プッシュフォワード（差動）

微分幾何学において、プッシュフォワードは、接空間上の滑らかな写像（定式化多様体）の線型近似です。 が滑らかな多様体間の滑らかな写像であるとすると、 と表記される点 におけるの微分は、ある意味で の近傍の の最良線型近似です。 これは、通常の微積分の全微分の一般化と見ることができます。 明示的には、微分は における の接空間から における の接空間への線型写像です。したがって、これを使用して上の接ベクトルを上の接ベクトルにプッシュフォワードすることができます。 写像の微分は、さまざまな著者によって の導関数または全微分とも呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$

を の開集合からの開集合への滑らかな写像とする。の任意の点について、におけるのヤコビアン（標準座標に関して）はにおけるの全微分の行列表現であり、線形写像である。${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

それらの接空間の間です。接空間はそれぞれ、およびに同型であることに注意してください。プッシュフォワードは、この構成を、任意の滑らかな多様体との間の滑らかな関数であるケースに一般化します。 ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

を滑らかな多様体の滑らかな写像とする。をにおける微分が線型写像で あるとする。${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$${\displaystyle x\in M,}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

におけるの接空間からにおける の接空間へ。における接ベクトルの像は、による の押し出しと呼ばれることもあります。この押し出しの正確な定義は、接ベクトルに使用する定義によって異なります (さまざまな定義については、接空間を参照してください)。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi (x).}$${\displaystyle d\varphi_{x}X}$${\displaystyle X\in T_{x}M}$${\displaystyle d\varphi_{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi .}$

接ベクトルが曲線の同値類として定義される場合、その微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

ここで、は の曲線であり、 は の曲線の接線ベクトルです。言い換えると、の曲線への接線ベクトルの押し出しは、の曲線への接線ベクトルです。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$${\displaystyle 0.}$

あるいは、接線ベクトルが滑らかな実数値関数に作用する微分として定義される場合、微分は次のように表される。

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

任意の関数と点 における任意の微分に対して(微分はライプニッツ則を満たす線型写像として定義されます。微分による接空間の定義を参照してください)、定義により、 のプッシュフォワードは であり、したがってそれ自体が微分 です。 ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$${\displaystyle X\in T_{x}M}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

の周りの2つのチャートを選択した後、 の周りの は、 との開集合間の滑らかな写像によって局所的に決定され、${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

アインシュタインの総和記法では、偏導関数は与えられたチャートの に 対応する の点で評価されます。${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$

線形性によって拡張すると、次の行列が得られる。

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

したがって、微分は、各点における滑らかな写像に関連付けられた、接空間間の線型変換である。したがって、選択された局所座標では、微分は、から への対応する滑らかな写像のヤコビ行列によって表される。一般に、微分は逆である必要はない。しかし、 が局所微分同相写像である場合、 は逆であり、逆はの引き戻しを与える。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle d\varphi_{x}}$${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

微分は、次のようなさまざまな表記法で表現されることが多い。

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

定義から、合成物の微分は微分（つまり、関数的動作）の合成物であることがわかります。これが滑らかな写像の連鎖律です。

また、局所微分同相写像の微分は接空間の 線型同型写像です。

滑らかな写像の微分は、明らかな方法で、の接バンドルからの接バンドルへのバンドル写像（実際にはベクトルバンドル準同型）を誘導し、 で表され、次の可換図に適合します。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle d\varphi}$

ここで、およびはそれぞれ、およびの接バンドルのバンドル投影を表します。 ${\displaystyle \pi_{M}}$${\displaystyle \pi_{N}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$からプルバックバンドルφ ^∗ TNへのバンドル マップを誘導します。${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (m,\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

ここで、 であり、後者の写像は、ベクトル束Hom( TM , φ ^∗ TN )のM上の切断として見ることができます。 束写像は、とも表記され、接写像とも呼ばれます。 このように、は関手です。 ${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$${\displaystyle T\varphi }$${\displaystyle T}$

滑らかな写像φ  : M → NとM上のベクトル場 Xが与えられた場合、 φによるXのプッシュフォワードをN上のあるベクトル場Yと同一視することは通常不可能である。例えば、写像φが射影的でない場合、 φの像の外側でそのようなプッシュフォワードを定義する自然な方法はない。また、φが単射的でない場合、与えられた点においてプッシュフォワードの選択肢が複数ある可能性がある。しかし、写像に沿ったベクトル場の概念を使用することで、この困難さを明確にすることができる。

φ ^∗ TNのM上の切断は、 φに沿ったベクトル場と呼ばれます。たとえば、M がNの部分多様体で、φ が包含である場合、φに沿ったベクトル場は、 Nの接束のMに沿った切断に過ぎません。特に、M上のベクトル場は、 TMをTN内に包含することにより、このような切断を定義します。この考え方は、任意の滑らかなマップに一般化されます。

X がM上のベクトル場、つまりTMの切断であるとします。すると、上記の意味で、φに沿ったベクトル場、つまりM上のφ ^∗ TNの切断であるプッシュフォワードφ _∗ X が生成されます。 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

N上の任意のベクトル場Y は、 ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )}を満たすφ ^∗ TNのプルバックセクションφ ^∗ Yを定義します。 M上のベクトル場XとN上のベクトル場Yは、 φに沿ったベクトル場としてφ _∗ X = φ ^∗ Yである場合にφに関連していると言われます。言い換えると、Mのすべてのxについて、dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )}です。

状況によっては、M上のベクトル場Xが与えられたとき、 Xとφ関係にあるN上のベクトル場Y が一意に存在する。これは特にφ が微分同相写像のときに当てはまる。この場合、プッシュフォワードはN上のベクトル場Y を定義し、これは次のように 表される。

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

φが射影的である場合（例えばファイバー束の束射影） 、より一般的な状況が発生します。このとき、 M上のベクトル場X は、 N内のすべてのyに対して、dφ _x ( X _x ) がφ ⁻¹ ({ y })内のxの選択に依存しない場合、射影可能であると言われます。これはまさに、 N上のベクトル場としてのXのプッシュフォワードが適切に定義されることを保証する条件です。

リー群 が与えられれば、乗法写像 を使って左乗法写像と右乗法写像 を得ることができます。これらの写像は、原点における接空間(関連付けられたリー代数) から上の左または右の不変ベクトル場 を構築するために使用できます 。 たとえば、 が与えられ、 任意のに対して によって定義された 上の関連付けられたベクトル場 が得られます。これは、プッシュフォワード写像の曲線定義を使用して簡単に計算できます。が に関して定数であるため、 と なる曲線がある場合、 が 得られます 。これは、接空間として解釈できることを意味します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$${\displaystyle G\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$${\displaystyle g\in G}$$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$$${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$${\displaystyle L_{g}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T_{g}G}$${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

たとえば、が行列によって与えられたハイゼンベルク群である 場合 、そのリー代数は行列の集合によって与えられます。 これは、(i 行目と j 列目) を持つ上位行列要素の 1 つに任意の実数を与える パスを見つけることができるためです。次に、に対しては、元の行列の集合と等しい が 得られます 。これは常に当てはまるわけではありません。たとえば、グループでは、 そのリー代数は行列の集合として与えられます 。 したがって、ある行列に対しては、 同じ行列の集合ではない が 得られます 。${\displaystyle G}$$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$$${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$${\displaystyle i<j}$$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$$${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

• プルバック（微分幾何学）
• フローベースの生成モデル

• Lee, John M. (2003).滑らかな多様体入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218.
• ヨスト、ユルゲン (2002)。『リーマン幾何学と幾何解析』ベルリン：シュプリンガー出版社。ISBN 3-540-42627-2。 セクション1.6を参照してください。
• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド E. (1978)。『力学の基礎』ロンドン：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。 セクション1.7および2.3を参照してください。