GF(2)

GF(2)（、Z /2 Z、とも表記される）は、2つの元を持つ有限体である。^{[1] [a]}${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

GF(2)は、可能な限り最小の元を持つ体であり、加法単位元と乗法単位元がそれぞれ0と1、いつも通り。

GF(2)の要素は、ビットの 2 つの可能な値とブール値の trueとfalseと同一視できます。したがって、GF(2) はコンピューター サイエンスとその論理的基礎において基本的かつ普遍的なものです。

GF(2)は、加法恒等式と乗法恒等式がそれぞれ0と1 .

その加算は、通常の整数の加算（ただし 2 を法とする）として定義され、以下の表に対応します。

GF(2)の要素をブール値として見ると、加算は論理XOR演算と同じになります。各要素はその反対の要素に等しいため、減算は加算と同じ演算になります。

GF(2) の乗算は、通常の 2 を法とする乗算 (下の表を参照) であり、ブール変数では論理 AND演算に対応します。

GF(2)は、2、つまり整数環 Z をすべての偶数のイデアル2 Zで割った商環、つまりGF (2) = Z /2 Zです。

Z ₂および の表記法が使用されることがあるが、これらは の表記法と混同される可能性がある。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$2進整数。

GF(2)は体なので、有理数や実数などの数体系のよく知られた性質の多くが保持されます。

• 加算には単位元（0）と各要素の逆元がある。
• 乗算には単位元（1）と0以外のすべての元に対する逆元がある。
• 加算と乗算は交換法則と結合法則に従います。
• 乗算は加算よりも分配的です。

実数では馴染みのない特性としては、次のようなものがあります。

• GF ( 2)のあらゆる元xはx + x = 0を満たすので、−x = xとなる。これはGF(2)の特性が2であることを意味する。
• GF(2) のすべての元x はx ² = xを満たします(つまり、乗算に関してべき等です)。これはフェルマーの小定理の例です。GF(2) はこの特性を持つ唯一の体です (証明: x ² = xの場合、x = 0またはx ≠ 0のいずれかです。後者の場合、x には乗法逆元がなければなりません。その場合、両辺をxで割るとx = 1になります。すべての大きな体には 0 と 1 以外の元が含まれ、それらの元はこの特性を満たすことができません)。

上記の代数的性質により、多くのよく知られた強力な数学のツールが他の分野と同様に GF(2) でも機能します。たとえば、行列の逆行列を含む行列演算は、GF(2) の要素を持つ行列に適用できます (行列環を参照 )。

V内のすべてのv に対してv  +  v = 0 という性質を持つ任意の群( V,+ ) は必然的にアーベル群であり、 V内のすべてのvに対して0 v  = 0 および 1 v  =  vと定義することで、自然な形で GF(2) 上のベクトル空間に変換できます。このベクトル空間は基底を持ち、これはVの要素の数が2 の累乗 (または無限大) でなければならないことを意味します。

現代のコンピュータでは、データはマシンワードと呼ばれる固定長のビット文字列で表現されます。これらは、GF(2) 上のベクトル空間の構造を備えています。このベクトル空間の加算は、XOR (排他的論理和)と呼ばれるビット演算です。ビット ANDはこのベクトル空間での別の演算で、このベクトル空間はブール代数、つまりすべてのコンピュータサイエンスの基礎となる構造になります。これらの空間は、乗算演算で拡張して GF(2 ⁿ )体にすることもできますが、乗算演算はビット演算にすることはできません。n自体が 2 の累乗である場合、乗算演算はnim 乗算にすることができます。あるいは、任意の n に対して、既約多項式を法とする GF(2) 上の多項式の乗算を使用できます(たとえば、Advanced Encryption Standard暗号の説明における体 GF(2 ⁸ ) の場合など)。

GF(2)上のベクトル空間と多項式環は、符号理論、特に誤り訂正符号と現代の暗号で広く使用されています。たとえば、多くの一般的な誤り訂正符号（BCH符号など）は、GF(2)上の線形符号（GF(2)上のベクトル空間から定義される符号）または多項式符号（ GF(2)上の多項式環の 商として定義される符号）です。

あらゆる体と同様に、GF(2)には代数的閉包があります。これは、GF(2) を部分体として含む体Fであり、 GF(2) 上で代数的であり(つまり、Fのすべての元はGF(2) に係数を持つ多項式の根です)、代数的に閉じています( Fに係数を持つ任意の非定数多項式はFに根を持ちます)。体Fは、体の自己同型性を除いて(つまり、本質的にその元の表記法を除いて)、これらの特性によって一意に決定されます。

F は可算であり、有限体 GF(2 ^{n ) のそれぞれのコピーを 1 つずつ含みます。GF(2 n} )のコピーがGF(2 ^m )のコピーに含まれるのは、 n がm を割り切る場合のみです。体F は可算であり、これらすべての有限体の和集合です。

コンウェイは、 F は順序数 と同一視できることに気づいた。ここで、加算と乗算の演算は、超限帰納法によって自然に定義される（ただし、これらの演算は、順序数の標準的な加算と乗算とは異なる）。^{[2]この体における加算は実行が簡単で、} Nim加算に似ている。レンストラは、乗算も効率的に実行できることを示した。^[3]${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$

• 1つの要素を持つフィールド