ポール・ハルモス

ポール・リチャード・ハルモス（ハンガリー語: Halmos Pál [ ˈhɒlmoʃ paːl ]、1916年3月3日 - 2006年10月2日）は、ハンガリー生まれのアメリカ人数学者、確率論者で、数理論理学、確率論、作用素論、エルゴード理論、関数解析（特にヒルベルト空間）の分野で根本的な進歩を遂げた。彼はまた、優れた数学解説者としても認められていた。彼は火星人の一人として描写されている。^{[ 1 ]}

ハンガリー王国でユダヤ人の家庭に生まれたハルモスは、13歳でアメリカ合衆国に移住した。彼はシカゴのリンカーンパークにあるロバート・A・ウォラー高校に1929年に入学し、1931年に卒業した。彼はイリノイ大学で数学を専攻し、哲学の学位取得に必要な要件を満たしながら学士号を取得した。彼はわずか3年で学位を取得し、卒業時は19歳だった。その後、彼はシャンペーン・アーバナ校で哲学の博士課程に進んだ。しかし、修士課程の口頭試験に不合格になった後、 ^{[ 2 ]}数学に転向し、1938年に卒業した。ジョセフ・L・ドゥーブが彼の博士論文「特定の確率変換の不変量：ギャンブルシステムの数学理論」を指導した。^{[ 3 ]}

卒業後まもなく、ハルモスは就職先も研究費もないまま高等研究所へ向かった。半年後、彼はジョン・フォン・ノイマンの下で研究することになり、それが決定的な経験となった。研究所在籍中に、ハルモスは最初の著書『有限次元ベクトル空間』を執筆し、数学の優れた解説者としての名声をたちまち確立した。^{[ 4 ]}

彼は1967年から1968年にかけて、ダブリンのトリニティ・カレッジでドネガル数学講師を務めた。

ハルモスは、シラキュース大学、シカゴ大学（1946～60年）、ミシガン大学（1961～67年頃）、ハワイ大学（1967～68年）、インディアナ大学（1969～85年）、カリフォルニア大学サンタバーバラ校（1976～78年）で教鞭を執った。1985年にインディアナ大学を退職してからは、亡くなるまでサンタクララ大学の数学科に所属していた（1985～2006年）。

ハルモスは、1962年に出版された著書『代数論理』に再録された一連の論文の中で、多項式代数を考案した。これは、アルフレッド・タルスキとその弟子たちが提唱した、よりよく知られた円筒代数とは異なる、一階述語論理の代数的バージョンである。多項式代数の初歩的なバージョンは、単項ブール代数で説明されている。

ハルモスは、数学への独創的な貢献に加え、大学数学を非常に明快かつ魅力的に解説する人物でもありました。彼は1971年にレスター・R・フォード賞を受賞し^{[ 5 ]}、1977年にも再び受賞しました（WP・ジーマー、WH・ウィーラー、SH・ムールガフカー、JH・ユーイング、WH・グスタフソンと共同受賞）^{[ 6 ]} 。ハルモスは、 1973年に出版された学術数学のAMSスタイルガイドを作成したアメリカ数学会委員会の委員長を務めました。1983年には、解説に対するAMSのルロイ・P・スティール賞を受賞しました。

ハルモスは『アメリカン・サイエンティスト』誌の記事で、数学は創造的な芸術であり、数学者は数字を扱う人ではなく芸術家として見られるべきだと主張した。^{[ 7 ]}彼は数学を数学学と数理物理学に分けることについて論じ、さらに数学者と画家は関連する考え方や方法で仕事をしていると主張した。

ハルモスの1985年の「自伝的数学書」『数学者になりたい』は、20世紀アメリカにおける大学数学者としての生活を描いたものである。彼はこの本を「自伝」ではなく「自伝的数学書」と呼んだ。なぜなら、本書は彼の私生活ではなく、数学者としての生活にほぼ完全に焦点を当てているからである。本書には、数学を行うことの意味についてのハルモスの見解を示す以下の引用が含まれている。

ただ読むだけではなく、それに挑んでみましょう！自分で疑問を持ち、自分で例を探し、自分で証明を見つけましょう。仮説は必要でしょうか？逆は真でしょうか？古典的な特殊ケースでは何が起こるでしょうか？退化したケースはどうでしょうか？証明はどこで仮説を使用しているでしょうか？^{[ 8 ]}

これらの回想録の中で、ハルモスは「 if and only if 」という語句の「iff」記法を発明し、証明の終わりを示すために「墓石」記法を最初に使用したと主張している^{[ 10 ]。}そして、これは一般的に事実であると認められている。墓石記号∎（Unicode U+220E）は、ハルモスと呼ばれることもある^{[ 11 ]}。

1994年、ハルモスは、大学における数学教育の卓越性を称えるデボラ・アンド・フランクリン・ハイモ賞を受賞した。^{[ 12 ]}

2005年、ハルモスと妻のバージニア・ハルモスは、数学に対する一般の人々の見方を向上させる可能性のある書籍に贈られる、アメリカ数学協会による年次賞であるオイラー書籍賞を設立した。第1回は、レオンハルト・オイラー生誕300周年にあたる2007年に、ベルンハルト・リーマンとリーマン予想に関する著書『素数への執着』でジョン・ダービーシャーに贈られた。^{[ 13 ]}

2009年、ジョージ・シセリーはハルモスを題材にしたドキュメンタリー映画『私は数学者になりたい』を制作した。^{[ 14 ]}

ハルモスの著書は非常に多くの書評を生み出し、リストが作成されている。^{[ 15 ] [ 16 ]}

• 1942年。有限次元ベクトル空間。シュプリンガー・フェルラーク。^{[ 17 ]}
• 1950年。測度論。シュプリンガー・フェルラーク。^{[ 18 ]}
• 1951年。ヒルベルト空間とスペクトル多重度理論入門。チェルシー。^{[ 19 ]}
• 1956年。エルゴード理論に関する講義。チェルシー。^{[ 20 ]}
• 1960年。『素朴な集合論』。シュプリンガー・フェルラーク。
• 1962年。『代数論理学』チェルシー。
• 1963年。『ブール代数講義』。ヴァン・ノストランド社。
• 1967年。ヒルベルト空間問題集。シュプリンガー・フェルラーク。
• 1973年。（ノーマン・E・スティーンロッド、メナヘム・M・シファー、ジャン・A・デュードネとの共著）。『数学の書き方』。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-0055-3
• 1978年。（VS Sunderとの共著）。L²空間上の有界積分作用素。Springer Verlag ISBN 978-3540088943^{[ 21 ]}
• 1985年。『私は数学者になりたい』。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0387960784
• 1987年。『私は写真のような記憶力を持っている』。アメリカ数学協会。ISBN 978-0821819395
• 1991年。『数学者のための問題集：若手からベテランまで』、ドルチアーニ数学解説シリーズ、アメリカ数学協会。ISBN 978-0883853207
• 1996年。『線形代数問題集』、ドルチアーニ数学解説シリーズ、アメリカ数学協会。ISBN 978-0883853221
• 1998年。（スティーブン・ギヴァントとの共著）『論理としての代数』ドルチアーニ数学解説第21巻、アメリカ数学協会。ISBN 978-1470451134^{[ 22 ]}
• 2009年（スティーブン・ギヴァントとの共著、死後出版）『ブール代数入門』。ISBN 978-1-4419-2324-0^{[ 23 ]}スプリンガー。

• しわくちゃの弧
• 交換子部分空間
• 不変部分空間問題
• 素朴集合論
• 非標準分析に対する批判
• 火星人（科学者）

• JH Ewing; FW Gehring (1991). Paul Halmos: Celebrating 50 Years of Mathematics . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97509-8OCLC 22859036​​ 1991年までのハルモスの著作の書誌情報も収録されている。
• ジョン・ユーイング（2007年10月）「ポール・ハルモス：彼自身の言葉で」 （PDF）。アメリカ数学会報。54 （9）：1136–1144 。 2008年1月15日取得。
• ポール・R・ハルモス（1985）。数学者になりたい：自動記述。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-96470-3. OCLC 230812318 . 
• Paul R. Halmos (1970). 「数学の書き方」(PDF) . L'Enseignement mathématique . 16 (2): 123– 152.

• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「ポール・ハルモス」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• 「ポール・ハルモス：数学に捧げた生涯」、アメリカ数学協会（MAA）
• 有限次元ベクトル空間
• 「演算子の例」：ポール・ハルモスがオーストラリア滞在中の2週間に実施した、ヒルベルト空間における演算子に関する一連のビデオ講義。ブリスコー・センター・デジタル・コレクション所蔵。