投影された力学システム

投影された動的システムは、解が制約セットに制限される動的システムの挙動を調査する数学理論です。この分野は、最適化と平衡問題という静的な世界と常微分方程式という動的世界の両方とつながり、応用されています。投影された動的システムは、投影された微分方程式への流れによって与えられます。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t)))}$

ここで、K は制約セットです。この形式の微分方程式は、不連続なベクトル場を持つことで有名です。

射影動的システムは、通常、時間であるパラメータに対する平衡問題における非静的解の挙動を動的にモデル化したいという要望から発展しました。このダイナミクスは、基礎となる平衡問題が取り組んでいる制約セット（たとえば、金融モデリングにおける投資の非負性、オペレーションズリサーチにおける凸 多面体セットなど）に解が依然として制限される点で、常微分方程式のダイナミクスと異なります。射影動的システムの台頭を助けた特に重要な平衡問題の 1 つは、変分不等式のものです。

投影された動的システムの形式化は、1990 年代に Dupuis と Ishii の論文のセクション 5.3 で始まりました。ただし、同様の概念は、特に変分不等式と微分包含に関連して、これより前の数学文献にも見られます。

投影された微分方程式の解は、常に制約セットK内にとどまらなければなりません。この望ましい結果は、投影演算子と 2 つの重要な凸錐クラスを使用することで実現されます。ここで、K はヒルベルト空間Xの閉じた凸部分集合であるとします。

Kの点xにおける集合Kの法線円錐は次のように与えられる。

${\displaystyle N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,xx^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.}$

点xにおける集合Kの接円錐（または偶有円錐）は次のように与えられる。

${\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(Kx)}}.}$

Xの点xからKへの射影演算子（または最も近い要素写像）は、 Kの点によって与えられ、 ${\displaystyle P_{K}(x)}$

${\displaystyle \|x-P_{K}(x)\|\leq \|xy\|}$

K内の任意のyに対して。

XのベクトルvのKの点xへのベクトル射影演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle \Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta } }.}$

これはベクトル場の方向に計算されたガトー微分である。

ヒルベルト空間Xの閉じた凸集合Kと、 KからXに要素を取り込むベクトル場-Fが与えられたとき、 Kと-Fに関連する射影微分方程式は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).}$

Kの内部では、解は、システムが制約のない常微分方程式である場合と同じように動作します。ただし、ベクトル場はセットの境界に沿って不連続であるため、投影された微分方程式は不連続常微分方程式のクラスに属します。これにより、常微分方程式理論の多くを適用できなくなりますが、-F がリプシッツ連続ベクトル場である場合、区間 上のKの各初期点x(0)=x ₀を通る唯一の絶対連続解が存在することが知られています。 ${\displaystyle [0,\infty )}$

この微分方程式は次のように特徴付けられる。

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K}(x(t))}(-F(x(t)))}$

または

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).}$

ベクトル場-F を負の符号で表記する慣例は、投影された力学系が変分不等式と共有する特定の関係から生じます。文献の慣例では、ベクトル場は変分不等式では正、対応する投影された力学系では負として参照されます。

• 微分変分不等式
• 動的システム理論
• 常微分方程式
• 変分不等式
• 差別的包含
• 相補性理論

• Henry, C.、「計画手順のための不連続右辺を持つ微分方程式」、J. Econom. Theory、4:545-551、1972 年。
• Henry C.、「多値右辺を持つ微分方程式のクラスに対する存在定理」、J. Math. Anal. Appl.、41:179-186、1973 年。
• Aubin, JP および Cellina, A., Differential Inclusions、Springer-Verlag、ベルリン (1984)。
• Dupuis, P. および Ishii, H., Skorokhod問題への解写像の Lipschitz 連続性についてとその応用, Stochastics and Stochastics Reports, 35, 31-62 (1991).
• Nagurney, A. および Zhang, D.、「Projected Dynamical Systems and Variational Inequality with Applications」、Kluwer Academic Publishers (1996)。
• Cojocaru, M., および Jonker L.,ヒルベルト空間上の射影微分方程式の解の存在, Proc. Amer. Math. Soc., 132(1), 183-193 (2004).
• Brogliato, B.、Daniilidis, A.、Lemaréchal, C.、Acary, V.、「相補性システム、投影システム、および差分包含間の等価性について」、Systems and Control Letters、vol.55、pp.45-51 (2006)