ハンティング振動

この運動学的記述は、力を無視しているため、いくつかの単純化された仮定に基づいています。たとえば、転がり抵抗はゼロであると仮定しています。車輪セット（列車やトラックに取り付けられていないもの）を、直線で水平な線路上で前方に押します。車輪セットは惰性で動き始め、力が働かないため（車輪セットが線路に付着して滑らないようにするための下向きの力を除く）、減速することはありません。車輪セットが最初に線路の中心にある場合、各車輪の有効直径は同じで、車輪セットは線路を永遠に完全に直線で転がります。しかし、車輪セットがわずかに中心からずれていて有効直径（または半径）が異なる場合、車輪セットは半径Rの曲線を描き始めます（これらの車輪セットの半径などに依存します。後で導出します）。問題は、運動学的推論を使用して車輪セットの軌跡、より正確には、線路の中心にある路盤に垂直に投影された車輪セットの中心の軌跡を求めることです。これは、水平な地球表面上の軌跡であり、x - yグラフ上にプロットされます。ここで、xは鉄道に沿った距離、yは「トラッキング誤差」、つまり、車輪セットの中心が線路の中心（2本のレールの中間点）を通る直線からどれだけずれているかを示します。

車輪セットの軌跡が曲線を描くことを示す例として、平らなテーブルの上に釘やネジを置いて押すと良いでしょう。釘やネジは直径の異なる車輪を持つ車輪セットのようなものなので、円を描くように転がります。頭の部分は直径の大きい車輪、尖った部分は直径の小さい車輪に相当します。釘やネジは一周（それ以上）回転しますが、鉄道の車輪セットは挙動が異なります。曲線を描き始めるとすぐに、有効直径が変化して軌跡の曲率が小さくなるからです。ここで「半径」と「曲率」は、完全に直線の線路である鉄道の曲率ではなく、車輪セットの軌跡の曲率を指していることに注意してください。車輪セットが転がり続けると、有効直径が等しくなり軌跡が曲がらなくなるまで曲率は小さくなっていきます。しかし、この地点では軌道に傾斜があり（軌道の中心線を斜めに横切る直線です）、軌道の中心線をオーバーシュートし、有効直径が反転します（以前は直径が小さかった車輪が直径が大きくなり、その逆も同様です）。この結果、車輪セットは反対方向に曲線を描いて移動します。再び中心線をオーバーシュートし、この現象は車輪セットが左右に振動しながら無限に続きます。車輪フランジがレールに接触しないことに注意してください。このモデルでは、レールは常にレールヘッド上の同じ線に沿って車輪の踏面に接触すると想定されています。これは、レールがナイフエッジであり、（幅がゼロの）線に沿ってのみ車輪の踏面に接触すると想定しています。

列車は車輪の踏面が円錐形であるため、線路から外れることなく走行します。車輪セットがy （トラッキング誤差）だけ片側にずれると、レールと接触している踏面の半径は片側で小さくなり、もう片側で大きくなります。両方の車輪の角速度は同じ（固定車軸で連結されているため）なので、直径の大きい踏面は回転速度が上がり、小さい踏面は回転速度が下がります。車輪セットは、レール上の車輪との接触点を通る円錐の母線と車輪セットの軸との交点によって定義される曲率中心を中心に旋回します。相似三角形を適用すると、旋回半径は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$

ここで、 dは軌間、rは直進時の車輪半径、kはトレッドテーパー（軌道に垂直な水平方向のトレッドの傾斜）である。

直線軌道に対する車輪セットの経路は、軌道に沿った進行度をxとする関数y ( x )で定義されます。これはトラッキング誤差と呼ばれることもあります。 ^{[ 3 ]}運動の方向がレールとほぼ平行である場合、経路の曲率は、軌道に沿った距離に関するyの2階微分と近似的に関連付けられる可能性があります。 ^{[ 4 ]}

$\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}}$

したがって、軌道に沿った軌跡は次の式によって支配される。 ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y}$

これは波長を持つ単振動です。

${\displaystyle \lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}}$ クリンゲルの公式（1883年に考案）として知られている^{[ 6 ]}

この運動学的解析は、列車が常に左右に揺れていることを示唆しています。実際には、この振動は臨界速度以下では減衰し、それに応じて乗り心地はより快適になります。運動学的結果は、運動を引き起こす力を無視しています。これらの力は、クリープ（非線形）の概念を使用して解析できますが、接触領域での車輪とレールの弾性変形から生じるため、単純に定量化するのはやや困難です。これらは摩擦接触力学の対象であり、これらの効果をハンチング運動解析に含めた初期のプレゼンテーションはCarterによって発表されました。^{[ 7 ]}歴史的概観についてはKnothe ^{[ 8 ]を参照してください。}

車輪の動きがレールとほぼ平行であれば、車輪セットの角変位は${\displaystyle \left(\theta \right)}$次のように与えられます。

${\displaystyle \theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}$

したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}}$

角変位も単純な調和運動に従い、左右方向の動きに対して1/4周期遅れます。2つの異なる状態（この場合は車軸のヨー変位と横方向変位）を含む調和運動によって特徴付けられる多くのシステムでは、2つの動きの間の1/4周期の遅れにより、システムは前進運動からエネルギーを取り出す能力を持ちます。この効果は、航空機の翼の「フラッター」や道路車両の「シミー」、鉄道車両のハンチングなどで観察されます。上記で導出された運動学的解は、臨界速度での運動を記述します。

実際には、臨界速度以下では、2つの運動間の時間差は1/4サイクル未満であるため、運動は減衰するが、臨界速度以上では、時間差は1/4サイクルより大きくなるため、運動は増幅される。

慣性力を推定するためには、距離微分を時間微分として表す必要がある。これは、一定と仮定される車両の速度Uを用いて行われる。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}}$

ヨー方向における車軸の角加速度は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

慣性モーメント（ジャイロ効果を無視した場合）は次のとおりです。

${\displaystyle Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}}$

ここで、Fはレールに沿って作用する力であり、Cは車輪セットの慣性モーメントである。

${\displaystyle F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta }$

車輪とレール間の最大摩擦力は次式で与えられる。

${\displaystyle F=\mu {\frac {W}{2}}}$

ここでWは車軸荷重であり、${\displaystyle \mu }$は摩擦係数です。大きな滑りは、速度と車軸のたわみの組み合わせによって発生します。

${\displaystyle \theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}}$

この式は臨界速度を大幅に過大評価する結果となるが、ハンチングが発生する物理的な理由、すなわち、ある速度を超えると慣性力が付着力と同程度になる理由を明確に示している。この場合、摩擦力を制限することは付着力を適切に表現するものではない。

実際の付着力は、接触領域における踏面とレールの変形によって生じます。大きな滑りはなく、弾性変形と局所的な滑り（クリープ滑り）のみが発生します。通常の運転時、これらの力は摩擦限界値の範囲内に収まります。完全な解析では、転がり接触力学の理論を用いてこれらの力を考慮に入れます。

しかし、運動学的解析では、車輪とレールの接触面で全く滑りがないことを前提としていた。実際には、クリンゲルの式に基づいて計算された車輪セットの正弦波軌道は厳密には正しくないことが明らかになった。