ムーファンループ

数学において、ムーファン ループは特殊な種類の代数構造です。多くの点で群に似ていますが、結合的である必要はありません。ムーファン ループは、ルース ムーファン(1935)によって導入されました 。滑らかなムーファン ループには、関連する代数であるマルセフ代数があり、リー群に関連するリー代数があるのといくつかの点で似ています。

Moufangループは、 、、のすべての に対して次の 4 つの同値な恒等式を満たすループ です( の二項演算は並置によって表されます)。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle z(x(zy))=((zx)z)y}$
2. ${\displaystyle x(z(yz))=((xz)y)z}$
3. ${\displaystyle (zx)(yz)=(z(xy))z}$
4. ${\displaystyle (zx)(yz)=z((xy)z)}$

これらのアイデンティティは、 Moufang アイデンティティとして知られています。

• 任意のグループは連想ループであり、したがって Moufang ループです。
• 非ゼロ八元数は、八元数の乗算において非結合的な Moufang ループを形成します。
• 単位ノルム八元数の部分集合（O内の7 次元球面を形成）は乗算に関して閉じているため、Moufang ループを形成します。
• 単位ノルム積分八元数のサブセットは、次数 240 の有限 Moufang ループです。
• 基底八元数とその加法逆数は、次数 16 の有限 Moufang ループを形成します。
• 可逆な分割八元数の集合は、単位ノルム分割八元数の集合と同様に、非結合的な Moufang ループを形成します。より一般的には、体F上の任意の八元数代数の可逆な元の集合は、単位ノルム元の部分集合と同様に、Moufang ループを形成します。
• 交代環 Rのすべての可逆な元の集合は、Rの単位ループと呼ばれる Moufang ループを形成します。
• 任意の体Fについて、M ( F ) がF上の（一意の）分割八元数代数の単位ノルム元の Moufang ループを表すものとします。Z が M ( F ) の中心を表すものとします。 Fの標数が 2 の場合、Z = { e } であり、それ以外の場合はZ = {± e } です。F上のペイジループはループM *( F ) = M ( F )/ Zです。ペイジループは非結合的な単純 Moufang ループです。すべての有限の非結合的な単純 Moufang ループは有限体上のペイジループです。最小のペイジループM *(2) の位数は 120 です。
• 非結合的なムーファンループの大規模なクラスは、次のように構築できます。Gを任意のグループとします。Gに含まれない新しい元uを定義し、 M ( G,2) = G ∪(G u)とします。M ( G , 2 )の積は、Gの元とおよびの通常の積で与えられます。 ${\displaystyle 1\cdot u=u}$

  ${\displaystyle (gu)h=(gh^{-1})u}$

  ${\displaystyle g(hu)=(hg)u}$

  ${\displaystyle (gu)(hu)=h^{-1}g.}$

と が成り立ちます。上記の積M ( G ,2) は Moufang ループです。Gがアーベルである場合に限り、結合的です。${\displaystyle u^{2}=1}$${\displaystyle ug=g^{-1}u}$

• 最小の非結合的MoufangループはM ( S3,2 )であり_、その位数は12である。
• リチャード・A・パーカーは、 2 ¹³の位数のムーファンループを構築し、これはコンウェイがモンスター群の構築に使用しました。パーカーのループは、1、-1 で示される要素を持つ位数 2 の中心を持ち、中心による商は、2 進ゴレイコードと同一視される位数 2 ¹²の基本アーベル群です。ループは、同型性まで次の方程式によって定義されます。

  A ² = (−1) ^{| A |/4}

  BA = (−1) ^{| A ∩ B |/2} AB

  A ( BC )= (−1) ^{| A ∩ B ∩ C |} ( AB ) C

ここで、| A | はコードワードAの要素数です。詳細については、Conway, JH、Curtis, RT、Norton, SP、Parker, RA、および Wilson, RA: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups (オックスフォード、イギリス) を参照してください。

Moufang ループは結合性を必要としない点で群と異なります。結合性を持つ Moufang ループは群です。Moufang 恒等式は結合性の弱い形式と見なすことができます。

様々な要素をアイデンティティに設定することで、Moufangアイデンティティは次のことを示唆します。

• x ( xy ) = ( xx ) y    左代替恒等式
• ( xy ) y = x ( yy )    正しい代替恒等式
• x ( yx ) = ( xy ) x    柔軟な恒等式（柔軟な代数と代替代数を参照）。

ムーファンの定理は、ムーファン ループ内の3 つの要素x、y、z が結合法則 ( xy ) z = x ( yz ) に従う場合、結合サブループ、つまりグループを生成することを述べています。この定理の帰結として、すべてのムーファン ループは非結合的(つまり、ムーファン ループの任意の 2 つの要素によって生成されるサブループは結合的であり、したがってグループである) です。特に、ムーファン ループはべき乗結合的であるため、べき乗x ^{n は}明確に定義されます。ムーファン ループを扱う場合、2 つの異なる要素のみを含む式では括弧を省略するのが一般的です。たとえば、ムーファン恒等式は次のように明確に記述できます。

1. z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
2. (( xz ) y ) z = x ( zyz )
3. ( zx )( yz ) = z ( xy ) z です。

ムーファン恒等式は、 Q上の左乗算演算子と右乗算演算子を使って記述できる。最初の2つの恒等式は、

• ${\displaystyle L_{z}L_{x}L_{z}(y)=L_{zxz}(y)}$
• ${\displaystyle R_{z}R_{y}R_{z}(x)=R_{zyz}(x)}$

3番目のアイデンティティは

• ${\displaystyle L_{z}(x)R_{z}(y)=B_{z}(xy)}$

すべてにおいてです。これはによる二重乗法です。したがって、3 番目の Moufang 恒等式は、すべてにおいての三つ組がのオートトピーであるというステートメントと同等です。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle B_{z}=L_{z}R_{z}=R_{z}L_{z}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle (L_{z},R_{z},B_{z})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Q}$

すべての Moufang ループには逆特性があります。これは、各要素xには次の恒等式を満たす両側逆元 x ⁻¹があることを意味します。

${\displaystyle x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}}$

すべてのxとyに対して となります。したがっての場合に限り となります。 ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$${\displaystyle x(yz)=e}$${\displaystyle (xy)z=e}$

Moufang ループは逆特性ループの中では普遍的です。つまり、ループQが Moufang ループとなるのは、 Qのすべてのループ同位体が逆特性を持つ場合のみです。したがって、Moufang ループのすべてのループ同位体は Moufang ループになります。

逆関数を使用して、左と右の Moufang 恒等式をより便利な形式で書き直すことができます。

• ${\displaystyle (xy)z=(xz^{-1})(zyz)}$
• ${\displaystyle x(yz)=(xyx)(x^{-1}z).}$

有限ループQ は、 Qのすべてのサブループの位数がQの位数を割り切る場合、ラグランジュ特性を持つと言われています。群論におけるラグランジュの定理は、すべての有限群がラグランジュ特性を持つと述べています。有限の Moufang ループがラグランジュ特性を持つかどうかは、長年未解決の問題でした。この問題は、Alexander Grishkov と Andrei Zavarnitsine によって最終的に解決され、2003 年に Stephen Gagola III と Jonathan Hall によって独立に解決されました。すべての有限の Moufang ループはラグランジュ特性を持ちます。近年、Stephen Gagola III によって、有限群の理論に関するより多くの結果が Moufang ループに一般化されました。

ムーファン恒等式の 1 つを満たす任意の準群は、実際には恒等元を持つ必要があり、したがってムーファンループになります。ここでは 3 番目の恒等式の証明を示し ます。

a をQの任意の要素とし、eをae = aとなる唯一の要素とします。

Q内の任意のxに対して、 ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa )( ex ) が成立します。

左側でxa を消去するとx = exとなり、e は左単位元になります。

ここで、 Q内の任意のyについて、ye = ( ey )( ee ) =( e ( ye )) e = ( ye ) e となります。

右側のe を消去するとy = yeとなるので、eも右単位元です。

したがって、e は両側単位元です。

最初の 2 つの恒等式の証明はやや困難です (Kunen 1996)。

フィリップスの問題は、プラハで開催された Loops '03 で JD フィリップスが発表した理論における未解決問題です。この問題は、自明な核を持つ奇数次の有限 Moufang ループが存在するかどうかを問うものです。

ループ（またはより一般的には準群）の核は、となり、ループ内のすべての に対して が成り立つようなの集合 であることを思い出してください。${\displaystyle x}$${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$${\displaystyle y(xz)=(yx)z}$${\displaystyle y(zx)=(yz)x}$${\displaystyle y,z}$

参照：ループ理論と準群論の問題

• マルチェフ代数
• ボルループ
• ジャイログループ
• ムーファン飛行機
• 牟芳多角形

• GAP 用の LOOPS パッケージ このパッケージには、次数 81 までのすべての非結合 Moufang ループを含むライブラリが含まれています。
• 「Moufangループ」。PlanetMath 。