局所的な硬直性

リー群の離散部分群の理論における局所剛性定理は、特定のそのような部分群の小さな変形は常に自明であることを示す結果です。これはモストウ剛性とは異なり、超剛性よりも弱い（ただし、より頻繁に成立します）。

最初のそのような定理は、ユニモジュラー群のココンパクト離散部分群に対してアトレ・セルバーグによって証明されました。^[1]その後すぐに、同様の命題がコンパクト双曲多様体の基本群の設定においてエウジェニオ・カラビによって証明されました。最終的に、定理はアンドレ・ヴェイユによって半単純リー群のすべてのココンパクト部分群に拡張されました。^{[2] [3]}非ココンパクト格子への拡張は、後にハワード・ガーランドとマダブシ・サンタナム・ラグナサンによって行われました。^[4] この結果は現在、カラビ—ヴェイユ（または単にヴェイユ）剛性と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

を有限個の元とリー群によって生成される群とします。このとき、によって定義される写像は単射であり、の位相によって誘導される位相が与えられます。がのサブグループである場合、 の変形は の任意の元です。すべての に対してとなるようなが存在する場合、 2 つの表現は共役であると言われます。特性多様体 も参照してください。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}}$${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$${\displaystyle G^{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$${\displaystyle \phi ,\psi }$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

最も単純な記述は、 が単純リー群内の格子であり、後者が または および と局所的に同型ではないときです(これは、そのリー代数がこれら 2 つの群のいずれかのリー代数ではないことを意味します)。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ガンマ}$

包含の近傍が存在し、任意の がに共役になります。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$${\displaystyle \phi \in U}$${\displaystyle i}$

このようなステートメントがペアに当てはまる場合は常に、局所的な剛性が当てはまると言えます。 ${\displaystyle G\supset \Gamma }$

のココンパクト格子に対して局所剛性が成立します。がココンパクトでない の格子には、サーストンの双曲的デーン手術理論から生じる非自明な変形があります。ただし、表現が の放物線要素を放物線要素に送る必要があるという制限を追加すると、局所剛性が成立します。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ガンマ}$

この場合、局所的な剛性は成立しません。ココンパクト格子の場合、小さな変形はココンパクト格子のままですが、元の格子と共役ではない可能性があります (詳細については、 Teichmüller 空間を参照してください)。非ココンパクト格子は事実上自由であるため、非格子変形を持ちます。

半単純リー群の格子に対して局所剛性が成立するのは、後者が A1 型の因子を持たない（つまり、またはに局所的に同型である）か、前者が既約である場合です。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$

超剛性が失敗した場合でも、周囲のグループが変更されると、局所剛性の結果も得られます。たとえば、がユニタリ群内の格子である場合、包含は局所的に剛性です。^[5]${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1)\subset \mathrm {SU} (n+1,1)}$

コンパクトに生成された任意の位相群内の一様格子は、包含関係の十分に小さい変形は単射であり、内の一様格子であるという意味で、位相的に局所的に剛性である。双曲平面に等長ではなくユークリッド因子を持たない任意の適切な測地完備 -空間の等長変換群内の既約一様格子は局所的に剛性である。^[6]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$${\displaystyle \varphi (\Gamma )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$

ヴェイユの元々の証明は、のリー代数の係数を持つ の第一コホモロジー群に の部分群の変形を関連付け、 が絶対型 A1 の単純因子を持たないときに、このコホモロジーがココンパクト格子に対して消滅することを示すというものである。より幾何学的な証明は、チャールズ・エーレスマン(およびウィリアム・サーストン) の構造理論を使用しており、これは非コンパクトケースにも適用できる。^[7]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (G,X)}$