数理モデル

数理モデルとは、数学的概念と言語を用いて具体 的なシステムを抽象的に記述したものです。数理モデルを開発するプロセスは、数理モデリングと呼ばれます。数理モデルは、応用数学、自然科学、社会科学^{[ 1 ] [ 2 ]} 、工学など、多くの分野で使用されています。特に、オペレーションズリサーチの分野では、ビジネスや軍事作戦における問題を解決するために、数理モデリングと関連ツールの使用について研究しています。モデルは、さまざまなコンポーネントの影響を研究することでシステムを特徴づけるのに役立ち、それによって挙動の予測や特定の問題の解決を行うことができます。

数学モデルは、力学系、統計モデル、微分方程式、ゲーム理論モデルなど、さまざまな形式をとることができます。これらのモデルやその他の種類のモデルは重複することがあり、特定のモデルにはさまざまな抽象構造が含まれます。多くの場合、科学分野の質は、理論側で開発された数学モデルが再現可能な実験結果とどれだけよく一致するかに依存します。理論的な数学モデルと実験測定値の不一致は、より優れた理論が開発されるにつれて重要な進歩につながることがよくあります。物理科学では、伝統的な数学モデルには次の要素のほとんどが含まれています。

1. 支配方程式
2. 補足的なサブモデル
   1. 方程式を定義する
   2. 構成方程式
3. 前提条件と制約
   1. 初期条件と境界条件
   2. 古典的な拘束条件と運動方程式

数学モデルには様々な種類がある。

ビジネスや工学分野では、特定の出力を最大化するために数理モデルが用いられることがあります。検討対象のシステムには、特定の入力が必要です。入力と出力の関係を示すシステムは、決定変数、状態変数、外生変数、確率変数といった他の変数にも依存します。決定変数は独立変数とも呼ばれます。外生変数はパラメータまたは定数とも呼ばれます。状態変数は決定変数、入力変数、確率変数、外生変数に依存するため、変数同士は独立していません。さらに、出力変数はシステムの状態（状態変数で表される）に依存します。

システムとそのユーザーの目的と制約は、出力変数または状態変数の関数として表現できます。目的関数は、モデルのユーザーの視点によって異なります。文脈によっては、目的関数はパフォーマンス指標とも呼ばれ、ユーザーにとって関心のある何らかの尺度となります。モデルが持つことができる目的関数と制約の数に制限はありませんが、数が増えるにつれて、モデルの使用や最適化は（計算的に）複雑になります。たとえば、経済学者は入出力モデルを使用する際に線形代数を適用することがよくあります。多くの変数を持つ複雑な数理モデルは、1つの記号が複数の変数を表すベクトルを使用することで統合できます。

事前情報

数理モデルの問題では、システムの事前情報がどの程度あるかによって、ブラックボックスモデルとホワイトボックスモデルに分類されることがよくあります。ブラックボックスモデルとは、事前情報が全くないシステムのことです。ホワイトボックスモデル（ガラスボックスまたはクリアボックスとも呼ばれる）とは、必要な情報がすべて揃っているシステムのことです。実際には、ほとんどすべてのシステムはブラックボックスモデルとホワイトボックスモデルの中間に位置するため、この概念はどちらのアプローチを取るべきかを判断する際の直感的な指針としてのみ役立ちます。

通常、モデルの精度を高めるためには、できるだけ多くの事前情報を用いることが望ましい。そのため、ホワイトボックスモデルは一般的に扱いやすいと考えられている。なぜなら、情報を正しく利用すれば、モデルは正しく動作するからである。事前情報は、多くの場合、異なる変数間の関係を示す関数の種類を知るという形で得られる。例えば、人体における薬の作用をモデル化する場合、血液中の薬の量が指数関数的に減少することは分かっているが、それでもいくつかの未知のパラメータが残る。薬の量はどのくらいの速さで減少するのか、血液中の初期薬の量はどれくらいなのか、といったことだ。したがって、この例は完全なホワイトボックスモデルとは言えない。モデルを使用する前に、これらのパラメータを何らかの方法で推定する必要がある。

ブラックボックスモデルでは、変数間の関係の関数形式と、それらの関数の数値パラメータの両方を推定しようとします。事前情報を使用すると、たとえば、システムを適切に記述できる可能性のある関数のセットが得られます。事前情報がない場合は、すべての異なるモデルを網羅するために、できるだけ一般的な関数を使用しようとします。ブラックボックスモデルでよく使用されるアプローチは、入力データについて仮定を置かないニューラルネットワークです。あるいは、非線形システム同定の一部として開発されたNARMAX（外生入力付き非線形自己回帰移動平均モデル）アルゴリズム^{[ 6 ]}を使用して、相関のある非線形ノイズが存在する場合に、モデル項を選択し、モデル構造を決定し、未知のパラメータを推定することができます。ニューラルネットワークと比較したNARMAXモデルの利点は、NARMAXは記述可能で、基礎となるプロセスに関連付けられるモデルを生成するのに対し、ニューラルネットワークは不透明な近似を生成することです。

主観的な情報

数学モデルに主観的な情報を組み込むことが有用な場合もあります。これは、直感、経験、専門家の意見に基づいて行うことも、数学的な形式の利便性に基づいて行うこともできます。ベイズ統計学は、このような主観性を厳密な分析に組み込むための理論的枠組みを提供します。すなわち、事前確率分布（主観的なものでも可）を指定し、経験的データに基づいてこの分布を更新します。

このようなアプローチが必要となる例として、実験者がコインを少し曲げて一度投げ、表が出たかどうかを記録し、次に投げたときに表が出る確率を予測するという状況が挙げられます。コインを曲げた後では、コインが表になる真の確率は不明です。そのため、実験者は（おそらくコインの形状を見て）どのような事前分布を用いるかを決定する必要があります。このような主観的な情報を組み込むことは、確率を正確に推定するために重要となる可能性があります。

数学モデルは自然科学、特に物理学において非常に重要である。物理理論はほぼ例外なく数学モデルを用いて表現される。歴史を通じて、より精度の高い数学モデルが開発されてきた。ニュートンの法則は多くの日常的な現象を正確に記述するが、ある一定の限界においては相対性理論や量子力学を用いる必要がある。

物理学では、物事を単純化するために理想化されたモデルを用いるのが一般的です。質量のないロープ、点粒子、理想気体、箱の中の粒子などは、物理学で用いられる多くの単純化されたモデルの一部です。物理法則は、ニュートンの法則、マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式などの単純な方程式で表されます。これらの法則は、現実の状況の数学的モデルを作成するための基礎となります。多くの現実の状況は非常に複雑であるため、コンピュータ上で近似的にモデル化されます。計算可能なモデルは、基本法則から、または基本法則から作成された近似モデルから作成されます。たとえば、分子は、シュレーディンガー方程式の近似解である分子軌道モデルによってモデル化できます。工学では、物理モデルは有限要素解析などの数学的手法によって作成されることがよくあります。

異なる数学モデルは、宇宙の幾何学を必ずしも正確に記述するとは限らない異なる幾何学を使用します。ユークリッド幾何学は古典物理学で広く使用されていますが、特殊相対性理論や一般相対性理論は、ユークリッド幾何学ではない幾何学を使用する理論の例です。 ^{[ 11 ]}

計算モデルとは、物理システムのコンピュータシミュレーションで使用される数学モデルのことである。^{[ 12 ]}

エンジニアが制御または最適化するシステムを分析する際、多くの場合、数理モデルを使用します。分析において、エンジニアはシステムの動作に関する仮説としてシステムの記述モデルを構築したり、予期せぬ事象がシステムにどのような影響を与えるかを推定したりすることができます。同様に、システムの制御においても、エンジニアはシミュレーションでさまざまな制御手法を試すことができます。

数学モデルは通常、一連の変数と、それらの変数間の関係を確立する一連の方程式によってシステムを記述します。変数には、実数や整数、ブール値、文字列など、さまざまな種類があります。変数はシステムの何らかの特性を表し、例えば、測定されたシステム出力は、信号、タイミングデータ、カウンタ、イベント発生などの形で表されます。実際のモデルは、さまざまな変数間の関係を記述する関数の集合です。

• コンピュータサイエンスにおける代表的な例の一つに、様々な機械の数学的モデルがあります。例えば、決定性有限オートマトン（DFA）は抽象的な数学的概念として定義されますが、その決定性ゆえに、様々な特定の問題を解決するためにハードウェアやソフトウェアで実装可能です。例えば、以下はバイナリアルファベットを用いたDFA Mで、入力には偶数個の0が含まれる必要があります。

${\displaystyle M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)}$どこ

• ${\displaystyle Q=\{S_{1},S_{2}\},}$
• ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\},}$
• ${\displaystyle q_{0}=S_{1},}$
• ${\displaystyle F=\{S_{1}\},}$そして
• ${\displaystyle \delta }$以下の状態遷移表によって定義されます。

州${\displaystyle S_{1}}$これは、入力にこれまで偶数個の0があったことを表しています。${\displaystyle S_{2}}$は奇数を表します。入力に 1 が含まれていても、オートマトンの状態は変わりません。入力が終了すると、状態は入力に偶数個の 0 が含まれていたかどうかを示します。入力に偶数個の 0 が含まれていた場合、${\displaystyle M}$州大会で終了する${\displaystyle S_{1},}$受理状態なので、入力文字列は受理されます。

言語は${\displaystyle M}$は正規表現1*( 0 (1*) 0 (1*) )*で与えられる正規言語であり、ここで「*」はクリーネスターであり、例えば 1* は任意の非負の数 (0 個を含む) の記号「1」を表します。

• 普段意識せずに行っている多くの活動は、数学モデルを利用したものです。地球のある地域を小さな平面に投影した地理的地図は、旅行計画など多くの目的に使用できるモデルです。^{[ 13 ]}
• もう1つの簡単なアクティビティは、移動距離は時間と速度の積であるという方程式を使用して、車両の初期位置、方向、および移動速度から車両の位置を予測することです。これは、より正式には推測航法として知られています。このように数学的モデル化するには、必ずしも正式な数学は必要ありません。動物が推測航法を使用していることが示されています。^{[ 14 ] [ 15 ]}
• 人口増加。人口増加の単純な（ただし近似的な）モデルは、マルサスの成長モデルです。もう少し現実的で広く使われている人口増加モデルは、ロジスティック関数とその拡張です。
• ポテンシャル場における粒子のモデル。このモデルでは、粒子を質量点とみなし、空間内の軌跡を描きます。この軌跡は、時間の関数として空間内の座標を与える関数によってモデル化されます。ポテンシャル場は関数によって与えられます。${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} }$そして軌跡は関数である${\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},}$これは微分方程式の解です。$${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$$それは次のように書くこともできます$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].}$$

このモデルは粒子が点質量であると仮定していますが、このモデルを使用する多くのケース（例えば、惑星運動のモデルとして）では、この仮定は明らかに誤りであることがわかっています。

• 消費者の合理的行動モデル。このモデルでは、消費者は選択に直面すると仮定します。${\displaystyle n}$ラベルの付いた商品${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$それぞれに市場価格が設定されている${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.}$消費者は順序効用関数を持つと仮定する${\displaystyle U}$（2つの効用の差の符号のみが意味を持ち、各効用のレベルは意味を持たないという意味で順序尺度）商品の量に応じて${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$消費される。このモデルはさらに、消費者が予算を持っていることを前提としている。${\displaystyle M}$ベクターを購入するために使用される${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$最大化するように${\displaystyle U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$ このモデルにおける合理的行動の問題は、数学的最適化問題となる。すなわち、次のようになる。$${\displaystyle \max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$対象:$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,}$$$${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.}$$このモデルは、一般均衡理論において経済均衡の存在やパレート効率性を示すなど、幅広い経済分野で用いられてきた。
• 近隣感知モデルは、当初は混沌とした菌類ネットワークからキノコが形成される過程を説明するモデルである。
• コンピュータ科学においては、数理モデルを用いてコンピュータネットワークをシミュレーションすることがある。
• 力学においては、ロケット模型の動きを解析するために数学モデルが用いられることがある。

一般的な参考資料

• パトローネ、F.微分方程式によるモデリング入門、批判的考察付き。
• Plusの教師・生徒向けパッケージ：数理モデリング。ケンブリッジ大学のミレニアム数学プロジェクトが発行するオンライン数学雑誌「Plus Magazine」に掲載された、数理モデリングに関するすべての記事をまとめたものです。

哲学的

• フリッグ、R.およびS.ハートマン、「科学におけるモデル」、『スタンフォード哲学百科事典』（2006年春版）
• グリフィス、EC（2010）モデルとは何か？