対称化

数学において、対称化とは、変数内の任意の関数を変数内の対称関数に変換するプロセスです。同様に、反対称化とは、変数内の任意の関数を反対称関数に変換します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

を集合とし、を加法アーベル群とする。写像は${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$対称 マップ は$${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ すべての }}s,t\in S に対して。}$$反対称マップの代わりに $${\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ S 内のすべての }}s,t に対して}$$

のマップの対称化はマップです 同様に、${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)。}$反対称化または地図の歪対称化は地図${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)。}$

マップの対称化と反対称化の合計は 、したがって、2 から離れるほど、つまり、実数のように2 が逆である場合は、2 で割って、すべての関数を対称関数と反対称関数の合計として表すことができます。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle 2\alpha .}$

対称マップの対称化はその 2 倍ですが、交代マップの対称化は 0 です。同様に、対称マップの反対称化は 0 ですが、反対称マップの反対称化はその 2 倍です。

双線型写像の対称化と反対称化は双線型です。したがって、2 から離れると、すべての双線型形式は対称形式と歪対称形式の合計となり、対称形式と二次形式の間に違いはありません。

2 では、すべての形式が対称形式と歪対称形式に分解できるわけではありません。たとえば、整数 上では、関連する対称形式 (有理数 上)は半整数値を取ることがありますが、関数 上では、対称である場合 ( として) に限り歪対称です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle 1=-1}$

これにより、ε-二次形式と ε-対称形式 の概念が生まれます。

表現論の観点から見ると：

• 変数を交換すると、2変数の関数の空間上の対称群の表現が得られる。
• 対称関数と反対称関数は、自明表現と符号表現に対応する部分表現であり、
• 対称化と反対称化は関数をこれらの部分表現にマッピングします。2 で割ると、これらは射影マップになります。

2次の対称群は2次の巡回群（）に等しいので、これは2次の 離散フーリエ変換に対応します。${\displaystyle \mathrm {S} _{2}=\mathrm {C} _{2}}$

より一般的には、変数の関数が与えられた場合、変数のすべての順列の合計を取ることによって対称化することができます^{[1] 。または、すべての}偶数順列の合計を取り、すべての奇数順列の合計を引くことによって反対称化することができます（唯一の順列が偶数である場合を除く）。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!/2}$ ${\displaystyle n!/2}$${\displaystyle n\leq 1,}$

ここで対称関数を対称化すると、乗算されます。したがって、特性フィールドまたはで作業する場合のように可逆である場合、これらをで割ると投影が得られます。${\displaystyle n!}$${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle p>n,}$${\displaystyle n!.}$

表現論では、これらは自明な表現と符号表現に対応する部分表現のみを生成しますが、他にも存在します。対称群と対称多項式の表現論を参照してください。 ${\displaystyle n>2}$

変数の関数が与えられた場合、変数の要素サブセットの合計を取ることで、変数の対称関数を得ることができます。統計学では、これをブートストラップと呼び、関連する統計をU 統計と呼びます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

• 交代多重線型写像 – 引数が線形従属関係にあるときは常に 0 となる多重線型写像
• 反対称テンソル – 任意の転置の負に等しいテンソル

• ハゼウィンケル、ミヒエル(1990)。『数学百科事典: ソビエト版『数学百科事典』の最新版と注釈付き翻訳』第 6 巻。Springer。ISBN 978-1-55608-005-0。