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数学において、関数空間は2 つの固定された集合間の関数の集合です。多くの場合、定義域および/または共定義域には、関数空間に継承される追加の構造があります。たとえば、任意の集合Xからベクトル空間への関数の集合は、点ごとの加算とスカラー乗算によって与えられる自然なベクトル空間構造を持ちます。他のシナリオでは、関数空間は位相構造または距離構造を継承する可能性があり、これが関数空間という名前です。

F を体とし、X を任意の集合とする。関数X → Fは、演算が点ごとに定義されるF上のベクトル空間の構造を持つことができる。つまり、任意のf、g  : X → F、任意のX内のx、および任意のF内のcに対して、次のように定義される。 領域 X が追加の構造を持つ 場合、その構造を尊重するすべてのそのような関数の部分集合（または部分空間）を代わりに考えることができる。たとえば、VとX自体がF上のベクトル空間である場合、線型写像の集合X → V は、点ごとの演算を伴うF上のベクトル空間（多くの場合、 Hom ( X , V )と表記される）を形成する。そのような空間の1つは、Xの双対空間、つまり加算とスカラー乗算が点ごとに定義された線型関数X → Fの集合である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$

追加の構造を持たない関数空間の基数次元は、エルデシュ・カプランスキーの定理によって見つけることができます。

関数空間は数学のさまざまな分野に現れます。

• 集合論では、 XからYへの関数の集合は{ X → Y }またはYX^と表記されることがあります。
  • 特別な場合として、集合Xの冪集合は、Xから{0, 1}までのすべての関数の集合（2Xと表記）と同一視されることが^ある。
• XからYへの全単射の集合は と表記されます。階乗表記X ! は、単一の集合Xの順列を表すために使用できます。${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$
• 関数解析では、上記のベクトル空間上の位相を含む連続線型変換について同様のことが見られ、主要な例の多くは位相を持つ関数空間です。最もよく知られている例としては、ヒルベルト空間とバナッハ空間があります。
• 関数解析では、自然数からある集合Xへのすべての関数の集合をシーケンス空間と呼びます。シーケンス空間は、 Xの要素のすべての可能なシーケンスの集合で構成されます。
• 位相幾何学では、位相空間 Xから別の位相空間Yへの連続関数の空間上に位相を置くことを試みることができます。その有用性は空間の性質に依存します。よく使用される例は、コンパクト開位相、たとえばループ空間です。集合論的関数 (つまり、必ずしも連続関数ではない) の空間Y ^X上の積位相もあります。この文脈では、この位相は点ごとの収束の位相とも呼ばれます。
• 代数的位相幾何学において、ホモトピー理論の研究は本質的に関数空間の離散不変量の研究である。
• 確率過程の理論における基本的な技術的問題は、過程の経路（時間の関数）の関数空間上に確率測度をどのように構築するかである。
• 圏論では、関数空間は指数オブジェクトまたはマップオブジェクトと呼ばれます。これは、ある意味では表現標準双関数として現れますが、型の（単一の）関数としては、オブジェクト上の型の関数の随伴関数として現れます。${\displaystyle [X,-]}$${\displaystyle -\times X}$
• 関数型プログラミングとラムダ計算では、関数型は高階関数の概念を表現するために使用されます。
• ドメイン理論における基本的な考え方は、適切に動作するデカルト閉カテゴリを作成することによって、ラムダ計算をモデル化できる半順序からの構成を見つけることです。
• 有限群の表現論では、群Gの2つの有限次元表現VとWが与えられたとき、線型写像 Hom( V , W )のベクトル空間上のGの表現を形成でき、これをHom 表現と呼びます。^[1]

関数解析は、関数空間を位相ベクトル空間として有限次元のノルム空間に適用される考え方の範囲内に収めるための適切な技術を中心に構成されています。ここでは実数直線を例領域として使用しますが、以下の空間は適切な開集合上に存在する${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ 一様ノルム位相を備えた連続関数
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$コンパクトサポート付き連続関数
• ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ 有界関数
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$無限大で消える連続関数
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$r 個の連続導関数を持つ連続関数。
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ スムーズな機能
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ コンパクトなサポートでスムーズな機能
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$ 実解析関数
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$は、 pノルムが有限である測定可能な関数のL ^p空間である。${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$、急速に減少する滑らかな関数のシュワルツ空間とその連続双対緩和分布 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle D(\mathbb {R} )}$極限トポロジーにおけるコンパクトサポート
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ k次までの弱微分が${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$正則関数
• 線形関数
• 区分線形関数
• 連続関数、コンパクトなオープントポロジー
• すべての関数、点収束空間
• 丈夫なスペース
• ホルダー空間
• Càdlàg関数、別名Skorokhod空間
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )}$、その上のすべてのリプシッツ関数の空間はゼロで消えます。${\displaystyle \mathbb {R} }$

y が閉区間[ a , b ]上で定義されるすべての連続関数の関数空間の要素である場合、で定義されるノルムはa ≤ x ≤ bに対するy ( x )の 絶対値の最大値である[ ^2]${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ $${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

均一ノルムまたは上限ノルム（「sup ノルム」） と呼ばれます。

• Kolmogorov, AN, Fomin, SV (1967)。関数理論の要素と関数解析。Courier Dover Publications。
• スタイン、エリアス; シャカルチ、R. (2011)。『関数解析：解析のさらなるトピックへの入門』プリンストン大学出版局。

• 数学関数のリスト
• クリフォード代数
• テンソル場
• スペクトル理論
• 機能決定因子