双曲デーン手術

数学において、双曲デーン手術とは、与えられた尖頭双曲 3 次元多様体からさらに双曲 3 次元多様体を得るための操作です。双曲デーン手術は次元 3 にのみ存在し、3 次元の双曲幾何学を他の次元と 区別するものです。

このような操作は、しばしば双曲デーン充填とも呼ばれます。これは、デーン手術がリンクの近傍をドリルで穴を開け、その後、ソリッド トーラスで埋め戻すというリンクの「ドリル アンド フィル」操作を指すためです。双曲デーン手術は、実際には「充填」のみを伴います。

一般的に、双曲 3 次元多様体は完全であると仮定します。Mがn個の尖端を持つ尖端双曲 3 次元多様体であるとします。Mは、位相的には、トーラス境界を持つコンパクト多様体の内部と考えることができます。各境界トーラス、つまりトーラスの基本群の生成元となる単純な閉曲線に対して、子午線と経度を選択したとします。Mから、傾きを使用してi番目の境界トーラスをソリッド トーラスで埋めることで得られた多様体を とします。ここで、各ペアと は互いに素な整数です。a をとすると、その尖端を埋めない、つまり「空の」デーン充填を行うことになります。したがって、 M = となります。 ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle u_{i}=p_{i}/q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle M(\infty ,\dots ,\infty )}$

有限体積双曲型3次元多様体の空間Hに幾何学的位相を装備します。

サーストンの双曲的デーン手術定理は、各i に対して i 番目の尖点に対して例外的な傾斜の有限集合が回避される限り、は双曲的であることを述べています。空でないデーン充填に対応するすべてに対して、HのMに収束します。^{[要出典]この定理は}ウィリアム・サーストンによるもので、双曲的 3 次元多様体の理論の基礎となります。^{[1]これは、} Hに非自明な極限が存在することを示しています。 ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$${\displaystyle u_{i}}$

トロエルス・ヨルゲンセンの幾何学的位相の研究は、定理にあるように、すべての非自明な極限はデーン充填によって生じることをさらに示している。サーストンによるもう1つの重要な結果は、体積は双曲的デーン充填の下で減少するということである。定理は、もちろんデーン充填多様体が双曲的であると仮定して、位相的デーン充填の下で体積が減少することを述べている。証明はグロモフノルムの基本的な性質に依存している。ヨルゲンセンはまた、この空間上の体積関数が連続した適切な関数であることを示した。したがって、前の結果により、Hの非自明な極限は体積の集合の非自明な極限に取られる。^[要出典]実際、サーストンが行ったように、有限体積双曲型3次元多様体の体積の集合は順序型 を持つとさらに結論付けることができる。この結果はサーストン-ヨルゲンセンの定理として知られている。^{[2]この集合を特徴付けるさらなる研究は}グロモフによって行われた。 ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$

8の字結び目と( -2, 3, 7) プレッツェル結び目は、補節に 6 を超える例外手術があることが知られている唯一の 2 つの結び目です。それぞれ 10 と 7 です。Cameron Gordon は、10 が双曲結び目の補節の例外手術の最大可能数であると予想しました。これは Marc Lackenby と Rob Meyerhoff によって証明されました。彼らは、境界がトーラスで内部が有限体積双曲面であるコンパクトな有向 3 次元多様体の場合、例外的な傾斜の数は 10 であることを示しています。彼らの証明は、Grigori Perelmanによって考案された幾何化予想の証明とコンピューター支援に依存しています。 8の字結び目が10の上限を達成する唯一の結び目であるかどうかは、現在のところ不明です。1つの推測では、上限は（前述の2つの結び目を除いて）6です。アゴルは、例外的な傾きの数が9または10となるケースは有限数しかないことを示しました。

• イアン・アゴル「例外的デーン充填の境界 II」、Geom. Topol. 14 (2010) 1921-1940. arxiv:0803:3088
• Robion Kirby、低次元位相幾何学の問題、（例外的な傾きについては、Cameron Gordonによる問題 1.77 を参照）
• マーク・ラッケンビーとロバート・マイヤーホフ、「例外的なデーン手術の最大数」、arXiv:0808.1176
• ウィリアム・サーストン、「3次元多様体の幾何学と位相」、プリンストン講義ノート（1978-1981）。