意味
八元数と分割八元数は、四元数 のペアに対する乗算を定義することにより、ケイリー・ディクソン構成 から得ることができます。新しい虚数単位ℓを導入し、四元数 のペア( a , b )を a + bℓ の形で記述します。積は、次の規則で定義されます。[ 1 ]
（ 1 + b ℓ ） （ c + d ℓ ） = （ 1 c + λ d ¯ b ） + （ d 1 + b c ¯ ） ℓ {\displaystyle (a+b\ell )(c+d\ell )=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+(da+b{\bar {c}})\ell } どこ
λ = ℓ 2 。 {\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.} λを -1 に選ぶと、八元数が得られます。一方、λを+1に選ぶと、分割八元数が得られます。分割四元数をケイリー・ディクソン倍化することによっても、分割八元 数を得ることができます。この場合、λ （±1）のどちらを選んでも分割八元数が得られます。
九九表 分割八元数の生成物を覚えるための語呂合わせ。 分割八元数の基底は、次の集合によって与えられる。 { 1 、 私 、 j 、 k 、 ℓ 、 ℓ 私 、 ℓ j 、 ℓ k } {\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}
すべての分割八元数x {\displaystyle x} 線形結合 として記述することができ、
x = x 0 + x 1 私 + x 2 j + x 3 k + x 4 ℓ + x 5 ℓ 私 + x 6 ℓ j + x 7 ℓ k 、 {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,} 実数係数x 1 {\displaystyle x_{a}}
線形性により、分割八元数の乗算は、次の乗算表 によって完全に決定されます。
右の図は、分割八元数の乗算表を表す便利な記憶術です。これは、その親となる八元数（480種類あるうちの1つ）から導き出されたもので、次のように定義されます。
e 私 e j = − δ 私 j e 0 + ε 私 j k e k 、 {\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,} どこδ 私 j \displaystyle \delta _{ij}} クロネッカーデルタ であり、ε 私 j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} レビ＝チヴィタのシンボル は値を持つ+ 1 {\displaystyle +1} 私 j k = 123 、 154 、 176 、 264 、 257 、 374 、 365 、 {\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}
e 私 e 0 = e 0 e 私 = e 私 ; e 0 e 0 = e 0 、 {\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},} とe 0 {\displaystyle e_{0}} 私 、 j 、 k = 1～7。 {\displaystyle i,j,k=1...7.}
赤い矢印は、親の右下象限を否定することによって生じる可能性のある方向反転を示しており、この乗算表で分割八元数を作成します。
分割八元数x の共役は 次のように与えられる。
x ¯ = x 0 − x 1 私 − x 2 j − x 3 k − x 4 ℓ − x 5 ℓ 私 − x 6 ℓ j − x 7 ℓ k 、 {\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,} 八元数についても同様です。
x に関する二次形式 は次のように与えられる。
N （ x ） = x ¯ x = （ x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ） − （ x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 ） 。 {\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).} この二次形式N ( x ) は、N ( x ) = 0となる非ゼロの分割八元数xが存在するため、 等方的な二次形式です。N の 場合、分割八元数はR 上の 8 次元の擬ユークリッド空間 を形成し、二次形式の符号を表すためにR 4,4 と表記されることもあります。
N ( x )≠0の場合、 x には(両側)乗法逆元 x - 1
x − 1 = N （ x ） − 1 x ¯ 。 {\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}
分割八元数は非結合的であるため、通常の行列 (行列の乗算は常に結合的) で表現することはできません。ゾルンは 、修正された行列乗算を使用して、スカラーとベクトルの両方を含む「行列」としてそれらを表現する方法を見つけました。[ 2 ] ベクトル行列を 次の形式の2 × 2 行列として定義します。 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
[ 1 v w b ] 、 {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},} ここで、a とb は実数、v とwは R³ の ベクトルである。これらの行列の乗算を次の規則で定義する。
[ 1 v w b ] [ 1 ′ v ′ w ′ b ′ ] = [ 1 1 ′ + v ⋅ w ′ 1 v ′ + b ′ v + w × w ′ 1 ′ w + b w ′ − v × v ′ b b ′ + v ′ ⋅ w ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}} ここで、· と× は 3-ベクトルの通常のドット積 とクロス積 です。加算とスカラー乗算を通常どおり定義すると、このような行列の集合は、実数上の非結合的な単位元を持つ 8 次元代数を形成し、これはZorn のベクトル行列代数 と呼ばれます。
ベクトル行列の「行列式」を次の規則で定義する。
検出 [ 1 v w b ] = 1 b − v ⋅ w {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} } この行列式は、ゾルンの代数における二次形式であり、以下の合成規則を満たす。
検出 （ A B ） = 検出 （ A ） 検出 （ B ） 。 {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,} ツォルンのベクトル行列代数は、実際には分割八元数の代数と同型である。八元数を書きなさい。x {\displaystyle x}
x = （ 1 + v ） + ℓ （ b + w ） {\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )} どこ1 {\displaystyle a} b {\displaystyle b} v とwは R3 の ベクトルとみなされる純虚数四元数である。分割八元数からツォルンの代数への同型写像は次のように与えられる。
x ↦ ϕ （ x ） = [ 1 + b v + w − v + w 1 − b ] 。 {\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.} この同型写像は、以下の理由によりノルムを保存する。N （ x ） = 検出 （ ϕ （ x ） ） {\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}
アプリケーション 分割八元数は物理法則の記述に用いられる。例えば：
物理学におけるディラック方程式 （自由スピン1/2粒子の運動方程式、例えば電子や陽子）は、ネイティブな分割八元数演算で表現できる。[ 7 ] 超対称量子力学 はオクトニオン拡張を持っています。[ 8 ] ゾルンに基づく分割八元数代数は、局所ゲージ対称SU(3)量子色力学のモデリングに使用できる。[ 9 ] 半径が3倍のボールの上を滑らずに転がるボールの問題は、例外群G 2 の分裂実形式を対称群として持ちます。これは、この問題が分裂八元数を用いて記述できるためです。[ 10 ]
さらに読む R. Foot & GC Joshi (1990)「時空の非標準符号、超弦理論、および分割構成代数」、数理物理学レターズ ハーヴェイ、F.リース（1990）。スピノルと較正 。サンディエゴ：アカデミックプレス。ISBN 0-12-329650-1 。 Nash, Patrick L (1990)「分割八元数代数の構造について」Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi : 10.1007/BF02723550 TA州スプリンガー。 FD フェルドカンプ (2000)。オクタニオン、ジョルダン代数、および例外群 。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-66337-1 。
