隠れたアトラクター

分岐理論では、定常状態の安定性を失うことなく発生する有界振動を隠れ振動と呼びます。非線形制御理論では、有界状態を持つ時不変制御システムにおける隠れ振動の発生は、パラメータ領域において、定常状態の局所安定性が大域安定性を意味する境界を越えることを意味します（例えば、カルマン予想を参照）。隠れ振動（または、動的システムの位相空間のコンパクトな部分集合を埋めるそのような隠れ振動の集合）が近くのすべての振動を引き付ける場合、それは隠れアトラクターと呼ばれます。大域的に吸引的な唯一の平衡点を持つ動的システムの場合、隠れアトラクターの発生は、単安定性から双安定性への挙動の質的な変化に対応します。一般的には、動的システムは多安定であり、位相空間に共存する局所アトラクターを持つ可能性があります。自明なアトラクター、すなわち安定平衡点は解析的または数値的に容易に見つけることができるが、周期的およびカオス的なアトラクターの探索は困難な問題となる可能性がある（例えば、ヒルベルトの第16問題の後半を参照）。

物理的または数値的な実験において局所アトラクターを特定するには、アトラクターの吸引領域内でシステムの初期状態を選択し、この初期状態から始まるシステムの過渡的なプロセスを経て、システムの状態がどのようにアトラクターを可視化するかを観察する必要がある。アトラクターが隠れているか自己励起されているかという分類は、吸引領域を明らかにし、位相空間内で局所アトラクターを探すことの難しさを反映している。

定義。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}アトラクターの吸引領域が平衡点の特定の開いた近傍と交差しない場合、そのアトラクターは隠れアトラクターと呼ばれ、そうでない場合は自己励起アトラクターと呼ばれます。

アトラクターを隠れたものか自己励起のものかに分類するという概念は、2009年にG. LeonovとN. Kuznetsovが隠れたChuaアトラクター^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}を発見した際に 初めて導入されました。同様に、位相空間において吸引領域として必ずしも開いた近傍を持たない任意の有界振動も、自己励起振動または隠れた振動として分類されます。

アトラクターを自己励起型または隠れ型に分類することは、アンドロノフの振動理論の現代的発展を表す隠れ振動理論の出現の基本的な前提であった。^{[ 13 ] : 39 [ 14 ]} これは、グローバル安定性の正確な境界を決定する鍵であり、その一部はN.クズネツォフによって自明（つまり、局所的分岐によって決定される）または隠れ（つまり、非局所的分岐と隠れ振動の発生によって決定される）として分類されている。^{[ 15 ] [ 16 ]}

• 多重安定性と隠れたアトラクターを持つカオスシステム（編者：Wang、Kuznetsov、Chen）、Springer、2021年（doi:10.1007/978-3-030-75821-9）
• 自己励起および隠れたアトラクターを持つ非線形力学系（編者：Pham、Vaidyanathan、Volos 他）、Springer、2018年（doi:10.1007/978-3-319-71243-7）

• N.クズネツォフ、招待講演「隠れた振動の理論と力学系の安定性」、応用数学に関する国際ワークショップ、チェコ共和国、2021年
• アフライモビッチ賞基調講演：N. クズネツォフ「隠れた振動の理論と力学系の安定性」。非線形力学と複雑性に関する国際会議、2021年