手と目の調整問題

ロボット工学と数学において、手と目のキャリブレーション問題（ロボットとセンサーのキャリブレーション問題、ロボットと世界のキャリブレーション問題とも呼ばれる）は、ロボットのエンドエフェクタとセンサー（カメラまたはレーザースキャナー）間、またはロボットのベースと世界座標系間の変換を決定する問題である。^{[1]これは、概念的には生物学的な}手と目の協調に類似している（そのためこの名前が付けられている）。これは $AX=ZB$ の形をとり、ここでAとBは 2 つのシステム（通常はロボットのベースとカメラ）であり、 $X$ と $Z は$ 未知の変換行列である。この問題のよく研究されている特殊なケースは、 $X=Z$ の場合で、問題 $AX=XB$ の形をとる。この問題の解法は、分離可能な閉形式解、同時閉形式解、反復解など、いくつかの種類の方法の形をとる。^{[2]方程式の} $X$ の共分散は、任意のランダムに摂動された行列 $A$ と $B$ について計算できる。^[3]

この問題はロボットのキャリブレーションの重要な部分であり、ソリューションの効率と精度によってロボットのキャリブレーションの速度精度が決まります。

方法

問題を解決するために、分離可能なソリューションと同時ソリューションのいずれかとして広く定義される、さまざまな方法とソリューションが開発されました。各タイプのソリューションには、特定の利点と欠点があり、問題に対する定式化と適用方法も異なります。すべての方法に共通するテーマは、回転を表すために四元数を使用することです。

分離可能なソリューション

方程式 $AX=ZB$ を考えると、方程式を純粋に回転部分と並進部分に分解することが可能であり、これを利用する方法は分離法と呼ばれる。R $A は$ $3$ ×3回転行列、 $t A は$ 3×1並進ベクトルを表し、方程式は2つの部分に分解できる。^[4]

R A R X = R Z R B

R A t X + t A = R Z t B + t Z

$R Z$ が分かっている場合、2 番目の方程式は線形になります。そのため、最も一般的なアプローチは、最初の方程式を使用して $R x$ と $R zを解き、次に$ $R z を$ 使用して2 番目の方程式の変数を解くことです。回転は四元数を使用して表されるため、線形解を見つけることができます。分離可能な方法は便利ですが、回転行列の推定値の誤差は、変換ベクトルに適用すると増幅されます。^[5]他の解決策では、この問題を回避しています。

同時解決

$同時解は、 X$ と $Zの$ 両方を同時に解くことに基づいているため（分離解のように一方の部分の解を他方の部分に基づいて求めるのではなく）、誤差の伝播が大幅に減少します。 ^[6]行列をデュアル四元数として定式化することで、 $Xを$ 線形形式で解くことができる線形方程式を得ることができます。 ^[5]別の方法として、最小二乗法を行列 $A\otimesBの$ クロネッカー積に適用します。実験結果によって確認されているように、同時解は分離四元数解よりも誤差が少なくなります。^[6]

反復的なソリューション

反復解法は、誤差伝播の問題を解決するために使用される別の方法です。反復解法の一例は、 $||AX-XB||を最小化するプログラムです。プログラムが反復するにつれて、$ $R$ $B$ の初期ロボットの向きに関係なく、 $X$ の解に収束します。解法は 2 段階の反復プロセスにすることもでき、同時解法と同様に、方程式をデュアルクォータニオンに分解することもできます。^[7]ただし、問題に対する反復解法は一般に同時かつ正確ですが、実行に計算上の負担がかかり、必ずしも最適な解に収束するとは限りません。^[5]

AX=XBの場合

行列方程式 $AX=XB （$ $X$ は未知数）には、幾何学的アプローチで簡単に調べられる無数の解がある。^[8] $X$ を求めるには、 2つの方程式 $A 1 X=XB 1$ と $A 2 X=XB 2$ の同時セットを考慮する必要がある。行列 $A 1 、A 2 、B 1 、B 2$ は、最適な方法で実行される実験によって決定されなければならない。 ^[9]

2Dレーザープロファイルスキャナケース

${\begin{bmatrix}p_{b}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{b}&T_{b}\\0&1\end{bmatrix}}\centerdot {\begin{bmatrix}R_{s}&T_{s}\\0&1\end{bmatrix}}\centerdot {\begin{bmatrix}p_{s}\\1\end{bmatrix}}$

ここで、はロボットベースシステム内の点の未知の座標を表し、はロボットベースシステムとエンドエフェクタ間の既知の関係を表し、はエンドエフェクタとスキャナ間の未知の関係を表し、はローカルスキャナシステム内の点の既知の座標です。方法は次のとおりです。 $p_{b}$ $p$ $R_{b},T_{b}$ $R_{s},T_{s}$ $p_{s}$ $p$

直線エッジ

手と目の較正には直定規を使用する方法がある。^[10]

参考文献

^ Amy Tabb、Khalil M. Ahmad Yousef。「反復法によるロボットの世界の手と目のキャリブレーション問題の解決」2019年7月29日。
^ Mili I. Shah、Roger D. Eastman、Tsai Hong Hong。「知覚システムの評価のためのロボットセンサーキャリブレーション方法の概要」2012年3月22日
^ フイ・グエン、クアン・クオン・ファム。「AX = XB における X の共分散について」 2017 年 6 月 12 日。
^ Amy Tabb、Khalil Yousef。「反復法によるロボットの世界の手と目のキャリブレーション問題の解決」マシンビジョンとアプリケーション、2017 年 8 月、第 28 巻、第 5-6 号、pp 569-590。
^ abc Mili Shah 他「知覚システムの評価のためのロボットセンサー校正方法の概要」
^ ab Algo Li、他「デュアルクォータニオンとクロネッカー積を使用したロボットワールドとハンドアイの同時キャリブレーション」International Journal of the Physical Sciences Vol. 5(10)、pp. 1530-1536、2010年9月4日。
^ Zhiqiang Zhang、他「手と目のキャリブレーションのための計算効率の高い方法」2017年7月19日。
^ Irene Fassi、Giovanni Legnani「手とセンサーの較正：行列方程式 AX =XB の幾何学的解釈」Journal of Robotic Systems、2005 年 7 月 28 日
^ Giovanni Legnani. 「行列方程式 AX = XB の幾何学的解釈を使用した手とカメラのキャリブレーションの最適化」International Journal of Robotics and Automation - 2018 年 1 月。
^ Xu, Jing; Hoo, Jian Li; Dritsas, Stylianos; Fernandez, Javier Gomez (2022-02-01). 「一般的なオブジェクトの直線エッジを使用した2Dレーザープロファイルスキャナーのハンドアイキャリブレーション」. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing . 73 : 102221. doi :10.1016/j.rcim.2021.102221. ISSN 0736-5845.

[1] Amy Tabb、Khalil M. Ahmad Yousef。「反復法によるロボットの世界の手と目のキャリブレーション問題の解決」2019年7月29日。

[2] Mili I. Shah、Roger D. Eastman、Tsai Hong Hong。「知覚システムの評価のためのロボットセンサーキャリブレーション方法の概要」2012年3月22日

[3] フイ・グエン、クアン・クオン・ファム。「AX = XB における X の共分散について」 2017 年 6 月 12 日。

[4] Amy Tabb、Khalil Yousef。「反復法によるロボットの世界の手と目のキャリブレーション問題の解決」マシンビジョンとアプリケーション、2017 年 8 月、第 28 巻、第 5-6 号、pp 569-590。

[tsapps-5] Mili Shah 他「知覚システムの評価のためのロボットセンサー校正方法の概要」

[dual-quaternions-6] Algo Li、他「デュアルクォータニオンとクロネッカー積を使用したロボットワールドとハンドアイの同時キャリブレーション」International Journal of the Physical Sciences Vol. 5(10)、pp. 1530-1536、2010年9月4日。

[7] Zhiqiang Zhang、他「手と目のキャリブレーションのための計算効率の高い方法」2017年7月19日。

[8] Irene Fassi、Giovanni Legnani「手とセンサーの較正：行列方程式 AX =XB の幾何学的解釈」Journal of Robotic Systems、2005 年 7 月 28 日

[9] Giovanni Legnani. 「行列方程式 AX = XB の幾何学的解釈を使用した手とカメラのキャリブレーションの最適化」International Journal of Robotics and Automation - 2018 年 1 月。

[10] Xu, Jing; Hoo, Jian Li; Dritsas, Stylianos; Fernandez, Javier Gomez (2022-02-01). 「一般的なオブジェクトの直線エッジを使用した2Dレーザープロファイルスキャナーのハンドアイキャリブレーション」. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing . 73 : 102221. doi :10.1016/j.rcim.2021.102221. ISSN 0736-5845.