}}^{2}/2m+m\omega ^{2}q^{2}/2} p μ p μ + m 2 = 0 {\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }+m^{2}=0} [ 28 ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}\\[1ex]\left\langle p^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c79f54ace002114be119ee9b1ba32793168c10a)
![{\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed0a5443b83fa4c3eeb07bbfa48e4d8c7a11282)
![\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6b12f40df454c8a56520e7dcb360b987c593f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da70a3844a6f78047daf1cd2877cf00a6b6ceae1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}&={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\left|\alpha _{0}\right|\cos {(\omega t-\phi )}\\[1ex]\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}&=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}\left|\alpha _{0}\right|\sin {(\omega t-\phi )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05e7ff84dda711f9e946245c39285e63d83ab98)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e7043822f15a1286e25a58789951f39e0585e5)
![{\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ecf3199f08b2da7ca91c54e0eb4785315151f6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(kk')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c7ccd4c0df07ca1880602ec1e747b06c2e11a3)
